Zmn-0019薛问天：江南青山绿水的「证明」错在哪里?

【编者按：在Zmn-0018中，江南青山绿水绐出了一个有理数不可数的「证明」。薛问天先生撰文作了深入的分析，指出了「证明」错在哪里。现将薛文发布如下，请大家关注并积极参与评论。】

江南青山绿水的「证明」错在哪里?

薛问天

xuewentian2006@sina.cn 

 江南青山绿水绐出了一个有理数不可数的「证明」。由于众所周知有理数是可数的，而且证明它可数的枚举方法也很简单，为大家所熟知。因而江南先生的这个「证明」必然是错误的。问题是要经过分析指出它错在哪里?江南先生「证明」的思路和逻辑可以归纳为如下四点。
(1)假定有理数可数，则存在一个枚举有理数的序列ω1，ω2,...。所有的有理数都在此序列(我们称之为ωn序列)之中。
(2)在ωn序列中存在两个无限子序列α1,α2,...，和β1,β2,...。滿足条件:
α1﹤α2﹤...﹤...β2﹤β1。而且由于αn序列递增有上界，存在极限αn→α∞。βn递减有下界，存在极限βn→β∞。
(3)不可能有α∞﹤β∞，所以只有一种可能:  α∞=β∞=η。
(4)由于η是序列αn和βn的极限，不在序列之中，因而有理数η不在ωn序列之中，序列没有包括所有的有理数，不完整。从而推断反证法的假定「有理数可数」不成立。有理数不可数得证。

(一) 误以为有理数序列的极限一定是有理数

在江南先生的上述证明中，(1)没有任何问题，正确无误。(2)，(3)尽管在论证中有一些缺陷，但还可以补正，使其成立。关键性的错误在第(4)点上。
江南先生不了解，有理数序列的极限不一定是有理数这个事实。误以为有理数序列的极限一定是有理数。他断定η是有理数，由η不在ωn序列中，就错误地推断ωn序列不完整。他没有想到如果η不是有理数，是无理数，就推不出他要的结论来。这就是江南先生「证明」错误的根本所在。

实数序列的极限一定是实数，即实数域关于极限运算是封闭的。这就叫作实数的连续性。有理数域并不具有连续性，即有理数序列的极限不一定是有理数，有可能是无理数，超出了有理数的范围。这正是有理数域同实数域的重要区别。看来江南先生的错误就出在这个认知的缺陷上。

当然，有理数序列的极限不一定是有理数，并不是说它一定不是有理数。有的有理数序列的极限也可以是有理数。那么如果这里极限是有理数，是不是这个「证明」就没有问题了呢?不是的，因为我们这里可以证明αn的极限η不可能是有理数只能是无理数。证明也很简单，如果η是有理数，它肯定在某有穷步被枚举，它肯定在αn序列的形成过程中被列入αn序列之中，而不会允许有无穷序列αn都比η小。所以η只能是无理数。

(二)其它一些错误概念

江南先生的论述中，还有一些错误的概念。虽然并不是导致该「证明」错误的原因，但也是需要指出的需要纠正的错误。

1)  例如他说【最大的α不能大于最小的β】。这就是一个概念错误。要知道对于无穷集来说，集合不一定存在最大元和最小元。序列αn就没有「最大的α」，序列βn也没有「最小的β」。上句话应该说成是「所有的αn小于所有的βn」就对了。

2)  再例如，说【当你在最后一组α和β之间找到两个新的有理数的时候，......。】说明江南先生并没有真正理解什么是无穷序列。既然是无穷序列，该序列的元素就是无穷无尽的。不存在什么【最后的一组】。对无穷的理解有一种错误的认识 。有人错误地认为实无穷观点承认无穷是有尽头的，在遥远的某个地方有无穷的最后时刻的最后一步。不对，这不是实天穷观。潛无穷观认为无穷序列是一个尚未完成的不确定的概念，而实无穷观是把无穷序列作为一个整体，作为无穷集合，看作是一个确定的数学对象。并不承认无穷序列有最后的末项。

3)  在知道η是无穷序列αn和βn的极限时，说【在有理数列表中搜索到η之前的那一对α和β】，也属于同样的错误。不存在两个无穷序列的求极限前的【最后的一组】。

至于说η是有理数，前面己经说明，它不可能是αn和βn无穷序列的极限。因为如果η是有理数，则根据假设在有穷步内可被枚举，因而在搜索到η之前的那对α和β就是序列中间的一元(有穷项)，因而在序列αn和βn的形成中就把η纳入序列之中，形成不了以η为极限的无穷序列αn。可见如果αn以η为极限，则η不可能是有理数，而只能是无理数。

4)  另外还说【α和β都有一个界线(极限)，......。】说明文章作者没有分清「界线(上界、下界)」和「极限」这两个概念的区别。序列αn有上界M，是指对于所有的n，皆有αn≤M成立。而序列αn的极限等于η，则有另外的含义。是说在n无限增大时，αn无限地接近η。严格的数学定义可以陈述为:  对任意小的ε﹥0，都存在充分大的N使得，

当n>N时，有|αn-η丨<ε成立。

这里还有一个重要的定理:  如果无穷序列是递增序列而且有上界，则此无穷序列一定有极限存在。可见有界同有极限是两个不同的概念。一个有上界但非递增的序列，完全有可能没有极限。
(完)

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