Zmn-0020-江南青山绿水来信认可，文章《证明实数可列的一种方法》及薛问天先生对此文的评论。

【编者按：新浪微博：江南青山绿水来信，表示对薛问天先生评论的认可。同时他又发来一文，提出了一种实数可列的「证明」。我们请薛问天先生又对此文进行了评论。现将江南青山缘水的来信和「证明」以及薛先生的评论发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极参与评论。】

江南青山绿水先生的来信

文老师，我认真仔细的思考了薛老师对我文章的分析，我认为薛老师是对的，非常感谢薛老师指出了我的错误。

今天，我写了一篇文章《证明实数可列的一种方法》，希望借用文老师的平台，以博文的形式进行转载，希望能够得到各位老师的认可，或者指出有待改进的地方，也或者指出我的错误。

再次感谢，文老师和薛老师。

江南青山绿水2019-03-21

薛问天先生对《证明实数可列的一种方法》一文的评论

这个证明是一个典型的「没有证明」的证明。也就是说，本该要证明论题A，但是却化了很大功夫证明论题B。是的，论题B成立没有错。但是B并不是A，而且由B也推不出A来。这就等于A没有被证明。这样的错误，也可叫作「偷换论題」的证明。
江南先生化了很大气力证明了如下的命题:
【重复图′①和图②的操作，可以得出(0，1)区间里小数点后面只有2和1的所有无理数。】......(命题1)
不过这个命题1需要仔细分析。什么是命题1中所说的「图①和图②的操作」?要知道图①和图②的操作是针对所举的具体例子的。是把有理数0. 12121212......(数a)，变为无理数0.12112111211112......(数b)的操作(图①)，和再把数b恢复为数a的操作(图②)。我想江南先生的命题1中要「重复」执行的操作绝不会指的这个具体的操作。因为这个操作只能生成数a和数b，而得不出他想要得出的其它的无理数来。所以说命题1中要重复执行的只能是产生和复原其它无理数(不只是针对无理数b)的「类似于图①和图②的操作」。即根据该无理数删除某些位(可数无穷多个)的2或1的操作。但它并不是一个唯一确定的具体的操作，操作中具体究竟删除哪些位的2或1，是随给定的无理数而定的。不同的无理数需要不同的操作。所以只有根据给定的可数无穷多个无理数，才能用「相应的可数无穷多个操作」得出无理数的一个无穷序列。给定的无理数不同，得出的序列就不同。也就是说，这里所证明的是:
「对(0，1)里所有的无理数α，都存在一个无理数的序列β，α在序列β中。」......(命题2)
由此是否就可以得出结论:「(0，1)里无理数可数」呢?显然不能。因为无理数可数的含义是:
「存在一个无理数序列β，(0，1)里所有的无理数α皆在其中。」......(命题3)
命题3与命题2的不同之处在于，命题3要求存在一个统一的序列β，要证明所有的无理数α皆在此序列之中。江南的证明并没有具体地给出一个具体的序列β，也没有证明所有的无理数皆在此序列之中。而证明的是(命题2)，即任何无理数α，都可用反复地使用类似于图①和②的操作来构造一个序列β，使α在序列β之中。命题2不是命题3，也推不出命题3。而命题3才是证明无理数可数要证明的命题。江南先生的证明犯了「没有证明」的错误。这就是江南所给的证明错误之所在。

另外，证明论述中还有一些其它不当之处。例如他用到了基数的减法。其实基数的运箅并无减法运算。一个可数无穷集合去掉它的一个可数无穷子集并不一定还是可数无穷集。也可能是有穷集，有的情况甚至可能是空集。因而基数的算术运算中并无减法运算。

薛问天2019/3/25

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