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Zmn-0027(续) 黄汝广: 对于薛问天先生的答复及薜问天先生的再评论

已有 2471 次阅读 2019-5-26 18:17 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:科研笔记

Zmn-0027(续) 黄汝广: 对于薛问天先生的答复及薜问天先生的再评论
【编者按。黄汝广先生发来《对于薛问天先生的答复》，请薛问天先生作了再评论。现将原文及评论同时发布如下。请网友们关注，並积极参与评论。】

对于薛问天先生的答复

黄汝广

薛先生说，问题就出在【恢复为其数轴上的自然顺序】这句话上。其实恢复可以这样进行：[0，1）内所有的有理数可以做两个副本，一个保持其数轴上的自然顺序，一个按照康托尔的顺序排列；现在我们取出康托尔序列中的第一个有理数，显然在数轴上有唯一与之相等的一个有理数，那么数轴上的这个数，我们就对其编号1，但是我们不改变其在数轴上的位置，再取出康托尔序列中的第二个有理数，依次类推，...。

而且，薛先生说说不可能恢复，严格讲这也需要一个证明的。当然，薛先生说：“「证明」笫三段所证明是如果第二段的错误断言「有理数能按大小顺序排成一个序列」成立，则同有理数的稠密性发生矛盾。这个证明也没错，错在前提「有理数能按大小顺序排成一个序列」不成立。而且这个矛盾正好证明了这个论断不成立。”这就说明，薛先生起码是承认这个矛盾的，我们的不同在于否定的前提不同。

按照定义，有理数集Q可数，即有理数集Q与自然数集N存在一一对应关系，也就是说，两个集合之间存在一个双射的函数关系f,这与集合的元素具体怎么排列其实没有任何关系。同样的集合，不可能一种元素排列方式存在f，而另一种排列方式却不存在。总之，可数的定义与集合元素的排列方式无关，正是这个基本特性，保证了康托尔的那个排列可以带着编号恢复为数轴上的自然顺序。

实际上,康托尔那个排列根本不是一一对应:因为一一对应，也即一个双射的函数关系f必然存在反函数f*,这只能是一元函数;但是，用分数形式表示的有理数却包含着分子p分母q两个量。这就意味着：把康托尔排列中的编号（即自然数）作为因变量，自变量实际上有两个,也即n=f(q,p),这是个二元函数,一般来说，是不会存在反函数关系p/q=f*(n)的；除非p与q总是以“p/q”的形式出现，此时函数n=f(q,p)可以写成n=f(p/q),也只有如此,才存在反函数关系p/q=f*(n)，不然，就是一一对应。因此,除非康托尔给出一个n=f(p/q)形式的通项公式,否则其证明就是无效的,最起码证明是不完整的。

薛问天的再评论

黄先生提供了一种「恢复」的过程，但是仔细分析，这个过程并没有完成黄先生要求的【恢复为其数轴上的自然顺序】的任务。该过程只是为数轴上稠密分布的每个有理数附上了它的原来的序列标号。而【恢复为其数轴上的自然顺序】是要为有理数重建一套新的序列标号，在这个新建的序列中是按数轴上的自然顺序的大小排列的。也就是说「将有理数按大小顺序排成一个序列」。显然黄先生的恢复过程并没有达到这个目的。该过程只是为数轴上稠密分布的每个有理数附上了它的原来的序列标号。而没有为有理数重建一套新的序列标号，在这个新建的序列中应是按自然顺序的大小排列的。也就是说，如果你认为有理数0是第一个有理数，你甚至不知道下一个有理数是什么。所有的有理数是稠密地分布在数轴上的。

可能黄先生对无穷集的特性还不甚了鲜。有些规律在有穷集时成立，而对无穷集并不成立。黄先生说的这句话【同样的集合，不可能一种元素排列方式存在f，而另一种排列方式却不存在。】这句话在有穷集合是对的。但是在无穷集的情况就不一定成立。例如有理数集Q，就是一个典型的例子。Q同自然数集N可以建立一一对应，但是Q同N之间却不存在保序的一一对应。即有理数集Q不可能「按大小顺序排成一个序列」。

黄先生说【说不可能恢复，严格讲这也需要一个证明。】是的。「有理数集Q不可能按大小顺序排成一个序列」这个断言是需要而且可以证明的。实际上前次黄先生指出的同有理数稠密性的矛盾，就是这个断言的证明。用反证法，假定Q可以「按大小顺序排成一个序列」，黄先生己证明这与Q的稠密性发生矛盾，从而否定了这个假定，证明了「有理数集Q不可能按大小顺序排成一个序列」。

关于最后一段说【康托尔那个排列根本不是一一对应】，显然也是错的。主要问题是黄先生没有把每个「互素的正整数二元组<p,q>」着作是一个元素。如果黄先生的抽象能力提高一步，认可二元组<p,q>是一个元素，就不会认为自然数集同「互素的正整数二元组<p,q>」集之间的一一对应是二元函数了。

至于说到【除非康托尔给出一个n=f(p/q)形式的通项公式,否则其证明就是无效的,】这个要求也过分狭隘了。实际上一一对应的双射可以用公式，也可以用一种算法来描述，甚至连算法也不需要，只要描述清楚证明存在着映射是双射就应该认为是有效的。就如同黄先生在zmn-002开始所描述的有理数可数的证明方法，就是有效的。没有必要一定要是什么【通项公式】。要知道按定义我们要求的只是存在一一映射，并没有非要有【通项公式】。更何况我们也不清楚你的【通项公式】指的是什么？是否限制必须是初等函数，或者还有其它什么要求。其实这些都是多余的和没有必要的。

(全文完)。

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