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Zmn-0022薛问天: 评北航曾志强和刘淑玉有关微分之谜论战《综述》中的错误

已有 2290 次阅读 2019-4-9 20:45 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0022薛问天: 评北航曾志强和刘淑玉有关微分之谜论战《综述》错误

【编者按:北航数学与系统科学学院曾志强和刘淑玉在《高等数学研究》发表文章对有关第二代微积分是否存在矛盾的论战进行了《综述》,並发表了他们自己的观点。薛问天先生撰文评论了该文,指出了文中的错误。现将薛先生的评论文章发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极参与评论。

 

 

 

 

评北航曾志强和刘淑玉有关微分之谜论战《综述》错误
薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 薛问天-c.jpg

北京航空航天大学 数学与系统科学学院曾志强先生(博士)和刘淑玉女士(硕士)的文章「 综述《论极限理论的微分之谜》引发的论战」(《高等数学研究》20189月,第21卷第5)1〕,对由师教民先生的文章2〕引发的有关第二代微积分是否存在矛盾的论战进行了《综述》,並发表了他们自己的观点。

争论实际上是围绕着两个问题。一个问题是在函数求导过程中,是否存在Δx=0和Δx0的矛盾。第二个问题是在微分概念中,是否存在dx=Δxdx≠Δx的矛盾。

《综述》在第一个问题中,正确地肯定了张景中先生的论断〔3〕,但是最终并没有承认第二代微积分在求导过程中没有矛盾。说什么【 对dx≠0和dx=0的矛盾进行直接的批驳,实际上是困难的。】

《综述》对于第二个问题,错误地认为【 第二代微积分是存在问题的,它始终不能无逻辑错误地定义第一代微积分的核心概念微分,...。】

现在对《综述》的这些错误观点逐条进行评论如下。

一,在极限引入后,函数求导过程己无矛盾。

张景中先生在文中己明确指出,函数y=x^2的求导过程是:
′ = LimΔx0(Δy/Δx)............
= LimΔx0((2xΔx+ (Δx)^2)/Δx)......
= LimΔx0(2x+Δx)............
= LimΔx0(2x)+ LimΔx0(Δx)......
=2x+0=2x .............

①是根据导数的定义。 
=②根据的是函数x^2的Δy的表达。
=③根据在条件Δx0下,((2xΔx+ (Δx)^2)/Δx)=(2x+Δx)和下述原理如果在Δx0条件下两个函数相等,则当Δx0时,该两个函数的极限相等。
=④根据定理:「两项和的极限等于两项极限的和」
=⑤的根据是:
LimΔx0(2x)=2x
LimΔx0(Δx)=0

在整个推理过程中都是要求Δx0。最后一行也只是说Δx的极限是0,并未要求Δx等于0。所以在求导过程中根本不存在Δx=0和Δx0的矛盾。

师教民先生对这样的回答不服〔4〕。因为师教民先生说他写出的求导过程(后面部分④)不同,是这样写的(注原文Δx写作dx):
=LimΔx0(2x+Δx)......
=(2x+Δx)Δx=0............④‘
=2x+0=2x............

这样写有没有错?我认为这取决于是如何陈述它的根据。如果说这里的③=④‘,是因为对任何函数F(Δx),都有:
LimΔx0(F(Δx)) = F(Δx)|Δx=0
那就错了。一般说来,这样的式子并不成立。F(Δx)在Δx趋于0时的「极限值」并不一定等于F(Δx)在Δx=0点的「函数值」。

但是对于连续函数来说,这是对的。又由于2x+Δx是Δx的连续函数,所以这里的③=④‘是成立的,正确的,并没有错。

既然师先生写得没有错,这里的③求极限Δx0,而且前面的②=③的推导中,要使Δx/Δx=1成立也要求Δx0,而在④‘中给函数赋值要求Δx=0。师先生问这是不是矛盾?是不是说明没有解决第一代徵积分的「微分之谜」?

《综述》认为【 dx≠0和dx=0的矛盾进行直接的批驳,实际上是困难的】,【师教民所指出的dx≠0和dx=0的矛盾却无论如何是避免不了的.】

下面我们来回答这个问题。

我们认为这样的论断是错误的,这里并无矛盾。=④‘式是根据连续函数的性质,函数(2x+Δx)在 Δx0(Δx0)条件下求得的极限值,等于该函数在Δx=0点的函数值。是说Δx在分别不同的情况下求得的值相同,从而列出相应的等式。

这种由于自变量分别取不同值时,列出其某种函数值相等的等式,这是常见的推论形式。如果能严格证明它相等,这种等式并无矛盾。

例如,举个例子。我们对任意的函数f:(f(x)|x=-1 )=( f(x)|x=1 ),这是不允许的。

是当f(x)=x^2,我们可以严格证明(-1)^2=(1)^2时,你还能说等式(x^2|x=-1)=(x^2|x=1) 有矛盾吗?:你还能说这里一会儿 x=-1,一会儿 x=1是矛盾的吗?显然这里没有x=-1x=1的矛盾。这个等式只是说明当自变量x分别是-11时,函数x^2的值相等而己。

所以类似地,我们说「严格根据连续函数的性质推断  ③=④‘,函数(2x+Δx)在Δx0条件下求得的极限值,等于该函数在Δx=0点的函数值。」这里不存在Δx0同Δx=0的矛盾。

而这点正是同第一代微积分中求导过程的原则不同。在第一代微积分中没有「极限」概念。直接把导数定义为Δy/Δx=2x+Δx在Δx=0点的函数值。显然存在有Δx0(等式推导时要求)和Δx=0(求函数值时要求)的矛盾。但是第二代微积分引入了极限概念后则完全不同。③=④‘是根据连续函数的严格推导,推断出在Δx0条件下求得的极限值,等于该函数在Δx=0点的函数值。这里不存在Δx0同Δx=0的矛盾。

「函数值」和「极限值」这不仅仅是什么【语言】问题和【名称】的不同,这里有严格的原则差异。在求极限时是讨论Δx0时的情况,而函数值是讨论Δx=0点的情况,对于连续函数这两者相等,列出它们的等式很正常,这里没有矛盾。在没有引入极限概念之前是有矛盾的,而在引入了极限概念后,所有矛盾都化解了。这正是第二代微积分的核心所在。

为了掩饰矛盾,师先生说第一代微积分可以直接把x^2的导数定义为函数2x+Δx在Δx=0点的函数值。似乎就没有矛盾了。其实这是不行的。要知道函数2x+Δx从哪里来的。它是从Δy/Δx推导出来的,而在推导过程中要求Δx0,这同Δx=0发生矛盾。可见在笫一代微积分中,这种矛盾是避免不了的。

也就是说,如果在Δx0条件下两个函数相等,则当Δx0时,该两个函数的极限相等,但是在Δx=0点这两个函数的函数值却不能保证相等。这就是第二代微积分能避免矛盾,而第一代微积分避免不了的原因所在。

综上所述,既使对于师先生写出的第二代微积分求导过程(把④换成④‘),由于严格地证明了连续函数在Δx0条件下的极限值等于函数在Δx=0点的函数值。所列出的等式不存在Δx0同Δx=0的矛盾。也就是说它解除了「微分之谜」,Δx等不等于0的矛盾已经并不困难地避免了。

二,在微分概念中不存在dx=Δxdx≠Δx的矛盾

《综述》说【 我们认为,第二代微积分是存在问题的,它始终不能无逻辑错误地定义第一代微积分的核心概念微分,.......。】

在微分定义中,自变量的微分dx定义为dx=Δx。但是对于复合函数y=f(x)x=g(t)来说,dx≠Δx。《综述》认为: 【 这是矛盾所在。】

其实师教民先生在他公布的一封信中也提出过同样的向题。认为在微分概念中存在 dx=Δxdx≠Δx的矛盾。他曾如是说: 【我己经请教过的上百名大专家都回答不了我请教的问题。形成了学生把老师问得张口结舌,老师把专家问得无言以对的尴尬局面,而使微积分的教学无法真正进行下去!】。

为此我专门撰写了一文〔5: 解开「微分迷团」,兼评师教民先生的疑惑和莫绍揆教授等的置疑。

我在该文中指出,确实有不少学者被此迷团所迷惑。其实,要解开这个迷团是很简单的。因为这两个dx,虽然都用记号dx表示,前者是函数y=f(x)的【自变量的微分】,后者是【函数x=g(t)t0点的微分】。它们根本就是两个不同的变量,此dx非彼dx,自然不相等。发现它们不相等很正常,这里没有任何矛盾。之所以产生矛盾是由于对微分概念的误解,把两个不同的变量误以为是同一个变量而产生的。

对于复合函数y=f(x)x=g(t)y=f(g(t))=h(t)来说,我们常写出如下几个式子:
令函数y=f(x)x0点的微分: dy=Adx,,,,,,
函数x=g(t)t0点的微分: dx=Bdt,,,,,,②,
y=h(t)t0点的微分: dy=Cdt,,,,,③。

切记不能把①中的dx和②中的dx看作是一个变量。虽然都用dx表示,但是一定要根据上下文来区别,它们是不同的变量。按照微分的定义①中的dx是「自变量的微分」,而②中的dx是「 函数x=g(t)t0点的微分」。这是两个不同的微分变量,发现前者dx=Δx,后者dx≠Δx。这太正常了,一点矛盾都没有。

另外,常被忽视,这里①中的dy同③中的dy也是不同的变量,发现它们的不同也不要大惊小怪,也很正常。

应该说我的这篇文章己经完全解开了「微分迷团」,完满地回答了师教民先生和《综述》的质疑。那就是第二代微积分中的微分概念没有dx=Δxdx≠Δx的矛盾。请详见该系列5-8,这里就不赘述。

参考文献
1〕 曾志强、刘淑玉, “综述《论极限理论的微分之谜》引发的论战”,《高等数学研究》20189月,第21卷第5期 。
2〕 师教民.论极限理论的微分之谜.高等数学研究,2012,15(4):44-46.
3〕张景中.关于《论极限理论的微分之谜》的思考.高等数学研究,2012,15(5):22-22.
4〕师教民, 答《关于〈论极限理论的微分之谜〉的思考》, 高等数学研究, 2012年11月,第15卷第6期。
5〕薛问天: 解开「微分迷团」,兼评师教民先生的疑惑和莫绍揆教授等的置疑。科学网数学啄木鸟专栏,Zmn-012
http://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1122736.html

6〕 薛问天:莫把对微分的误读看作是数学分析的悖论-评姜赞臣和沈卫国先生的错误。

 科学网数学啄木鸟专栏,Zmn-011
http://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1122359.html 

7〕 薛问天:这是不同的「微分」变量-兼评丁小平先生的错误论点。 科学网数学啄木鸟专栏,Zmn-013http://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1122757.html

8〕张景中.我对微分的理解.科学网数学啄木鸟专栏,Zmn-014

http://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1124311.html  

(全文完)


“综述《论极限理论的微分之谜》引发的论战”

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