Zmn-013 薛问天：这是不同的「微分」变量-兼评丁先生的错误论点

【编者按：这是薛问天先生撰写的有关「微分迷团」的又一篇评论文章。】

这是不同的「微分」变量

-兼评丁先生的错误论点

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

最 近看到丁先生的两篇文章：「关于现行微积分原理的再思考！」(《科技创新导报》2011年第29期，总第209期)，和「浅谈现行微积分原理的错误」(《前沿科学》2015第4期)。他在文中所说的【现行微积分原理的错误】，根本不是什么错误，而是他对「微分」概念的误读。

「微分迷团」曾迷惑了不少学者。我曾撰文进行了评论，写有「解开微分迷团」一文(见《评论园地》易323)。基本论点在那里己讲清楚了。现在在这里再做一些进一步的解说。

关于对「微分概念」的误读，主要有以下三个方面。

1) 对「微分概念」的误读一：错误地认为「对一个变量x来说，微分dx只有一个」。

他们以为微分的记号是dx，是d后跟一个变量x，似乎微分dx仅仅只同变量x有关，于是错误地以为「对一个变量x来说，微分dx只有一个」。

实际上这是对「徵分概念」的误读。微分这个数学概念不仅同变量有关，还同函数有关。我们知道函数分自变量和因变量。因而在谈论变量x的微分dx时，首先要分清这个微分dx是函数「自变量的微分」还是函数「因变量的微分」。这是两个不同的微分。其次，如果dx是函数「因变量的微分」，还要分清这是哪个函数在哪个点的「微分」。要知道对于不同函数在不同点的微分是不同的。

关于这点，在微分的定义中是讲得非常清楚的。按照微分的定义，如果变量x是函数y=f(x)的自变量，则变量x的「自变量的微分」dx=Δx。如变量x是函数x=g(t)的因变量，则其「因变量的微分」dx=BΔt，它是Δx的线性主部，一般不等于Δx。由于一个变量x，它既可以是函数y=f(x)的「自变量」，也可以是函数x=g(t)的因变量，可见对于一个变量x来说，微分dx可能不止一个。由于「自变量的微分」dx=Δx，它同函数f和点无关，只有一个。但是其「因变量的微分」dx=BΔt，却同函数g以及点有很大关系。B是函数g在t0点的导数，对于不同函数和不同点，导数B一般是不相等的。因而相应的微分dx一般也是不相同的。综上所述，对于一个变量来x说，有一个「自变量的微分」和无数个「因变量的微分」，微分dx不止一个。

所以说，认为「对于一个变量x来说，微分dx只有一个」是错误的，不正确的，是误读。在谈到某微分dx时，你一定要根据定义和上下文搞清楚，这个dx指的是哪个微分，是「自变量的微分」还是「因变量的微分」。如果是「因变量的微分」，还应搞清，是哪个函数在哪个点的微分，在概念上不容混淆。

2) 对「微分概念」的误读二：错误地认为「在不同场合下不同公式中的dx都是一个变量。」

有人坚持认为：【如果用同一个符号，就意味着它表示同一个东西。】于是他们认为用记号dx表示的微分变量，无论出现在哪里，都是相等的同一微分变量。具体说，例如对于复合函数，现行微积分理论中有下述表述公式：

函数y=f(x)在x0点的微分是：dy=Adx……①，

函数x=g(t)在t0点的微分是：dx=Bdt……②，

复合函数y=h(t)=f(g(t))在t0点的微分是：dy=Cdt……③。

由于可证C=AB，所以③式也可写为：dy=ABdt……③。

坚持上述错误观点的人认为①式中的dx同②式中的dx是同一个变量，同时也认为①式中的dy伺③式中的dy是一个变量。而认为它们是同一变量的唯一理由就是：【如果用同一个符号，就意味着它表示同一个东西。】现在我们就来分析它这个理由为什么不成立。

一般说，通常用一个符号(名称)表示同一个东西，这没错。但是不能把它绝对化。不能认为在所有情况下，一个符号表示的就都是一个东西。要知道有些时候，「在明确说明的条件下，一个符号(或名称)完全可以表示不同的对象。」

举个通俗例子。我们说：「大一班有个同学叫王华，大二班有个同学也叫王华。」显然王华这个人名，指的是两个不同的人而不是一个人。因为我们己经「明确说明」一个在大一班一个在大二班。因而「在明确说明的条件下」，王华这同一个符号，表示的可以是两个不同的人。

当一个简单记号包含不了所表示的对象的全部特征信息吋，使用同一记号，同时附以文字的「明确说明」，这个同一的记号完全可以表示不同的对象。
上述对于微分记号的错误观点就是只知其一，不知其二，犯了这种绝对化的教条性质的错误

在上式①中的dx，明确指的是「自变量的微分」。正因为dx是「自变量的微分」，才有dx=Δx，才从dy=AΔx得出dy=Adx这个①式。

而②式中的dx，明确指的是「函数x=g(t)在t0点的微分」，是「因变量的微分」。也就是说，①式中的dx同②式中的dx，虽然是同一个记号，都是dx，但是己经「明确说明」这是两个不同的微分，所以它表示的是两个不同的微分变量，而不是一个变量。把它看作是一个变量，是对微积分原理的严重误读。

同样，①式中的dy明确说明是「函数f在x0点的微分」，③式中的dy明确说明是「函数h在t0点的微分」，虽然用的是同一个记号dy，但己经「明确说明」它们表示的是不同的微分变量。

有人问道：【你如果认为不同，就应该用不同的符号表示。不是吗？你为什么用同一个符号表示不同的东西？】

这就是不了解微积分的发展史了。运一套微分记号dy，dx等的符号系统并不是现代人发明创造昀。而是早期的微积分方法保留下来的记号系统。早期的微分概念是模糊的、不严格的。现代的微积分理论是引入了极限概念后对原有的微积分概念进一步严格地解释后形成的。正是由于可以用定义，用文字「明确说明」微分的确切含义，所以并没有必要改变原有的微分记号。关于这点，在微分的定义中己说得相当清楚，白纸黑字写得明明白白：是「函数f在x0点的微分」和「自变量的微分」。变量在函数中的地位不同，函数不同或点不同，相应的就是不同的微分变量。用定义和上下文的「明确说明」完全可以区别同一记号所表示的不同微分变量。只要正确理解，不会产生混乱。

这就如同，只要有「大一班的王华」和「大二班的王华」加以文字的「正确说明」后，实际上并无必要让这两个同学更改他们原有的名字，是一个道理。

当然你如果非要较真，你也可以用标注的方法，把「f在x0点微分」dy写成dy[f，x0]，把「自变量的微分」dx写成dx[Ⅰ]。用此把整个徵积分重新改写。但是实际证明，这完全是多此一举，毫无必要。因为从定义和上下文完全可以辨别这些变量的不同。

3) 对「微分概念」的误读三：错误地把「微分的形式不变性」误以为是「相等微分变量的替换和代入」。

我们知道，在微积分原理中，对复合函数有所谓「微分的形式不变性」。它的意思是说，由于②式：dx=Bdt，和③式dy=ABdt，可以得出dy=Adx……④。而这个④式和①式dy=Adx，从形式上看是完全一样的。这就叫做「微分的形式不变性」。

我们注意，之所以叫「形式不变性」，是说④式和①式只是「形式」上相同，而其中的实际变量dy和dx都是不同的变量。也就是说①式中的dy是「函数f在x0的微分」，它不同于④式(也是③式)中的dy「函数g在t0点的微分」，①式中的dx是「自变量的微分」，它不同于④式(也是②式)中的dx：「函数g在t0点的微分」。

把①式中的dy(dx)，误以为是与④中的dy(dx)相同的变量，即把「形式不变性」误以为是「相同变量的替换和代入」，这是对微积分原理论的严重误读。更有甚者，认为①~④中所有的dx都相等，所有的dy都相等，可以任意替换代入。例如，认为③式dy=ABdt，是由①式dy=Adx，将其中的dx用②式dx=Bdt替换代入而得到。显然这是极端错误的。因为①式中的dx同②式中的dx根本就不是相同的变量，怎么可以随便替换和代入呢？况且代入前的①式中的dy也并不是代入后的③中的dy。因而③式不能由①和②推出。实际上③式的C=AB是由「复合函数h的导数C等于f的导数A同g的寻数B的乘积」这个定理得出的。这其中的逻辑关系不能随意混淆。

下面我们来分析丁 先生的错误观点。

丁先生的基本论点是认为【现行微分与导数原理的错误】是【强行定义dx=Δx。】因为在变量x是复合函数的中间变量时，ⅹ是t的函数x=G(t)，此时不得不承认：【Δx=g(t0)Δt+o(Δt)=dx+o(Δt)，因此Δx≠dx】。他认为这就是【现行微积分原理的错误】，怎么可以既有dx=Δx，又有dx≠Δx？

从前面的分析可以看出，丁先生的错误观点完全是源于他对微分原理的误读。因为这里使dx=Δx的微分变量dx，同使dx≠Δx的微分变量dx，虽然用的是同一个记号dx，但是它们根本就不是一个变量，而是两个不同的微分变量。前者dx是「自变量的微分」，后者是「函数G在t0点的微分」，即「因变量的微分」。这从微分的定义和上下文中，是分得清清楚楚的。这就是我们前面讲的，「在明确说明的条件下，同一个记号可以表示不同的对象」的情况。而丁先生之所以认为是矛盾，是错误，就是把这两个不同的变量错误地以为是同一个变量了。其实是两个不同的变量，前者dx=Δx，后者dx≠Δx。里一点矛盾也没有，不存在任何错误。

另外，从丁先生所质疑的问题，也可看出他对微分原理的误读。
丁先生问：【1、凭什么强行定义dx=Δx，依据何在？】

我们知道数学中的定义和定理不同，定理需要证明，需要查问【依据何在？】但是，定义只是对一个数学对象起个名字而己，并不需要查问它的依据。定义不是定理，它不需要证明，不需要提供依据，这是数学的基本常识。至于为什么要把函数「因变量的微分」定义为「变量增量的线性主部」，而把「自变量的微分」定义为「变量增量的全部」，当然有它的道理。但是这个道理只能靠学习者的悟性，看你能悟出多少道理来，而不能也不需要作为定义本身的论证依据。换句话说，定义就是【强行】的，不讲【依据】。为什么这样定义，你自己去体会，但不管你作怎样体会，它都不能也不需要作为定义论证的【依据】，而只是你的理解和体会而已。

丁先生又问：【2、对于特殊的y=x，有dx=Δx，对于一般的y=F(x)，还有dx=Δx吗？】

看来丁先生还不了解，关于「自变量的微分」的两个等价定义，一个定义是把「自变量的微分」直接定义为「变量的增量」，即：dx=Δx。另一个定义是把「自变量的微分」dx定义为「等值函数(即特殊的函数y=x)的因变量的微分」dy。由于等值函数的导数A恒等于1，所以它的因变量的微分dy=AΔx=Δx，即线性主部就是Δx本身，即dx=dy=AΔx=Δx。这就证明了这两种关于「自变量的微分」的定义是等价的。最终的结果都是dx=Δx。
从丁先生所提问题来看，丁先生的概念不够清晰，没有分清「自变量微分」同「因变量的微分」的区别。「自变量的微分」可以等价地定义为「等值函数的因变量的微分」dx=Δx。
对于其它函数y=F(x)耒说，导数不等于1，当然「因变量的微分」dy一般不等于Δx，即dy=AΔx≠Δx。但是「自变量的微分」dx仍然等于Δx，即仍然有dx=Δx。不过如果x作为函数x=G(t)的因变量，当dx是「函数G在t0点的因变量的微分」时，dx=g(t0)Δt，它是Δx的线性主部，此时dx并不等于Δx。

总之，对于变量x来说，微分dx不止一个，一定要根据定义和上下文分清它是哪个微分，是「自变量的微分」，还是「哪个函数在哪个点的因变量的微分」。其中有些dx=Δx，有些dx≠Δx，不容混淆。

至于丁先生所说的【对于多元微积分，更是令人啼笑皆非】的感受，其实就是源于丁先生对于一元微积分中「微分概念」的误读。

对于多元函数f(x)=f(x1，x2，…，xm)，中的变元xi来说，它的「自变量的微分」dxi就如同一元函数的情况一样，定义为Δxi，即dxi=Δxi。而在复合函数的情况下，当xi=xi(t)=xi(t1，…，tl)时，它的「因变量的微分」dxi等于Δxi的线性主部，一般地：dxi≠Δxi。这里一点矛盾都没有，因为它们代表的根本不是同一个变量。所以说，丁先生在文中所得出的【约定或者强行定义Δxi＝dxi，都是荒唐的】结论是完全错误的，是源于他对「微分概念」的误读。

这里一点都不【荒唐】，而荒唐的正是丁 先生从「自变量的微分」的两个定义等价的证明中，却推出了【如此这般，本来的多元函数又变成了不倫不类的一元函数了。】不知林先生用的是什么魔术般的逻辑。这才【显然是荒唐的】，而且【更是另人啼笑皆非】。

综上所述，丁 先生在文中所说的【现行微积分原理的错误】，根本不是什么错误，而是他对「微分」概念的误读。他对微积分原理的质疑源于对微分概念的错误理解。一旦纠正了这些错误的解读，那些对微积分原理的质疑就会顿时烟消云散，化为烏有。（全文完）

附丁先生文章的部分原文：

后略。

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