zmn-012 薛问天：解开「微分迷团」，兼评师教民先生的疑惑和莫绍揆教授等的置疑。

【编者按：薛问天先生针对师教民先生的疑惑和莫绍揆教授等的置疑，专门写了这篇文章。他澄清了对「微分」这个概念的确切理解，指出迷惑了不少学者 的所谓「微分迷团」，实际上是由于对数学分析中的微分概念的误解所引起的，从而完满地解答了这些疑问。薛问天先生的文章选自《学术争议问题评论园地》易323（2018-04-12）。】

解开「微分迷团」，

兼评师教民先生的疑惑和莫绍揆教授等的置疑。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

摘要

 由于对数学分析中「微分」概念的误解，特别是对用记号dy(或dx)在不同场合下代表的不同变量认识不请，导致有些学者产生了概念混乱的「微分迷团」，对自变量的微分的定义dx=Δx迷感不解。甚至有人据此对微积分的理论产生了质疑，认为其中有矛盾，有悖论，有错误。本文对此作了深入细致的分析，解开了「微分迷团」，全面解答了对微积分理论的疑惑和置疑。

目次

1)引言。

2)什么是「微分迷团」，如何解开迷团。

3)变量的增量。

4)微分的定义。

5)函数(因变量)的微分同自变量的微分的区别。

6)微分定义的三大要素。

7)微分记号表示的不同变量。

8)对微分记号的标注。

9)复合函数微分的「形式不变性」。

10)解开师教民老师的疑惑。

11)评莫绍揆教授的质疑。

1) 引言

由于对数学分析中的微分概念的误解所产生的「微分迷团」迷惑了不少学者。他们没有认清在微分定义中，「函数f在x0点的微分」同「自变量的微分」是分别定义的两个不同的概念。混淆了两者的区别，从而对自变量的微分dx=Δx产生了怀疑，并以此对微积分理论提出了质疑，认为微积分理论出了错误，出了矛盾，产生了「悖论」等。

「微分迷困」确实有一定的迷惑性，在部分业界也有一定的影响。师教民老师是一名大学教师，他写给某院士的一封信^【1】中说【我己经请教过的上百名大专家都回答不了我请教的问题。形成了学生把老师问得张口结舌，老师把专家问得无言以对的尴尬局面，而使微积分的教学无法真正进行下去！】。

我国著名的数理逻辑大师莫绍揆教授在南京大学学报上发表文章，明确质疑自变量微分的定义^【2】：【无论是用定义或者作出"证明"，所得的两式即dx=h，dxi=hi，都是不正确的，是不成立的。】【我们的结论是:说dx=Δx，无论如何都是不能接受的。】

姜赞臣先生说^【3】：【数学分析中最基本的矛盾是由等式dx=Δx反映的。它实际上应该是数学分析中的悖论。】

沈卫国先生也认为：【微分最主要的问题是dx=Δx的问题。】

那么什么是「微分迷团」，它为什么有这么大的迷惑性，如何解开此迷团，为什么说这是由对微分概念的误解产生的。怎样正确地理解微分概念的确切定义。本文将逐一具体分析解释，解开此迷团。

2) 什么是「微分迷团」，如何解开迷团？

所谓的「微分迷团」，就是对函数的自变量的微分定义dx=Δx产生的疑惑。因为对复合函数y=f(x)，x=g(t)来说，函数x=g(t)的微分dx是Δx的一部分(线性主部)，显然dx不等于Δx：dx≠Δx。然而在微分的定义中是把自变量的微分dx定义为等于Δx的，即dx=Δx。于是以为这是矛盾，dx等于Δx同dx不等于Δx产生的矛盾。

其实，要解开这个迷团是很简单的。因为这两个dx，虽然都用记号dx表示，前者是函数y=f(x)的【自变量的微分】，后者是【函数x=g(t)在t0点的微分】。它们根本就是两个不同的变量，此dx非彼dx，自然不相等。发现它们不相等很正常，这里没有任何矛盾。之所以产生矛盾是由于对微分概念的误解，把两个不同的变量误以为是同一个变量而产生的。

要对此认识清楚，还需对微分的定义仔细分析，澄清对微分概念的认识和理解。

3)变量的增量。

什么是微分？直观地讲，「微分是变量增量的一部分」。究竟什么是增量，微分是增量的哪一部分。让我们慢慢来分析。

设有函数y=f(x)，x是自变量，y是因变量。当自变量x在x0点有一个增量Δx(>0)时，因变量y也相应地有个增量Δy。这个增量定义为：

Δy=f(x0+Δx)-f(x0)。

显然，从此定义式可以看出，因变量增量Δy的值是随Δx而变的，即Δx确定后，Δy就确定了。而且Δy的值与函数f有关以及与点x0有关。当f换成另外的函数，或者函数不变而x0换成另外的点时，Δy的值也会发生变化。而Δx是原始的增量，他不随函数f及点x0的不同而变化。

对于复合函数h=fog的情况，即y=f(x)，x=g(t)，y=h(t)=f(g(t))。由于x0=g(t0)，Δx=g(t0+Δt)-g(t0)，从而x0+Δx=g(t0+Δt)。于是函数f在x0的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=f(g(t0+Δt))-f(g(t0))=h(t0+Δt)-h(t0)。即它等于函数h在t0点的增量。也就是说在复合函数的情况下，Δx已经不是原始增量，Δy和Δx都是由Δt确定的。求Δy时，无论用x作为中间变量，先求出Δx再来求Δy，或直接用函数h来求，都符合增量的定义公式，所求出的Δy是相同的、确定的。这就是所谓「复合函数增量的一致性」。

4)微分的定义。

上面说「微分是增量的一部分」，究竟是哪一部分呢？直观讲：「自变量的微分是变量增量的全部，因变量的微分是变量增量的线性主部」。微分的确切定义是这样定义的：

【定义(微分)】。对于函数y=f(x)，如果变量增量Δy=AΔx+o(Δx)，则把AΔx，称为【函数f在x0点的微分】，记作dy=AΔx。把Δx称为【自变量的微分】，记作dx=Δx。

上面己讲过，定义中Δx是自变量的增量，Δy是函数f在x0点，相应于Δx的函数(因变量)的增量，即Δy=f(x0+Δx)-f(x0)。

由于Δy的表达式中，AΔx是Δx的线性函数，o(Δx)是Δx的高阶无穷小，也称dy=AΔx是Δy的线性主部。关于线性和主部有严格的数学定义，微分的线性和主部这两个特性是缺一不可的。详见《谈「主部」和「线性主部」》一文(《学术争议问题评论园地》易319。)

关于微分概念的定义，以下几个关键问题是需要特别强调的。

5)函数(因变量)的微分同自变量的微分的区别。

从微分的定义可知，这里的dy=AΔx是【函数y=f(x)在x0点的微分】(我们也把它简称为【函数(因变量)的微分】)，dx=Δx是函数y=f(x)的【自变量的微分】。这是分別定义的两个不同的概念，不容混淆。

在上述定义中，【自变量的微分】直接定义为dx=Δx，不过在有些书中把自变量的微分dx定义为等值函数Ⅰ的【函数(因变量)的微分】(等值函数是一个特殊的函数，对任何x有：Ⅰ(x)=x。)由于可证对于等值函数Ⅰ，函数增量的线性主部就等于Δx(即相应的线性系数A=1)，所以可证这两种关于自变量微分的定义是等价的，都有dx=Δx的结果。

6)微分定义的三大要素。

从微分的定义可知，微分dy，dx这个概念，不仅同变量y、x等有关，而且还同函数有关，同变量在函数中的作用和地位有关。必须从概念上弄清它包含的三大要素。

第一个要素。首先要分辨该微分是【函数(因变量)的微分】还是函数【自变量的微分】。

如果是【函数(因变量)的微分】，那么还要考虑下面两个要素。

第二个要素。是哪个函数(是f，g还是h等其它函数)的微分。

第三个要素。是在哪个点的微分。

要知道这三大要素只要有一个要素不同，所定义的微分变量就是不同的变量。对于自变量的微分可以不考虑第二和第三要素，因为任何函数在任何点的自变量微分都等于自变量的增量，都一样。但是对于函数的微分dy来说，不同的函数定义不同的微分变量，既使函数相同在不同的点定义的微分变量也是不同的。

例如，假设有y=f(x)，x=g(t)，复合函数y=h(t)=f(g(t))。

令函数y=f(x)在x0点的微分dy=Adx,,,,,,①，

函数x=g(t)在t0点的微分dx=Bdt,,,,,,②，

而y=h(t)在t0点的微分dy=Cdt,,,,,③。

显然①式中的dx同②式中的dx是不同的微分变量(第一要素不同)。即①中的dx 是函数y=f(x)的【自变量的微分】，②中的dx是【函数x=g(t)在t0点的微分】，这两个dx是不相等的。

这里需要特别注意的是，对于增量系统而言，当x作为自变量时的Δx同当x作为函数x=g(t)时的增量Δx是相等的，一致的。但是对于微分系统而言，dx是自变量微分同dx是函数x=g(t)的微分是两个不同的微分变量，前者等于Δx，而后者只是它的一部分（线性主部），并不等于Δx，是不一致的。

同时，还应看到①式中的dy同③式中的dy也是不同的微分变量(第二要素不同)。前者是函数y=f(x)在x0点的微分，后者是函数y=h(t)在t0点的微分。可以具体证明它们是数值上并不相等的微分变量。有些人往往忽视了这点不同，而隐含了不应有的混乱。

7)微分记号表示不同的变量。

当我们分析了微分的定义，全面正确地理解了微分概念的确切含义以后，就会发现原来用同样的记号dy，dx在不同场合，不同公式中(甚至在同一公式的不同地方)所表达的微分变量，是不同的变量。所以我们在学习和理解，运用这些微分公式时，一定要根据定义和上下文来具体分辨和确认微分的三要素的內容，来确定它代表的是哪个微分变量，不能混淆。不要以为各处的dx，代表的都是一个变量。因为dy，dx这只是一个简单的记号，它不可能携带该微分变量的全部信息(三要素)。而是要读者根据上下文来分辨确定。只要认识清楚，概念清晰，是不会产生混乱的。

8)对微分记号的标汪。

虽然都是用相同的记号dx，dy表示，但是从定义和上下文可以分辨出它们是不同的变量。这些区别，都是隐含着的。

为了学习和理解以及论述方便，我们可以提供一种对微分进行标注的方法，把隐含的三大要素明确地标注清楚，这样可以有利于理解和论述。标注方法很简单，如果dx是自变量的微分，就标注为dx[Ⅰ]，如果是函数x=g(t)在t0点的微分就标注为dx[g，t0]。

例如前面的①②③就可标注为：

dy[f，x0]=A dx[Ⅰ],,,,,①，

dx[g，t0]=B dt[Ⅰ],,,,,②，

dy[h，t0]=C dt[Ⅰ],,,,,③。

这样标注以后，就可明显地看出①式中的dx同②式中的dx是不同的变量，①式中的dy同③式中的dy也是不同的变量。

我再强调一下，这个标注只是为了理解和论述方便，从专业角度来讲并无标注的必要，从上下文即可区别。只不过是隐含的而己。

当然，如果沈先生硬要坚持【一个符号，只能表示一个东西】的原则，完全可以用上述带标注的微分记号把微积分改写一遍。这样按照要求改写以后的微积分，不同的对象用不同的符号表示，还能认为它有矛盾吗？还有悖论存在吗？

问题是这种改写完全没有必要。根据前后文，根据论述的內容完全可以分辨出其中的dx，dy所指的变量的确定类型和内容。只要认识清楚，并不会引起混乱，产生矛盾。只有误读，认为凡是dx，就是相同的变量才会产生矛盾。

9)复合函数「微分的形式不变性」。

在微积分中。有个有趣的规律叫「微分的形式不变性」。

在复合函数的情形。设有y=f(x)，x=g(t)，从而复合函数y=h(t)=f(g(t))。令函数f的微分dy[f，x0]=Adx[Ⅰ]①，函数g的微分dx[g，t0]=Bdt[Ⅰ]②，而h的微分dy[h，t0]=Cdt[Ⅰ]③。上面己经分析，①式中的dy同③式中的dy是不同的变量，①式中的dx同②式中的dx也是不同的变量(区别见微分的标注)。由于对于复合函数，可证它们的导数具有关系：C=AB。于是有dy[h，t0]=ABdt[Ⅰ]。但是因有dx[g，t0]=Bdt[Ⅰ]，所以有dy[h，t0]=Adx[g，t0]④。注意这里④式中的dy是函数h的微分，dx是函数g的微分，这同①式中的dy(函数f的微分)和dx(f的自变量的微分)是不同的变量。但是①式和④式在形式上是完全相同的，都表示成dy=Adx。这就叫作「微分的形式不变性」。也就是说在式子dy=Adx中，你可以把它解释为「dy是函数f的微分，而且dx是f的自变量的微分」，也可以解释为「dy是函数h的微分，而且dx是函数h的微分」。这都没有错。(注。请注意解释中的【而且】两个字。也就是说，解释是dy、dx配对的，不能单独把dy作这种解释，而dx又作另种解释。)

有些人不理解其中的区别，把这种「形式的不变性」误以为是等量的「替换」或「代入」。而实际上dy[f，x0]并不等于dy[h，t0]，dx[Ⅰ]也不等于dx[g，t0]，于是就错误地以为这是数学分析中的矛盾。其实只要概念清晰，理解正确，这里沒有矛盾，也不是等量的替换和代入，而是刚好有这样的形式规律而己。其实微积分理论中之所以把它称为「形式不变性」，就是指它们只是「形式」上的相同，实际的变量是不同的，不是相等变量的替换和代入。

10)解开师教民老师的疑惑

有了上述论述和解释后，我想师教民老师的疑惑应该迎刃而解了。

师老师信中引述的理论，所说的关于自变量的微分的两项【规定】，实际上就是关于自变量微分的两种定义方法。一种是直接定义dx=Δx，另一种是把自变量的微分定义为等值函数Ⅰ(x)=x(即函数y=x)的函数（因变量）的微分。

从行文中可以看出，师先生对【没有证明的"规定"】还不甚理解，其实这里的规定就是对【自变量的微分】这个数学概念的定义。定义同定理不同，定义并不需要证明。而所引述的证明，并不是对【自变量的微分】的定义正确性的证明，而是证明这两种不同的定义方法的等价性。最后都等价于把自变量的微分定义为dx=Δx(即所引公式⑷)。

我们前面己经指出，dx作为【自变量的微分】，同dx作为函数x=g(t)的【函数(因变量)的微分】本来就不是一个变量，就不一定相等。师老师在他信中所举的例子就是要说明它们不相等。理论上就不是相同的变量，举个例子证明它们不相等，不说明任何问题。不相等这是理所当然的事，一点矛盾都没有，哪里有什么【错误】。

例如第一个例子。y=√x，它的反函数是x=y^2。当dx是函数的【自变量的微分】时，dx=Δx。当dx是函数x=y^2的【函数(因变量)的微分】时，dx=2yΔy，它当然不等于Δx。这是两个不同的dx，按照微分的定义就不是一个变量。按照上下文用我们对微分记号的标注，它们分别是dx[Ⅰ]，和dx[y^2，y]。它们不相等是理所当然的事。

第二个例子，y=f(x)，它的反函数是x=g(y)，如果对微分进行标注，师先生推出的式子是

dy[f，x0]dx[g，y0]=ΔyΔx。

这是一个非常有趣的公式。由于自变量的微分dy[Ⅰ]=Δy，dx[Ⅰ]=Δx，这个式子也可以写为

dy[f，x0]dx[g，y0]=dy[Ⅰ]dx[Ⅰ]。

这里不仅一点矛盾都没有，而且正好是反映了f和g互为反函数时，它们的几个微分变量之间的正确关系。师先生之所以认为它有矛盾，主要是混淆了【自变量的微分】同【函数(因变量)的微分】两个不同微分变量的区别。

所以说，这里产生的矛盾并不存在。并不像师先生所述那样，【进一步敲定了】微积分的理论出现错误，而是师先生混淆了微分的基本概念，在对微分概念的理解上出现了错误。

11) 评莫绍揆教授的质疑。

莫绍揆教授也是被「微分迷团」所迷惑的学者之一。他的特点是：他认识到作为自变量的微分同作为函数的微分是不同的变量。但是他却要坚持允许这些不同变量之间的「替换」，即所谓的「代入」。要知道只有相等的变量才能作这样的代入。不相等的变量不能作这样的替换。由此产生的矛盾，他解释不了，从而产生迷惑。他的质疑的核心错误就在这里。

莫先生说：【人们所从要采用微分dx主要在于对其中的x作代入，】

所以他认为，既然知df(x)=f’(x)dx，x=g(t)，将x代入x=g(t)后【而获得df(g(t))=f′(g(t))dg(t)】。于是他想不通，如果把dx作为自变量的微分定义为h的话，dx是无论如诃【而非d(g(t)，这是明白易见的。】于是莫绍揆教授产生了了迷惑。

也就是说，莫先生的错误在于认为如果变量x=g(t)，微分dx中的变量x可以代入得出dx=dg(t)。错误地以为微分dx就等于dg(t)。他的错误就在于以为变量相同，微分就相同。其实按微分的定义，微分除变量外，还有三大要素①是自变量微分还是函数的微分？如果是函数的微分，还有第二要素，②是哪个函数的微分？第三要素，③是在哪个点的微分？只要有一个要素不同，所定义的微分就是不同的微分变量。

至于微分有「形式不变性」。即dy=Adx这个式子中，可以解释为「dy为函数f在x0奌的微分，而且dx为自变量的微分。」也可以解释为「αy为复合函数h(t)=f(g(t))在t0点的微分，而且dx是函数g(t)在t0点的微分。」

之所以能作这两种不同的解释，我在前面己讲过，这是由于严格地证明了微分的「形式不变性」这个定理所致，並不是相等变量的「替换」和「代入」。这点是莫先生对微分原理的误读。

另外，我们注意到莫先生对自变量x的微分仍用记号dx表示，但对函数y=f(x)的微分，用的记号不是dy，而是df(x)。这样的记号体系，在区别函数的微分与自变量的微分方面本来有一定的好处。但是莫先生却允许在复合函数的情况下，进行x=g(t)的代入，反倒引起了混乱。亦即莫先生允许代入后有等式：df(x)=df(g(t))和dx=dg(t)。这两个式子实际上是错误的，因为df(x)表示的是函数f在x0点的微分，而df(g(t))表示的是复合函数h(t)=f(g(t))在t0的微分。这是两个不同的变量，数值并不相等。dx是自变量的微分等于Δx，而dg(t)是函数g在t0的微分，它是Δx的线性主部，并不等于Δx。莫先生用这样的微分记号，并允许其中的x作代入替换，实际上是混淆了微分概念的确切含义，造成了微分概念的混乱。这是在微积分理论的理解与表述中的严重错误。

12) 结论。

综上所述，「微分迷团」是由于对微分概念的误解所产生的概念混乱。误以为对一个变量而言，就只有一个微分变量。其实这是对微分概念的错误理解。微分不仅同变量有关，还同函数有关，还同此变量在函数中的地位有关。例如对变量x而言，微分dx是【自变量的微分】，同dx是【函数x=g(t)在t0点的微分】就是不同的变量，而且对不同的函数，不同的点，这些徵分变量都是不同的。有些人误以为这些微分都是相同的，在发现事实上并不相同后，就迷惑了，就以为微积分理论出了问题，出了矛盾。甚至认为这是悖论，是理论上的错误。

另外，有些人对复合函数的「微分的形式不变性」缺乏正确认识，把「形式」上的相同，误以为是相同变量的「替换」和「代入」，这也是产生迷惑的原因之一。

其实只要澄清了对微分概念的理解，认识到这本来就不是相同的微分变量，认识到「形式不变性」实际上不是相同变量的替换，「微分迷团」就会迎刃而解，烟消云散。就会认识到所有的这些质疑都不成立，微积分的理论在微分概念的定义上并没有矛盾，并没有错，是完全正确的。

参孝资料：

[1]。师教民：一封关于数学分析中「微分」概念问题的信件。《学术争议问题评论园地》易321，2018年3用30日。

[2]。莫绍揆：试论微分的本质。《南京大学学报》第30卷第3期，1994年7月。(亦见《学术争议问题评论园地》易322。)

[3]。姜赞臣：从标准分析中的悖论看非标准分析的必然性。《淄博师专学报》1994年6月，第二期。(亦见《学术争议问题评论园地》易317。)

附：师教民先生的一封信。

附：莫绍揆教授文章部分内容摘录：

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