Zmn-0021 薛问天: 评侯小山先生的两篇错误文章

【编者按：河北经贸大学侯小山先生发表了两篇文章。一篇是“实数集可数定理”，《数学学习与研究》2014(9)。一篇是“纠正数学的百年错误”，《教育与教学论坛》2015年12月第49期。候小山先生宣称他【彻底推翻了康托尔的实数不可数定理】，用四种方法【证明了实数可数定理】，并且宣称他【纠正了数学的百年错误】，薛问天先生撰文详细分析和评论了侯文的错误。现将薛先生的评论文章发布如下，文后附有侯文。供网友们共享。请大家关注并积极参与评论。】

评侯小山先生的两篇错误文章

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

侯小山先生在公开刊物上发表了两篇文章。一篇是“实数集可数定理”，《数学学习与研究》2014(9)〔1〕。一篇是“纠正数学的百年错误”，《教育与教学论坛》2015年12月第49期〔2〕。这两篇文章口气很大，宣称他【彻底推翻了康托尔的实数不可数定理】，用四种方法【证明了实数可数定理】，并且宣称他【纠正了数学的百年错误】，指出了【康托尔的连续统假设是严重错误】。此外还宣称他起用了什么【被康托尔遗漏了的实数生成元】，证明了什么【时空集合可数定理】等。

可惜他的这些论断全部是错误的。现对候小山先生文中的各个错误逐条具体分析如下:

一、关于康托尔的对角线法。

侯先生首先要推翻的是康托尔的关于实数不可数的对角线法证明。他提出了该证明的五个【错误】。

他指责说:【错误1。将有限小数写为无限小数，漏掉了无穷小0.00...01。】
先谈无穷小的概念。在实数理论中，无穷小是个变量，不是常量，它根本不是实数集合中的实数，因而不存在【漏掉了无穷小】的问题。

另外把无穷小写为0.00...01，并认为这是个无限小数，显然是个严重的概念错误。既是无限小数在小数点后就应有无穷无尽的位，没有尽头。不可能存在「最后一位」，怎么会有最后一位是1呢:?这是一个严重的对无穷概念的理解错误。既然是无穷无尽，就不可能有尽头，那种认为「在遥远的地方，有最后一项。」纯属主观的臆想和幻觉，是对无穷概念的错误认识。

至于非标准分析中把无穷小量看作常量，那里研究的是「超实数」，是另外的概念。己不是我们这里说的实数，也不是康托尔定理中所论证的不可数的「实数」集合。

我们接着谈有限小数表示为无限小数的问题。我们知道就如同对自然数，在有效位前(高位)添上些0，並不改变该自然数的值一样，对有限小数，在有效位后(低位)添加些0，同样不会改变该有限小数的数值。因而对任何有限小数，在它后面添加无限多个0，成为一个无限小数，仍然等于原来的有限小数。

例如，0.5=0.50000......。.这样一来，我们就可以把有限小数看作是后面有连续无穷多个0的无限小数，把有限小数看作是一种具有特殊属性(后面有连续无穷多个0)的无限小数。有限小数的集合看成是无限小数集合的子集合。这样的看法不会改变数的值，也没有增添或漏掉任何无限或有限小数。这里不存在要Γ改写」有限小数的问题。

至于无限小数的等式:
0.a1a2...anc0000......=0.a1a2...and9999......。
其中c>0，c-1=d。

说明〔0，1〕区间中实数的无限小数表示中，除0和1外所有的有限小数都有两个等价的表示，

例如0.50000....=0.49999.......。数值相等但表示不同(注意数值相等意味着相差为0，而侯文错误地认为它们相差不是0，而是「无穷小」)。这些数的表示不唯一，并不影响用无限小数来表示实数以及相应的各种应用。而且众所周知，这是实数的表示问题，不是康托尔证明实数不可数的对角线法的内容。不存在需要「改写」的问题，同该证明没有关系，不影响证明的正确性。

由于是等价表示，在同一个有限小数的不同表示之间完全可以任意替换，不存在侯文中所说的各种【不允许改写】的问题，也形成不了什么【反例】。因而侯文所指责的【错误2】并不成立。

关于所指责的【错误3】认为漏掉的无穷小意义重大，侯先生基于无穷位有「最后一位」的错误认识，提出了无穷小可以生成无穷大序列和无穷小序列的奇谈怪论。还认为无穷小可以作为实数的生成元，可以续写微积分等。以及在【错误4】中认为康托对角线法给出的无理数0.b1b2......无效，【错误5】认为实数不可数如同实数不可用。由于侯文只是说出了他的结论，没有作任何论证，因而这些指责统统不能成立。侯先生要使他的质疑成立，必须给出令人信服的论证。只给出他的结论而不作论证，等于白说，是一点意义也没有的。

二、关于实数可数定理证明的错误

首先我们来分析候文〔1〕中的一段错误的论证:
【因为实数轴的点可以从左到右地按大小排列成点集，所以实数集的数可以从左到右地按大小排列成数列。】

这是不了解实数集的「稠密性」所犯的一个严重错误。所谓「稠密性」是指在任何两个不同的实数中间有无穷多个实数。而在实数集中不存在两个实数间没有其它实数的所谓「相邻」实数。但是数列则不同。无穷数列的任意两项间最多只能有有穷个项。而数列相邻的两项间则没有任何数列的项。数列同自然数集一样，不具有「稠密性」。因而实数集的实数不可能按大小排列成数列。

下面我们来逐条分析候文〔2〕中所给出的实数可数的四个「证明」。
【(一)等差数列法。】

侯文不仅认为实数可以按大小排成一个数列(前面己说明这是不可能的)，而且具体列出【通项公式】，说实数可以排成以无穷小为首项和公差的等差数列。这纯粹是侯小山先生的主观臆想。我们前面己说明，无穷小是变量，根本就不是实数集合的成员，怎么能作为通项公式中的首项和公差呢?其实这个通项公式的荒膠之处是不攻自破的。既然是通项公式就能由它求出所有的实数来。请问你能说明从这个公式求出的第一个实数和第二个实数是什么吗?进而，如果第一个实数是a，第二个实数是b，请问介于这两个实数之间的那些无穷多个实数，例如(a+b)/2，还在此「等差数列」中吗?这一系列的问题你不可能给出自圆其说的回答。可见此「证明」矛盾百出不能成立。
【(二)基数滅少法。】

侯先生的这个证明所用的逻辑相当怪异。

他说【因为开区间(0,1)是一个实数集G=｛r n|0<r n<1，n=1,2, ,......｝。】所以从G中将这些实数逐一减去，就会变成空集。
G-r1-r2-......=⊙。
据此侯文说:【就可以建立G与自然数的一一对应，所以实数是可数的。】

姑且不论用逐一减去的方法能否建立G与自然数的一一对应。先看看该证明的根据。证明一开始就说实数集 G=｛r n|0<r n<1，n=1,2, ,......｝。这个式子就是说G=｛r1,r2,......｝，G与自然数一一对应，实数集是可数的，这是尚未证明，正要证明的命题。所以此证明的逻辑就是:「因为实数集可数，证明实数集可数。」这是典型的「循环论证」。错就错在把要证明的命题，在没有作任何证明的情况下，作为证明的根据使用了。显然这样的证明不能成立。
【(三)对称改写法。】

侯文说:【因为开区间的每一个小数0.b1b2...bn...，都唯一地对应着一个整数:
...bn,..b2b1←→0.b1b2...bn...】所以推断出实数可数。

这个证明论断是错误的，错误在于他不了解任何自然数(正整数)只有有穷位。无穷位编码数(p-adic数)才有无穷位。有穷位的自然数集合同无穷位编码数集合，是两个完全不同的集合。自然数集合可数而无穷位编码数集合不可数。

所述的对应，是有限小数对应正整数，而无限小数对应的是无穷位编码数。这个对应只证明了所有有限小数的集合是可数的，它证明不了实数集合可数。
【(四)位数可数法。】

这段是侯文中最荒谬、最霸道的「证明」。他根据实数的十进制表示的位数是可数无穷位，就不讲任何道理地公然断定实数集也是可数无穷的。要知道实数集同每个实数的位数集，这是完全不同的两个集合，凭什么说这两个集合一定等势？这个「证明」是「没有证明的证明」，显然是错误的，不能成立。

另外，在文中把实数的整数部分看作有无穷位也是错误的，任何实数的整数部分都只有有穷位。

综上所述，这四个「证明」全是错误的，「实数可数定理」不能成立。「百年数学」没有错误，而需要纠正的恰恰是侯小山先生认识上的错误。

三、关于「时空集」

侯文还讲了其它一些的论点，也都是错误的。
【定理。时空集的元素都可数。】

我们知道数学是反映现实世界的数量关系的。但是数学并不等同于现实世界。数学只是客观现实的某个侧面的抽象，抽象就要作某些理想化的假定，舍掉某些具体的因素。客观现实的时间和空间概念，经过抽象以后才能变成数学概念 。根据物理学的论证，宇宙诞生于138.2亿年前的大爆炸，观察到的时间只能从这里开始。人类观察到(借助于太空中的望远镜)的最远星系距地球有131亿光年，这是能观察到的最远的空间距离。最小的空间距离可以推论到原子核内部的质子、中子和夸克、轻子等基子粒子。不过按照物理上的测不准原理，微观粒子在空间的确切位置是不可能测准的。数学中抽象的时间和空间概念是可以无限大的和无限小的实数集。「可数」这个概念是个数学概念，只能对现实的时间空间概念经过数学抽象后的严格数学概念，即一个确切定义的「集合」才能判断它是否可数。请问你的「时空集」是严格定义的数学概念吗?经过了怎样的抽象?对一个未加严格定义的非数学概念，从数学上证明它「可数」，豈不是咄咄怪事。侯文根据测量时间和空间的单位是可数的(实际是有限的)，以及构成分子的原子数是有限的，就断定所谓的时空集可数，这种论断不是严格的数学论断，不足为凭。

另外，候文还说任一个集合【只要由一个个元素组成，就一定可数。】由于任何集合都是由一个个元素构成的，于是得出结论: 【不可数集不存在】。
什么叫【一个个元素】?那就是每个元素都是独立存在，互不相同。用这样的标准来衡量，所有构成集合的元素都是一个个的元素。但是「一个个的元素」并不意味着就能排成一个无穷序列。

也许会狡辩说，我们从这集合中一个个的取元素，取无穷多次不是就形成了一个无穷序列了吗?是的，从任何无穷集合中都可以取出一个无穷序列，即一个可数的集合来，但你怎么保证能把集合的所有元素取完，怎么能保证原集合中的所有元素都在此序列之中。你保证不了。很可能你取出的可数集合只是原集合的一个真子集。也就是说，这个论证只证明了，任何无穷集合都有一个可数的子集合，但证明不了任何无穷集合就是可数的集合。

实数集合就是如此。康托尔的对角线法就证明了，无论你取出怎样的实数可数序列，总可以找到一个实数不在此序列之中。

可见侯文所作出的【不可数集不存在】的结论是多么武断，多么荒谬。
另外侯文还有一个可笑的推论，他由【不可数集不存在】竟然推断说【不可数集是空集】。他竟然不知道空集是一个存在的集合，而认为空集是【不存在】的。

四、关于连续统假设

康托尔的连续统假设是说，不存在集合 x，它的基数介于可数的自然数集合N与不可数的实数集合R的基数之间:  | N|< |x|<|R|。
侯文错误地认为【不可数集不存在，不可数集是空集】，由于空集的基数等于0，于是他把康托尔的连续统假设改写为:
【不存在集合x，它的基数滿足:  | N|<| x|﹤0。】
就断言:  【康托尔的连续统假设:......是严重错误的。】

由于侯文的推断【不可数集是空集】是错误的，显然他对连续统假设的否定也是错误的。

实际上连续统假设己由保罗.科恩(P.Choen)在上世纪60年代最终得到解答。连续统假设独立于集合论公理系统。即严格地证明了，在ZFC公理系统中既不能证明连续统假设是正确的，也不能证明它是错误的。

(全文完)

附侯小山的文章

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