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Zmn-0027 黄汝广: 有理数可数与其稠密性不相容,及薜问天先生的评论。

已有 610 次阅读 2019-5-9 15:00 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:科研笔记

Zmn-0027  黄汝广有理数可数与其稠密性不相容,及薜问天先生的评论
【编者按。 黄汝广先生发来一短文《有理数可数与其稠密性不相容》,特请薛问天先生作了评论。现将原文及评论同时发布如下。请网友们关注,並积极参与评论。】

 

 

有理数可数与其稠密性是不相容的

黄汝广

康托尔关于有理数集可数的证明大致如下:

有理数集Q的另一等价定义是全体分数的集合,也即

Q={p/q|p整数,q为正整数,且p与q无公因子}

全体有理数可按∣p∣+q的顺序由小到大排列,∣p∣+q相同的再按p的顺序排列。这样就有

Q={0,-1/1,1/1,-2/1,-1/2,1/2,2/1,...}

每个有理数必在此序列之中(重复的只保留一个)。故有理数集可数。

我们先假设其证明是有效的。那么很显然,[01)区间内的所有有理数也是可数的,也即可以按照其证明中的方法进行排列,从而得到一个无穷序列:现在,我们把这个排列从左到右,依次编号为1234,每一个有理数都有一个确定的编号;由于集合与元素的顺序无关,我们可以把该序列中的每一个有理数带着确定的编号,恢复为其数轴上的自然顺序。很显然,在这个自然序列中,每一个有理数的编号仍然是确定的,只是编号不再是按从小到大的顺序排列而已:第一个有理数当然是0,并且其编号仍是1,第二个有理数的编号不再是2但仍然是确定的(假设该有理数的编号是p,并将其记作Qp,如此等等。然而,这将意味着Qp是大于0的最小有理数,与有理数的稠密性相矛盾!




薜问天先生的评语

黄汝广先生在文中「证明」【有理数可数与其稠密性不相容】。文清慧老师让我作一评论。现评论如下。

黄先生的「证明」自然是错的。关键是要指出错在哪里。

「证明」分为三段推论。

第一段说:  将有理数【 以按照其证明中的方法进行排列,从而得到一个无穷序列:现在,我们把这个排列从左到右,依次编号为1234,每一个有理数都有一个确定的编号; 】

这一段没有问题。有理数可数就是可以同自然数建立一一对应,就用所对应的自然数作为有理数的编号。这完全正确。错误出现在第二段。

第二段说:【 由于集合与元素的顺序无关,我们可以把该序列中的每一个有理数带着确定的编号,恢复为其数轴上的自然顺序。】

问题就出在【 恢复为其数轴上的自然顺序】这句话上。有理数作为一个无穷序列,你怎么知道它可以【恢复】为自然的大小顺序。要知道「可数」只是说有理数可与自然数建立「一一对应」,並不能保证可与自然数建立「保序的一一对应」。也就是说有理数可以「排成一个无穷序列」,但却不能保证「按自然大小顺序排成一个无穷序列」。「证明」错就错在毫无根据地断言有理数序列可以【恢复】成 「按大小顺序排成一个无穷序列」。

当然你可以把有理数 (既使是带标号的有理数)看作是分布在数轴上的数,在数轴上的任何两个有理数,左边的一定小于右边的数。但是在此数轴上的有理数并不是按大小排成的无穷序列,而是稠密地分布在数轴上的。显然这种稠密分布的有理数与有理数的稠密性没有任何矛盾。

所以说:  「证明」笫三段所证明是如果第二段的错误断言「有理数能按大小顺序排成一个序列」成立,则同有理数的稠密性发生矛盾。这个证明也没错,错在前提 「有理数能按大小顺序排成一个序列」不成立。而且这个矛盾正好证明了这个论断不成立。

言之,「有理数能排成一个无穷序列」这个断言是正确的。

「有理数能按大小顺序排成一个无穷序列」这个断言没有任何根据,而且是错误的。

③  「有理数具有稠密性」同断言的矛盾正好证明了断言是错误的。

因而,此文证明【有理数可数同有理数具有稠密行有矛盾】不成立。。

(完

 




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