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zmn-0042 「反对伊战」: 对《评「反对伊战」的回复》一文的回复，薛问天: 再评「反对伊战」的再回复。

已有 2154 次阅读 2019-7-21 17:36 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

zmn-0042 「反对伊战」: 对《评「反对伊战」的回复》一文的回复，薛问天: 再评「反对伊战」的再回复。

【编者按。下面是「反对伊战」先生对《 Zmn-0041》的回复和薛问天先生的评论。现发布如下，希望网友们关注并积极参与评论。】

对《评「反对伊战」的回复》一文的回复

作者反对伊战

薛问天先生在《评「反对伊战」的回复》一文中说“把 Löwenheim –Skolem定理的结论，说成是【这个结论的意思是说，存在一个实数集的模型(model)，即存在一个集合及其上定义的运算等，满足所有关于实数集的公理，而这个模型（集合）是一个可数集。】这句话本身就是对LS定理的误读和错误的解释。”

这个说法不成立。我【】中的话中谈到的“模型”、“公理”都至少有两种可能的理解: 一阶逻辑意义下的“模型”、“公理”和二阶逻辑意义下的“模型”、“公理”。虽然我在原文中没有说我的话是在一阶逻辑意义下说的（如果按一阶逻辑意义来理解我【】中的话，那这段话就是完全正确的。），但也不能因此就按二阶逻辑意义来理解我【】中的话。薛问天先生随心所欲地按二阶逻辑意义来理解我【】中的话，然后指出其“错误”，这样做是不成立的。不能说我【】中的话是错的，只能说这一段话含义不明确。

我再重复一下，数理逻辑学家们谈起“实数集可以是可数集”时，大家立即明白其意思就是“存在一个满足实数诸一阶公理的模型，而这个模型是一个可数集”，没什么问题，就好像两个学过大学数学的人交谈，一个说“三角形内角之和不等于180度”,没问题，另一个立即明白了这里的三角形不再是欧几里得几何中的三角形，而是一般黎曼几何中的三角形。而“存在一个满足实数诸一阶公理的模型，而这个模型是一个可数集”是first order logic理论中Downward Lowenheim–Skolem theorem 的一个特例。所以，说“实数集可以是可数集”是Downward Lowenheim–Skolem theorem 的一个特例，是没有问题的。

薛问天先生在《评「反对伊战」的回复》一文中说“反对伊战」先生辩解说【我印象中，数理逻辑学家们谈起“实数集是可数集”时，“实数集”的含义就是“一个满足实数诸（一阶）公理的模型”，没什么问题。】

作学问不能凭【印象】，我相信严肃的【数理逻辑学家】只会说「实数的一阶逻辑理论可以有可数模型」。绝不会把它说成是「实数集是可数集」这样的错误的论断。”

我想，薛问天先生如果要想知道数理逻辑学家们是如何交谈的，就应该和他们进行交流，而不是主观地“相信”他们如何如何。

我在《对《评反对伊战的商榷(四)》一文的回复》中写道：“关于“从模型内和模型外看，可以有不同性质”，这里有一个现成的例子，那就是我《…实数集的势》中的一段话，那里，我在讨论一个满足实数诸（一阶）公理的模型，而这个模型是可数集。我说“康托在19世纪末证明了实数集与自然数集不等势…””

薛问天先生在《评「反对伊战」的回复》一文中完全忽视我“那里，我在讨论一个满足实数诸（一阶）公理的模型”的说明，硬是把后面引文中的实数集理解为二阶公理的模型，而不是一阶公理的模型，当然，然后他指出我例子的“错误”。薛问天先生这样做是很无聊的。

顺便说一下，在后面，薛问天先生说：“「R是可数的」和「R是不可数的」都属于二阶逻辑，是在实数的一阶逻辑中不能表达和证明的。因而，从一阶模型内部看「实数集是不可数集」，也是错误的。”

薛问天先生的说法是不对的。「R是不可数的」不能在一阶逻辑中表达，但可在二阶逻辑中表达出来。表达出来的命题在一阶模型中为真，所以，从一阶模型内部看「实数集是不可数集」成立。

我在《与薛问天先生商榷（四）》一文中已把问题基本讲清楚了。我觉得再讨论下去，已没多少意思，反而会冲淡读者对《与薛问天先生商榷（四）》一文内容的记忆。

再评「反对伊战」的再回复
薛问天

xuewentian2006@sina.cn

由于前面各【文中已把问题基本讲清楚了。我觉得再讨论下去，已没多少意思。】最后再说三点。

(1) 要知道并不是我【随心所欲地按二阶逻辑意义来理解】你的话，而是学术界的共识。即大家公认，由于一阶逻辑的局限性，「【满足所有关于实数集的公理】的理论是实数集的二阶逻辑理论」。只有这样的二阶逻辑理论的模型，才能称为【实数集的模型】，这个模型(集合)才等同于【实数集】。由于有些实数的性质一阶逻辑表达不了，所以实数一阶逻辑的理论表达不了【所有关于实数集的公理】，因而实数的一阶逻辑理论的模型不能称为是【实数集的模型】即【一个集合及其上定义的运算等，满足所有关于实数集的公理】，只能称为是【实数集的一阶逻辑模型】，即它只满足满足实数集的那部分一阶逻辑公理。自然这样的模型(集合)也不等同于实数集。

(2) 我仍然相信，严谨的【数理逻辑学家】不会把 “存在一个满足实数诸一阶公理的模型，而这个模型是一个可数集”，荒谬地说成是【实数集可以是可数集】。

(3) 「反对伊战」先生说【「R是不可数的」不能在一阶逻辑中表达，但可在二阶逻辑中表达出来。表达出来的命题在一阶模型中为真，所以，从一阶模型内部看「实数集是不可数集」成立。】在二阶逻辑表达出来的命题在一阶模型中为真，这是一句地地道道的行外话。二阶逻辑的公式就不是一阶逻辑的合式公式，怎么还能在一阶逻辑中证明为真。真是天大的笑话。不知不为过，我就不挖苦了。

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