Zmn-0063 薛问天；评林益先生《“1=0.999…”的困惑》

【编者按。下面是薛问天先生对《zmn-0061》林益先生困惑的回答。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。】

评林益先生《“1=0.999…”的困惑》

薛问天
xuewentian2006@sina.cn

（1）验证1=0.9999……有很多方法。

林益先生提出的方法是，令x=0.9999……，

10×=10*0.9999……=9.9999……=9+x，从而9x=9，x=1。

其实，也可类似地用下述各式来验证(注：本文用 * 表示乘号。)

9x=9*0.9999……=8.1+0.81+......=8.9999……=8+x，从而8x=8，x=1。

8x=8*0.9999……=7.2+0.72+......=7.9999……=7+x，从而7x=7，x=1。

7x=7*0.9999……=6.3+0.63+......=6.9999……=6+x，从而6x=6，x=1。

6x=6*0.9999……=5.4+0.54+......=5.9999……=5+x，从而5x=5，x=1。

5x=5*0.9999……=4.5+0.45+......=4.9999……=4+x，从而4x=4，x=1。

4x=4*0.9999……=3.6+0.36+......=3.9999……=3+x，从而3x=3，x=1。

3x=3*0.9999……=2.7+0.27+......=2.9999……=2+x，从而2x=2，x=1。

2x=2*0.9999……=1.8+0.18+......=1.9999……=1+x，从而1x=1，x=1。

当然这里涉及常数同无穷循环小数0.9999……的乘积运算的问题。乘积运算可以从无穷小数的高位到低位逐位相乘。由于这是无穷小数，所以这个乘积运算是一个无穷步演算。但是按照《 Zmn-0030薛问天: 再谈无穷步演算的禁忌》的分析，它属于「对演算结果有明确定义的无穷步演算」，并不在禁忌之列，因而对于这种演算的结果，我们还是承认和认可的。

（2）关于林益先提出的【如何从1得到0.9999……呢?】我也想了想，是否可以这样来验证。

1=9*(1/9)=9*0.1111…..=0.9999……。

类似地还可以这样来验证。

1=3*(1/3)=3*0.3333……=0.9999……。

1=6*(1/6)=6*0.1666……=0.9999……。

1=7*(1/7)=7*0.142857142857……=0.9999……。

这些都可以验证1=0.9999…… 。

（3）关于林益先生的【方法一】。他为了说明【不能认为1=0.9999......】，建立了集合

A=｛a_n=1-10^-n|n∈N｝=｛0.9，0.99，0.999，......｝，B=｛10^-n|n∈N｝和C=开区间(0，1)。然后他认为1不属于A，也不属于C。这当然无疑是正确的。但是他认为【显然0.9999......∈A】就是不正确的了。从而 0.9999......∈C，也是不正确的。
    关键是在这里要严格区分有穷小数同无穷小数两者的不同。在A中所有的数都是有穷小数，即A中所有的a_n都存在一个自然数n∈N，a_n是n位有穷小数。因而在A中不存在无穷小数。所以无穷小数0.9999......不在A中。自然也就不能推出它在C中。因而结论 【不能认为1=0.9999......】不成立。

（4）方法二，用长除法得到相应的无穷循环小数

1/9=0.1111......。

2/9=0.2222......。

......

8/9=0.8888......。

当然没有问题。在运算过程中，每一步都有余数，尽菅余数愈来愈小，但可保证运算能无穷进行下去 。最后得到的是无穷循环小数。

并且用这些无穷循环小数可以进行 1=0.9999......的验证 。如:
1=(9/1)*(1/9)=9*0.1111......=0.9999......。
1=(9/2)*(2/9)=4.5*0.2222......=0.9999......。
1=(9/3)*(3/9)=3*0.3333......=0.9999......。
1=(9/4)*(4/9)=2.25*0.4444......=0.9999......。
1=(9/5)*(5/9)=1.8*0.5555......=0.9999......。
1=(9/6)*(6/9)=1.5*0.6666......=0.9999......。
1=(9/7)*(7/9)=(9/7)*0.7777......=0.9999......。
1=(9/8)*(8/9)=1.125*0.8888......=0.9999......。

    至于用长除法计算9/9，这只能得出1，不能用所谓【逆天的方法，违背除法法则】来进行除法运算。不过由9/9得不出无穷小数 ，不碍大局，仍可用1=9/9=(9/1)*(1/9)得出1= 9*0.1111......=0.9999......。

（5）结语。林益先生提出的问题实际上是对有理数域的认识问题。有理数域是由整数扩充和定义而成的。有理数定义为两个互质的整数p,q相除的商。如果能除尽，则p/q是一个有穷位小数，如果除不尽，则p/q是一无穷小数。而且可证这个无穷小数是无穷循环小数。因而有理数集可以定义为有穷位小数集和无穷循环小数集的并集。

如果我们把有穷小数位后补无穷多个0，看成是尾数为0的循环的无穷循环小数。如0.234=0.2340000......。这样我们就也可以把有理数简单地定义成无穷循环小数(包括尾数是0的无穷循环小数)。

这样一来，有理数就有两种表示方法: 一种是用整数对<p,q>表示; 一种是用无穷循环小数表示。当然在这两种表示方法间有相互转换的算法。

己知p,q，只要用长除法就可算出与p/q相等的无穷循环小数。因为已证明这是无穷循环小数，所以在有穷步之内即可发现循环之所在，求出相应的无穷循环小数。

己知无穷循环小数，也有完整的算法，求出相应的p,q。这个算法的基本要点是，对于完全循环小数，如果循环体有n位，则相应除式的分子就是循环体，分母为 10ⁿ-1。 例如上面举的 0.142857142857......，是完全循环小数，循环体是142857，6位。所以

0.142857142857......=142857/(10⁶-1)=142857/999999=1/7。
再例如0.9999......是完全循环数，循环体是9，1位。所以
0.9999......=9/(10¹-1)=9/9=1/1=1。

注。如果该无穷循环小不是完全循环小数，即小数的前m位是不循环的，从m位以后才开始循环。那么就将此数乘以10^m。这时该乘积数的小数部分就成为完全循环小数了。按照前述方法将其转换成两数相除。再加上乘积的整数部分，最后再还原乘以10^-m，就可以转换成两整数相乘了。

这里还要特别注意，在有理数的无穷循环表示中，每个有穷小数都有两个相应相等的无穷循环表示，一个是尾数为0的循环小数，一个是尾数为9的循环小数，它们表示的同一有穷小数。

如 0.234=0.2340000......=0.2339999......。

同样地有1=1.0000......=0.9999......。

0.1=0.10000......=0.09999......。

0.01=0.010000......=0.009999......。

......。

也就是说林益先生提出的1=0.9999......的问题，实际上也是有理数中对有穷小数的两种相等表示的问题。

返回到：

zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录

• Zmn-0063 薛问天；评林益先生《“1=0.999…”的困惑》   2019-11-7 10:34

• Zmn-0062-3  师教民:  答文清慧先生于2019.10.08给我的信，兼评薛问天先生的《 再评...》(-3)
  
  
  (2019-11-6 21:42

• Zmn-0062-2  师教民:  答文清慧先生于2019.10.08给我的信，兼评薛问天先生的《 再评...》(-2)
  
  
  (2019-11-6 21:33

• Zmn-0062-1  师教民:  答文清慧先生于2019.10.08给我的信，兼评薛问天先生的《 再评...》(-1)
  
  
  (2019-11-6 21:24

• Zmn-0062-0  师教民:  答文清慧先生于2019.10.08给我的信兼评薛问天先生的《 再评师教民先生...》2019-10-26 20:25

• Zmn-0061  林益： “1=0.999⋯”的困惑   2019-10-21 11:02

• Zmn-0060 薛问天；(问题I)的关键一问。   2019-10-13 13:24

• Zmn-0058-3 薛问天；再评师教民先生提出的三个问题（3）   2019-10-10 17:32

• Zmn-0059 师教民先生的来信与文清慧的回复。   2019-10-9 10:16

• Zmn-0058-2 薛问夭；再评师教民先生提出的三个问题（2）  2019-10-6 15:05

• Zmn-0058-1 薛问夭；再评师教民先生提出的三个问题（1）   2019-9-27 11:18

• Zmn-0057 师教民: 评《评师教民先生提出的三个问题》。  2019-9-13 20:52

• Zmn-0056 文清慧： 还是大家讨论好！     2019-9-7 16:52

• Zmn-0055 反对伊战: 关于林益先生《我的困惑》的讨论  2019-9-7 10:27

• Zmn-0054 双木林，薜问天: 答林益先生的回复。 2019-9-6 21:33

• zmn-0053 林益：谢谢   2019-9-5 10:57

• Zmn-0052  双木林，薜问天: 答林益《我的困惑》。  2019-9-3 17:51

• zmn-0051 「反对伊战」: 对《评 「反对伊战」先生的【几点说明】》的回复，薛问天: 评 「反对伊战」先生的回复 2019-8-24 17:50

• Zmn-0050 薛问夭；评师教民先生提出的三个问题。 2019-8-23 17:28

• zmn-0049 「反对伊战」: 几点说明，薛问天: 评「反对伊战」的几点说明   2019-8-17 11:50

• Zmn-0048-0师教民:  评《于无声中听惊雷，从回答中析共识．评教民先生的七答》-0 2019-8-12 15:59

• zmn-0047 林益:我的困惑 2019-8-12 14:54

• zmn-0046 「反对伊战」: 对《评「反对伊战」《关于第（3）部分的讨论》》的回复，薛问天: 评「反对伊战」的回复 2019-8-12 10:59

• zmn-0045 「反对伊战」: 关于第（3）部分的讨论，薛问天: 评「反对伊战」《关于第（3）部分的讨论》 2019-8-3 17:00

• zmn-0044 「反对伊战」: 对《评小结》的回复，薛问天: 评「反对伊战」先生对我的 《评小结》的回复。 2019-7-30 11:35

• zmn-0043 「反对伊战」: 小结，薛问天: 评「反对伊战」先生的小结。2019-7-25 16:39

• zmn-0042 「反对伊战」: 对《评「反对伊战」的回复》一文的回复，薛问天: 再评「反对伊战」的再回复。2019-7-21 17:36

• zmn-0041 薛问天: 评「反对伊战」的回复2019-7-17 21:42

• Zmn-0040「反对伊战」；对《评反对伊战的商榷(四)》一文的回复2019-7-15 20:58

• zmn-0039 薛问天: 评「反对伊战」的商榷(四)2019-7-13 17:48

• Zmn-0038反对伊战；与薛问天先生商榷（四）2019-7-9 12:57

• Zmn-0037-3 薛问天；于无声中听惊雷，从回答中析共识。评师教民先生的七答(下)2019-7-4 17:27

• Zmn-0037-2 薛问夭；于无声中听惊雷，从回答中析共识。评师教民先生的七答(中)2019-6-26 18:00

• Zmn-0037-1 薛问夭；于无声中听惊雷，从回答中析共识。评师教民先生的七答(上)2019-6-16 11:34

• Zmn-0036-3 师教民: 答《评师教民先生在zmn--0028的回答》(下)2019-6-8 21:06

• Zmn-0036-2 师教民: 答《评师教民先生在zmn--0028的回答》(中)2019-6-8 20:53

• Zmn-0036-1 师教民: 答《评师教民先生在zmn--0028的回答》(上)2019-6-8 17:59

• Zmn-0035 薛问夭；评李鸿仪先生的三篇质疑文章2019-6-6 11:17

• Zmn-0034 李鸿仪；有关对角线证明的三篇质疑文章2019-6-5 09:19

• Zmn-0031(续) 黄汝广先生的来信和薛问天先生的评语2019-6-4 17:31

• Zmn-0033薛问天: 答林益的五个问题。2019-6-2 11:22

• Zmn-0032  林益: 请教薛问天老师几个问题2019-5-31
  

• Zmn-0031  黄汝广:  关于【matrix67：证明实数区间不可数的新方法】，及薜问天先生的评2019-05-31

• Zmn-0030薛问天: 再谈无穷步演算的禁忌2019-5-28 14:33

• Zmn-0027(续)  黄汝广:  对于薛问天先生的答复及薜问天先生的再评论2019-5-26
  

• Zmn-0029-2薛问天: 争论的目的是求得共识。评师教民先生在zmn-0028的回答（下篇）
  

• Zmn-0029-1薛问天: 争论的目的是求得共识。评师教民先生在zmn-0028的回答（上篇） 2019-5-15 19:49

• Zmn-0028  师教民:  答《评师教民先生的回答》 2019-05-09

• Zmn-0027  黄汝广:  有理数可数与其稠密性不相容，及薜问天先生的评论。 2019-05-09

• Zmn-0026薛问天: 两个错误的证明 2019-4-25

• Zmn-0025薛问天: 评师教民先生的回答 2019-04-19

• Zmn-0024双木林: 评侯小山《实数集可数定理》一文 2019-04-17

• Zmn-023师教民:答《解开「微分迷团」…》，论极限理论中微分等于增量的科学错误 2019-04-17

• Zmn-0022薛问天: 评北航曾志强和刘淑玉有关微分之谜论战《综述》中的错误2019-4-9 20:45

• Zmn-0021 薛问天: 评侯小山先生的两篇错误文章2019-3-29 18:43

• Zmn-0020-江南青山绿水来信认可，文章《证明实数可列的一种方法》及薛问天先生对此文的评论。2019-3-25 11:21

• Zmn-0019薛问天：江南青山绿水的「证明」错在哪里?2019-3-19 09:24

• Zmn-0018江南青山绿水: 疑惑！我竟用康托的方法证明了有理数不可能和自然一一对应2019-3-16 11:39

• Zmn-0017薛问天: 北大袁荫教授理解错了，他所得出的「康托尔连续统假设（CH）不成立」等结论并不成立。2019-1-13 09:37

• Zmn-0016(续)   一阳生先生提出的疑问 2018-11-30

• Zmn-0016  一阳生先生提出的四个问题 2018-11-15

• zmn-015 薛问天：评周训伟先生的文章。 2018-07-31

• Zmn-014 张景中：我对微分的理解2018-7-16 11:34

• Zmn-013 薛问天：这是不同的「微分」变量  2018-7-7 19:06

• zmn-012 薛问天：解开微分迷团 2018-7-7 16:14

• zmn-011 薛问天：莫把对微分的误读看作是数学分析的悖论2018-7-5 10:53

• zmn-010 薛问天：谈“主部”和“线性主部"-2018-7-5 10:24