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Zmn-0019薛问天:江南青山绿水的「证明」错在哪里?

已有 1186 次阅读 2019-3-19 09:24 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流


Zmn-0019薛问天江南青山绿水的「证明」错在哪里?

【编者按:在Zmn-0018中,江南青山绿水绐出了一个有理数不可数的「证明」。薛问天先生撰文作了深入的分析,指出了「证明」错在哪里。现将薛文发布如下,请大家关注并积极参与评论。】

 

 

江南青山绿水的「证明」错在哪里?

薛问天

xuewentian2006@sina.cn 

 薛问天-c.jpg江南青山绿水绐出了一个有理数不可数的「证明」。由于众所周知有理数是可数的,而且证明它可数的枚举方法也很简单,为大家所熟知。因而江南先生的这个「证明」必然是错误的。问题是要经过分析指出它错在哪里?江南先生「证明」的思路和逻辑可以归纳为如下四点。
(1)假定有理数可数,则存在一个枚举有理数的序列ω1,ω2,...。所有的有理数都在此序列(我们称之为ωn序列)之中。
(2)在ωn序列中存在两个无限子序列α1,α2,...,和β1,β2,...。滿足条件:
α1﹤α2﹤...﹤...β2﹤β1。而且由于αn序列递增有上界,存在极限αn→α∞。βn递减有下界,存在极限βn→β∞。
(3)不可能有α∞﹤β∞,所以只有一种可能:  α∞=β∞=η。
(4)由于η是序列αn和βn的极限,不在序列之中,因而有理数η不在ωn序列之中,序列没有包括所有的有理数,不完整。从而推断反证法的假定「有理数可数」不成立。有理数不可数得证。

(一) 误以为有理数序列的极限一定是有理数

在江南先生的上述证明中,(1)没有任何问题,正确无误。(2),(3)尽管在论证中有一些缺陷,但还可以补正,使其成立。关键性的错误在第(4)点上。
江南先生不了解,有理数序列的极限不一定是有理数这个事实。误以为有理数序列的极限一定是有理数。他断定η是有理数,由η不在ωn序列中,就错误地推断ωn序列不完整。他没有想到如果η不是有理数,是无理数,就推不出他要的结论来。这就是江南先生「证明」错误的根本所在。

实数序列的极限一定是实数,即实数域关于极限运算是封闭的。这就叫作实数的连续性。有理数域并不具有连续性,即有理数序列的极限不一定是有理数,有可能是无理数,超出了有理数的范围。这正是有理数域同实数域的重要区别。看来江南先生的错误就出在这个认知的缺陷上。

当然,有理数序列的极限不一定是有理数,并不是说它一定不是有理数。有的有理数序列的极限也可以是有理数。那么如果这里极限是有理数,是不是这个「证明」就没有问题了呢?不是的,因为我们这里可以证明αn的极限η不可能是有理数只能是无理数。证明也很简单,如果η是有理数,它肯定在某有穷步被枚举,它肯定在αn序列的形成过程中被列入αn序列之中,而不会允许有无穷序列αn都比η小。所以η只能是无理数。

(二)其它一些错误概念

江南先生的论述中,还有一些错误的概念。虽然并不是导致该「证明」错误的原因,但也是需要指出的需要纠正的错误。

1)  例如他说【最大的α不能大于最小的β】。这就是一个概念错误。要知道对于无穷集来说,集合不一定存在最大元和最小元。序列αn就没有「最大的α」,序列βn也没有「最小的β」。上句话应该说成是「所有的αn小于所有的βn」就对了。

2)  再例如,说【当你在最后一组α和β之间找到两个新的有理数的时候,......。】说明江南先生并没有真正理解什么是无穷序列。既然是无穷序列,该序列的元素就是无穷无尽的。不存在什么【最后的一组】。对无穷的理解有一种错误的认识 。有人错误地认为实无穷观点承认无穷是有尽头的,在遥远的某个地方有无穷的最后时刻的最后一步。不对,这不是实天穷观。潛无穷观认为无穷序列是一个尚未完成的不确定的概念,而实无穷观是把无穷序列作为一个整体,作为无穷集合,看作是一个确定的数学对象。并不承认无穷序列有最后的末项。

3)  在知道η是无穷序列αn和βn的极限时,说【在有理数列表中搜索到η之前的那一对α和β】,也属于同样的错误。不存在两个无穷序列的求极限前的【最后的一组】。

至于说η是有理数,前面己经说明,它不可能是αn和βn无穷序列的极限。因为如果η是有理数,则根据假设在有穷步内可被枚举,因而在搜索到η之前的那对α和β就是序列中间的一元(有穷项),因而在序列αn和βn的形成中就把η纳入序列之中,形成不了以η为极限的无穷序列αn。可见如果αn以η为极限,则η不可能是有理数,而只能是无理数。

4)  另外还说【α和β都有一个界线(极限),......。】说明文章作者没有分清「界线(上界、下界)」和「极限」这两个概念的区别。序列αn有上界M,是指对于所有的n,皆有αn≤M成立。而序列αn的极限等于η,则有另外的含义。是说在n无限增大时,αn无限地接近η。严格的数学定义可以陈述为:  对任意小的ε﹥0,都存在充分大的N使得,

n>N时,有|αn-η丨<ε成立

这里还有一个重要的定理:  如果无穷序列是递增序列而且有上界,则此无穷序列一定有极限存在。可见有界同有极限是两个不同的概念。一个有上界但非递增的序列,完全有可能没有极限。
(完)


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