《数学啄木鸟专栏》分享 http://blog.sciencenet.cn/u/wenqinghui 对错误的数学论点发表评论

博文

zmn-0042 「反对伊战」: 对《评「反对伊战」的回复》一文的回复,薛问天: 再评「反对伊战」的再回复。

已有 624 次阅读 2019-7-21 17:36 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

zmn-0042 「反对伊战」: 对《评「反对伊战」的回复》一文的回复,薛问天: 再评「反对伊战」的再回复。

【编者按。下面是「反对伊战」先生对《 Zmn-0041》的回复和薛问天先生的评论。现发布如下,希望网友们关注并积极参与评论。】

 

对《评「反对伊战」的回复》一文的回复

作者  反对伊战

薛问天先生在《评「反对伊战」的回复》一文中说“把 Löwenheim –Skolem定理的结论,说成是【 这个结论的意思是说,存在一个实数集的模型(model),即存在一个集合及其上定义的运算等,满足所有关于实数集的公理,而这个模型(集合)是一个可数集。】这句话本身就是对LS定理的误读和错误的解释。”

     这个说法不成立。我【】中的话中谈到的“模型”、“公理”都至少有两种可能的理解: 一阶逻辑意义下的“模型”、“公理”和二阶逻辑意义下的“模型”、“公理”。虽然我在原文中没有说我的话是在一阶逻辑意义下说的(如果按一阶逻辑意义来理解我【】中的话 ,那这段话就是完全正确的。),但也不能因此就按二阶逻辑意义来理解我【】中的话。薛问天先生随心所欲地按二阶逻辑意义来理解我【】中的话,然后指出其“错误”,这样做是不成立的。不能说我【】中的话是错的,只能说这一段话含义不明确。

我再重复一下,数理逻辑学家们谈起“实数集可以是可数集”时,大家立即明白其意思就是“存在一个满足实数诸一阶公理的模型,而这个模型是一个可数集”,没什么问题,就好像两个学过大学数学的人交谈,一个说“三角形内角之和不等于180度”,没问题,另一个立即明白了这里的三角形不再是欧几里得几何中的三角形,而是一般黎曼几何中的三角形。而“存在一个满足实数诸一阶公理的模型,而这个模型是一个可数集”是first order logic理论 中Downward Lowenheim–Skolem theorem 的一个特例。所以,说“实数集可以是可数集”是Downward Lowenheim–Skolem theorem 的一个特例,是没有问题的。

薛问天先生在《评「反对伊战」的回复》一文中说“反对伊战」先生辩解说【 我印象中,数理逻辑学家们谈起“实数集是可数集”时,“实数集”的含义就是“一个满足实数诸(一阶)公理的模型”,没什么问题。】

作学问不能凭【印象】,我相信严肃的【数理逻辑学家】只会说「实数的一阶逻辑理论可以有可数模型」。绝不会把它说成是「实数集是可数集」这样的错误的论断。

我想,薛问天先生如果要想知道数理逻辑学家们是如何交谈的,就应该和他们进行交流,而不是主观地“相信”他们如何如何。

我在《对《评反对伊战的商榷(四)》一文的回复》中写道:“关于“从模型内和模型外看,可以有不同性质”,这里有一个现成的例子,那就是我《…实数集的势》中的一段话,那里,我在讨论一个满足实数诸(一阶)公理的模型,而这个模型是可数集。我说“康托在19世纪末证明了实数集与自然数集不等势…””

 薛问天先生在《评「反对伊战」的回复》一文中完全忽视我“那里,我在讨论一个满足实数诸(一阶)公理的模型”的说明,硬是把后面引文中的实数集理解为二阶公理的模型,而不是一阶公理的模型,当然,然后他指出我例子的“错误”。薛问天先生这样做是很无聊的。

顺便说一下,在后面,薛问天先生说:“「R是可数的」和 「R是不可数的」都属于二阶逻辑,是在实数的一阶逻辑中不能表达和证明的。因而,从一阶模型内部看 「实数集是不可数集」,也是错误的。”

薛问天先生的说法是不对的。「R是不可数的」不能在一阶逻辑中表达,但可在二阶逻辑中表达出来。表达出来的命题在一阶模型中为真,所以,从一阶模型内部看 「实数集是不可数集」成立。

     我在《与薛问天先生商榷(四)》 一文中已把问题基本讲清楚了。我觉得再讨论下去,已没多少意思,反而会冲淡读者对《与薛问天先生商榷(四)》一文内容的记忆。

 

 



再评「反对伊战」的再回复
薛问天

xuewentian2006@sina.cn

由于前面各【 文中已把问题基本讲清楚了。我觉得再讨论下去,已没多少意思。】最后再说三点。


       (1) 要知道并不是我【 随心所欲地按二阶逻辑意义来理解】你的话,而是学术界的共识。即大家公认,由于一阶逻辑的局限性,「【 满足所有关于实数集的公理】的理论是实数集的二阶逻辑理论」。只有这样的二阶逻辑理论的模型,才能称为【实数集的模型】,这个模型(集合)才等同于【实数集】。由于有些实数的性质一阶逻辑表达不了,所以实数一阶逻辑的理论表达不了【 所有关于实数集的公理】,因而实数的 一阶逻辑理论的模型不能称为是【实数的模型】即【一个集合及其上定义的运算等,满足所有关于实数集的公理】,只能称为是【实数集的一阶逻辑模型】,即它只满足满足实数集的那部分一阶逻辑公理。自然这样的模型(集合)也不等同于实数集。


(2) 我仍然相信,严谨的【数理逻辑学家】不会把 “存在一个满足实数诸一阶公理的模型,而这个模型是一个可数集”,荒谬地说成是【实数集可以是可数集】。

(3)  「反对伊战」先生说【 R是不可数的」不能在一阶逻辑中表达,但可在二阶逻辑中表达出来。表达出来的命题在一阶模型中为真,所以,从一阶模型内部看 「实数集是不可数集」成立。】在二阶逻辑表达出来的命题在一阶模型中为真, 这是一句地地道道的行外话。二阶逻辑的公式就不是一阶逻辑的合式公式,怎么还能在一阶逻辑中证明为真。真是天大的笑话。不知不为过,我就不挖苦了。



返回到:

zmn-000文清慧:发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录








http://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1190503.html

上一篇:zmn-0041 薛问天: 评「反对伊战」的回复
下一篇:zmn-0043 「反对伊战」: 小结,薛问天: 评「反对伊战」先生的小结。

0

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (0 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备14006957 )

GMT+8, 2019-8-22 13:08

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部