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zmn-012 薛问天:解开微分迷团

已有 781 次阅读 2018-7-7 16:14 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

zmn-012 薛问天解开「微分迷团」,兼评师教民先生的疑惑和莫绍揆教授等的置疑。



【编者按:薛问天先生针对师教民先生的疑惑和莫绍揆教授等的置疑专门写了这篇文章。他澄清微分」这个概念的确切理解指出迷惑了不少学者 的所谓「微分迷团」,实际上是由于对数学分析中的微分概念的误解所引起,从而完满地解答了这些疑问。薛问天先生的文章选自《学术争议问题评论园地》易3232018-04-12)。】





解开「微分迷团」,

兼评师教民先生的疑惑和莫绍揆教授等的置疑。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

摘要

易323 薛问天:解开「微分迷团」,兼评师教民先生的疑惑和莫绍揆教授等的置疑。 - 文清慧 - 学术争议问题评论园地  由于对数学分析中「微分」概念的误解,特别是对用记号dy(dx)在不同场合下代表的不同变量认识不请,导致有些学者产生了概念混乱的「微分迷团」,对自变量的微分的定义dx=Δx迷感不解。甚至有人据此对微积分的理论产生了质疑,认为其中有矛盾,有悖论,有错误。本文对此作了深入细致的分析,解开了「微分迷团」,全面解答了对微积分理论的疑惑和置疑。

目次

1)引言。

2)什么是「微分迷团」,如何解开迷团

3)变量的增量。

4)微分的定义。

5)函数(因变量)的微分同自变量的微分的区别。

6)微分定义的三大要素。

7)微分记号表示的不同变量。

8)对微分记号的标注。

9)复合函数微分的「形式不变性」。

10)解开师教民老师的疑惑。

11)评莫绍揆教授的质疑。



1) 引言

由于对数学分析中的微分概念的误解所产生的「微分迷团」迷惑了不少学者。他们没有认清在微分定义中,「函数fx0点的微分」同「自变量的微分」是分别定义的两个不同的概念。混淆了两者的区别,从而对自变量的微分dx=Δx产生了怀疑,并以此对微积分理论提出了质疑,认为微积分理论出了错误,出了矛盾,产生了「悖论」等。

「微分迷困」确实有一定的迷惑性,在部分业界也有一定的影响。师教民老师是一名大学教师,他写给某院士的一封信1中说【我己经请教过的上百名大专家都回答不了我请教的问题。形成了学生把老师问得张口结舌,老师把专家问得无言以对的尴尬局面,而使微积分的教学无法真正进行下去!】。

我国著名的数理逻辑大师莫绍揆教授在南京大学学报上发表文章,明确质疑自变量微分的定义2:【无论是用定义或者作出"证明",所得的两式即dx=hdxi=hi,都是不正确的,是不成立的。】【我们的结论是:dx=Δx,无论如何都是不能接受的。】

姜赞臣先生说3:【数学分析中最基本的矛盾是由等式dx=Δx反映的。它实际上应该是数学分析中的悖论。】

沈卫国先生也认为:【微分最主要的问题是dx=Δx的问题。】

那么什么是「微分迷团」,它为什么有这么大的迷惑性,如何解开此迷团,为什么说这是由对微分概念的误解产生的。怎样正确地理解微分概念的确切定义。本文将逐一具体分析解释,解开此迷团。



2) 什么是「微分迷团」,如何解开迷团

所谓的「微分迷团」,就是对函数的自变量的微分定义dx=Δx产生的疑惑。因为对复合函数y=f(x)x=g(t)来说,函数x=g(t)的微分dxΔx的一部分(线性主部),显然dx不等于Δxdx≠Δx。然而在微分的定义中是把自变量的微分dx定义为等于Δx的,即dx=Δx。于是以为这是矛盾,dx等于Δxdx不等于Δx产生的矛盾。

其实,要解开这个迷团是很简单的。因为这两个dx,虽然都用记号dx表示,前者是函数y=f(x)的【自变量的微分】,后者是【函数x=g(t)t0的微分】。它们根本就是两个不同的变量,此dx非彼dx,自然不相等。发现它们不相等很正常,这里没有任何矛盾。之所以产生矛盾是由于对微分概念的误解,把两个不同的变量误以为是同一个变量而产生的。

要对此认识清楚,还需对微分的定义仔细分析,澄清对微分概念的认识和理解。



3)变量的增量。

什么是微分?直观地讲,「微分是变量增量的一部分」。究竟什么是增量,微分是增量的哪一部分。让我们慢慢来分析。

设有函数y=f(x)x是自变量y是因变量。当自变量xx0点有一个增量Δx(>0)时,因变量y也相应地有个增量Δy。这个增量定义为:

Δy=f(x0+Δx)-f(x0)

显然,从此定义式可以看出,因变量增量Δy的值是Δx而变的,即Δx确定后,Δy就确定了。而且Δy的值与函数f有关以及与点x0有关。当f换成另外的函数,或者函数不变而x0换成另外的点时,Δy的值也会发生变化。Δx是原始的增量,他不随函数f及点x0的不同而变化。

对于复合函数h=fog的情况,即y=f(x)x=g(t)y=h(t)=f(g(t))。由于x0=g(t0)Δx=g(t0+Δt)-g(t0),从而x0+Δx=g(t0+Δt)。于是函数fx0的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=f(g(t0+Δt))-f(g(t0))=h(t0+Δt)-h(t0)。即它等于函数ht0点的增量。也就是说在复合函数的情况下,Δx已经不是原始增量,ΔyΔx都是由Δt确定的。求Δy时,无论用x作为中间变量,先求出Δx再来求Δy,或直接用函数h来求,都符合增量的定义公式,所求出的Δy是相同的、确定的。这就是所谓「复合函数增量的一致性」。



4)微分的定义。

上面说「微分是增量的一部分」,究竟是哪一部分呢?直观讲:「自变量的微分是变量增量的全部,因变量的微分是变量增量的线性主部」。微分的确切定义是这样定义的:

【定义(微分)。对于函数y=f(x),如果变量增量Δy=AΔx+o(Δx),则把AΔx,称为【函数fx0点的微分】,记作dy=AΔx。把Δx称为【自变量的微分】,记作dx=Δx

上面己讲过,定义中Δx是自变量的增量,Δy是函数fx0点,相应于Δx的函数(因变量)的增量,即Δy=f(x0+Δx)-f(x0)

由于Δy的表达式中,AΔxΔx的线性函数,o(Δx)Δx的高阶无穷小,也称dy=AΔxΔy的线性主部。关于线性和主部有严格的数学定义,微分的线性和主部这两个特性是缺一不可的。详见《谈「主部」和「线性主部」》一文(《学术争议问题评论园地》易319)

关于微分概念的定义,以下几个关键问题是需要特别强调的。



5)函数(因变量)的微分同自变量的微分的区别。

从微分的定义可知,这里的dy=AΔx是【函数y=f(x)x0点的微分】(我们也把它简称为【函数(因变量)的微分】)dx=Δx是函数y=f(x)的【自变量的微分】。这是分別定义的两个不同的概念,不容混淆。

在上述定义中,【自变量的微分】直接定义为dx=Δx,不过在有些书中把自变量的微分dx定义为等值函数Ⅰ的【函数(因变量)的微分】(等值函数是一个特殊的函数,对任何x有:Ⅰ(x)=x)由于可证对于等值函Ⅰ,函数增量的线性主部就等于Δx(即相应的线性系数A=1),所以可证这两种关于自变量微分的定义是等价的,都有dx=Δx的结果。



6)微分定义的三大要素。

从微分的定义可知,微分dydx这个概念,不仅同变量yx等有关,而且还同函数有关,同变量在函数中的作用和地位有关。必须从概念上弄清它包含的三大要素。

第一个要素。首先要分辨该微分是【函数(因变量)的微分】还是函数【自变量的微分】。

如果是【函数(因变量)的微分】,那么还要考虑下面两个要素。

第二个要素。是哪个函数(fg还是h等其它函数)的微分。

第三个要素。是在哪个点的微分。

要知道这三大要素只要有一个要素不同,所定义的微分变量就是不同的变量。对于自变量的微分可以不考虑第二和第三要素,因为任何函数在任何点的自变量微分都等于自变量的增量,都一样。但是对于函数的微分dy来说,不同的函数定义不同的微分变量,既使函数相同在不同的点定义的微分变量也是不同的。

例如,假设有y=f(x)x=g(t),复合函数y=h(t)=f(g(t))

令函数y=f(x)x0点的微分dy=Adx,,,,,,

函数x=g(t)t0点的微分dx=Bdt,,,,,,②

y=h(t)t0点的微分dy=Cdt,,,,,


显然①式中的dx同②式中的dx是不同的微分变量(第一要素不同)。即①中dx 函数y=f(x)的【自变量的微分】,②中的dx是【函数x=g(t)t0的微分】,这两个dx是不相等的。

这里需要特别注意的是,对于增量系统而言,当x作为自变量时的Δx同当x作为函数x=g(t)时的增量Δx是相等的,一致的。但是对于微分系统而言,dx是自变量微分同dx是函数x=g(t)的微分是两个不同的微分变量,前者等于Δx,而后者只是它的一部分(线性主部),并不等于Δx,是不一致的。

同时,还应看到①式中的dy同③式中的dy也是不同的微分变量(第二要素不同)。前者是函数y=f(x)x0点的微分,后者是函数y=h(t)t0点的微分。可以具体证明它们是数值上并不相等的微分变量。有些人往往忽视了这点不同,而隐含了不应有的混乱。



7)微分记号表示不同的变量。

当我们分析了微分的定义,全面正确地理解了微分概念的确切含义以后,就会发现原来用同样的记号dydx在不同场合,不同公式中(甚至在同一公式的不同地方)所表达的微分变量,是不同的变量。所以我们在学习和理解,运用这些微分公式时,一定要根据定义和上下文来具体分辨和确认微分的三要素的內容,来确定它代表的是哪个微分变量,不能混淆。不要以为各处的dx,代表的都是一个变量。因为dydx这只是一个简单的记号,它不可能携带该微分变量的全部信息(三要素)。而是要读者根据上下文来分辨确定。只要认识清楚,概念清晰,是不会产生混乱的。



8)对微分记号的标汪。

虽然都是用相同的记号dxdy表示,但是从定义和上下文可以分辨出它们是不同的变量。这些区别,都是隐含着的。

为了学习和理解以及论述方便,我们可以提供一种对微分进行标注的方法,把隐含的三大要素明确地标注清楚,这样可以有利于理解和论述。标注方法很简单,如果dx是自变量的微分,就标注为dx[Ⅰ],如果是函数x=g(t)t0点的微分就标注为dx[gt0]

例如前面的①②③就可标注为:

dy[fx0]=A dx[Ⅰ],,,,,

dx[gt0]=B dt[Ⅰ],,,,,

dy[ht0]=C dt[Ⅰ],,,,,


这样标注以后,就可明显地看出①式中的dx同②式中的dx是不同的变量,①式中的dy同③式中的dy也是不同的变量。

我再强调一下,这个标注只是为了理解和论述方便,从专业角度来讲并无标注的必要,从上下文即可区别。只不过是隐含的而己。

当然,如果沈先生硬要坚持【一个符号,只能表示一个东西】的原则,完全可以用上述带标注的微分记号把微积分改写一遍。这样按照要求改写以后的微积分,不同的对象用不同的符号表示,还能认为它有矛盾吗?还有悖论存在吗?

问题是这种改写完全没有必要。根据前后文,根据论述的內容完全可以分辨出其中的dxdy所指的变量的确定类型和内容。只要认识清楚,并不会引起混乱,产生矛盾。只有误读,认为凡是dx,就是相同的变量才会产生矛盾。



9)复合函数「微分的形式不变性」。

在微积分中。有个有趣的规律叫「微分的形式不变性」。

在复合函数的情形。设有y=f(x)x=g(t),从而复合函数y=h(t)=f(g(t))。令函数f的微分dy[fx0]=Adx[Ⅰ]①,函数g的微分dx[gt0]=Bdt[Ⅰ]②,而h的微分dy[ht0]=Cdt[Ⅰ]③。上面己经分析,①式中的dy同③式中的dy是不同的变量,①式中的dx同②式中的dx也是不同的变量(区别见微分的标注)。由于对于复合函数,可证它们的导数具有关系:C=AB。于是有dy[ht0]=ABdt[Ⅰ]。但是因有dx[gt0]=Bdt[Ⅰ],所以有dy[ht0]=Adx[gt0]④。注意这里④式中的dy是函数h的微分,dx是函数g的微分,这同①式中的dy(函数f的微分)dx(f的自变量的微分)是不同的变量。但是①式和④式在形式上是完全相同的,都表示成dy=Adx。这就叫作「微分的形式不变性」。也就是说在式子dy=Adx中,你可以把它解释为「dy是函数f的微分,而且dxf的自变量的微分」,也可以解释为「dy是函数h的微分,而且dx是函数h的微分」。这都没有错。(注。请注意解释中的【而且】两个字。也就是说,解释是dydx配对的,不能单独把dy作这种解释,而dx又作另种解释。)

有些人不理解其中的区别,把这种「形式的不变性」误以等量的「替换」或「代入」。而实际上dy[fx0]并不等于dy[ht0]dx[Ⅰ]也不等于dx[gt0],于是就错误地以为这是数学分析中的矛盾。其实只要概念清晰,理解正确,这里沒有矛盾,也不是等量的替换和代入,而是刚好有这样的形式规律而己。其实微积分理论中之所以把它称为「形式不变性」,就是指它们只是「形式」上的相同,实际的变量是不同的,不是相等变量的替换和代入。



10)解开师教民老师的疑惑

有了上述论述和解释后,我想师教民老师的疑惑应该迎刃而解了。

师老师信中引述的理论,所说的关于自变量的微分的两项【规定】,实际上就是关于自变量微分的两种定义方法。一种是直接定义dx=Δx,另一种是把自变量的微分定义为等值函数Ⅰ(x)=x(即函数y=x)的函数(因变量)的微分。

从行文中可以看出,师先生对【没有证明的"规定"】还不甚理解,其实这里的规定就是对【自变量的微分】这个数学概念的定义。定义同定理不同,定义并不需要证明。而所引述的证明,并不是对【自变量的微分】的定义正确性的证明,而是证明这两种不同的定义方法的等价性。最后都等价于把自变量的微分定义为dx=Δx(即所引公式⑷)

我们前面己经指出,dx作为【自变量的微分】,同dx作为函数x=g(t)的【函数(因变量)的微分】本来就不是一个变量,就不一定相等。师老师在他信中所举的例子就是要说明它们不相等。理论上就不是相同的变量,举个例子证明它们不相等,不说明任何问题。不相等这是理所当然的事,一点矛盾都没有,哪里有什么【错误】。

例如第一个例子。y=√x,它的反函数是x=y^2。当dx是函数的【自变量的微分】时,dx=Δx。当dx是函数x=y^2的【函数(因变量)的微分】时,dx=2yΔy,它当然不等于Δx。这是两个不同的dx,按照微分的定义就不是一个变量。按照上下文用我们对微分记号的标注,它们分别是dx[Ⅰ],和dx[y^2y]。它们不相等是理所当然的事。

第二个例子,y=f(x),它的反函数是x=g(y),如果对微分进行标注,师先生推出的式子是

dy[fx0]dx[gy0]=ΔyΔx

这是一个非常有趣的公式。由于自变量的微分dy[Ⅰ]=Δydx[Ⅰ]=Δx,这个式子也可以写为

dy[fx0]dx[gy0]=dy[Ⅰ]dx[Ⅰ]

这里不仅一点矛盾都没有,而且正好是反映了fg互为反函数时,它们的几个微分变量之间的正确关系。师先生之所以认为它有矛盾,主要是混淆了【自变量的微分】同【函数(因变量)的微分】两个不同微分变量的区别。

所以说,这里产生的矛盾并不存在。并不像师先生所述那样,【进一步敲定了】微积分的理论出现错误,而是师先生混淆了微分的基本概念,在对微分概念的理解上出现了错误。



11) 评莫绍揆教授的质疑。

莫绍揆教授也是被「微分迷团」所迷惑的学者之一。他的特点是:他认识到作为自变量的微分同作为函数的微分是不同的变量。但是他却要坚持允许这些不同变量之间的「替换」,即所谓的「代入」。要知道只有相等的变量才能作这样的代入。不相等的变量不能作这样的替换。由此产生的矛盾,他解释不了,从而产生迷惑。他的质疑的核心错误就在这里。

莫先生说:【人们所从要采用微分dx主要在于对其中的x作代入,】

所以他认为,既然知df(x)=f’(x)dxx=g(t),将x代入x=g(t)后【而获得df(g(t))=f′(g(t))dg(t)】。于是他想不通,如果把dx作为自变量的微分定义为h的话,dx是无论如诃【而非d(g(t),这是明白易见的。】于是莫绍揆教授产生了了迷惑。

也就是说,莫先生的错误在于认为如果变量x=g(t),微分dx中的变量x可以代入得出dx=dg(t)。错误地以为微分dx就等于dg(t)。他的错误就在于以为变量相同,微分就相同。其实按微分的定义,微分除变量外,还有三大要素①是自变量微分还是函数的微分?如果是函数的微分,还有第二要素,②是哪个函数的微分?第三要素,③是在哪个点的微分?只要有一个要素不同,所定义的微分就是不同的微分变量。

至于微分有「形式不变性」。即dy=Adx这个式子中,可以解释为「dy为函数fx0奌的微分,而且dx为自变量的微分。」也可以解释为「αy为复合函数h(t)=f(g(t))t0点的微分,而且dx是函数g(t)t0点的微分。」

之所以能作这两种不同的解释,我在前面己讲过,这是由于严格地证明了微分的「形式不变性」这个定理所致,並不是相等变量的「替换」和「代入」。这点是莫先生对微分原理的误读。

另外,我们注意到莫先生对自变量x的微分仍用记号dx表示,但对函数y=f(x)的微分,用的记号不是dy,而是df(x)。这样的记号体系,在区别函数的微分与自变量的微分方面本来有一定的好处。但是莫先生却允许在复合函数的情况下,进行x=g(t)的代入,反倒引起了混乱。亦即莫先生允许代入后有等式:df(x)=df(g(t))dx=dg(t)。这两个式子实际上是错误的,因为df(x)表示的是函数fx0点的微分,而df(g(t))表示的是复合函数h(t)=f(g(t))t0的微分。这是两个不同的变量,数值并不相等。dx是自变量的微分等于Δx,而dg(t)是函数gt0的微分,它是Δx的线性主部,并不等于Δx。莫先生用这样的微分记号,并允许其中的x作代入替换,实际上是混淆了微分概念的确切含义,造成了微分概念的混乱。这是在微积分理论的理解与表述中的严重错误。



12) 结论。

综上所述,「微分迷团」是由于对微分概念的误解所产生的概念混乱。误以为对一个变量而言,就只有一个微分变量。其实这是对微分概念的错误理解。微分不仅同变量有关,还同函数有关,还同此变量在函数中的地位有关。例如对变量x而言,微分dx是【自变量的微分】,同dx是【函数x=g(t)t0点的微分】就是不同的变量,而且对不同的函数,不同的点,这些徵分变量都是不同的。有些人误以为这些微分都是相同的,在发现事实上并不相同后,就迷惑了,就以为微积分理论出了问题,出了矛盾。甚至认为这是悖论,是理论上的错误。

另外,有些人对复合函数的「微分的形式不变性」缺乏正确认识,把「形式」上的相同,误以为是相同变量的「替换」和「代入」,这也是产生迷惑的原因之一。

其实只要澄清了对微分概念的理解,认识到这本来就不是相同的微分变量,认识到「形式不变性」实际上不是相同变量的替换,「微分迷团」就会迎刃而解,烟消云散。就会认识到所有的这些质疑都不成立,微积分的理论在微分概念的定义上并没有矛盾,并没有错,是完全正确的。



参孝资料:

[1]。师教民:一封关于数学分析中「微分」概念问题的信件。《学术争议问题评论园地》易3212018330日。

[2]。莫绍揆:试论微分的本质。《南京大学学报》第30卷第3期,19947(亦见《学术争议问题评论园地》易322)

[3]姜赞臣:从标准分析中的悖论看非标准分析的必然性。《淄博师专学报》19946月,第二期。(亦见《学术争议问题评论园地》易317)




附:师教民先生的一封信。

   







附:莫绍揆教授文章部分内容摘录:


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