zmn-011  薛问天：莫把对微分的误读看作是数学分析的悖论-评姜赞臣和沈卫国先生的错误。

【编者按：姜赞臣先生把自变量微分的定义d=Δx，看作是数学分析中的悖论（姜赞臣：从标准分析中的悖论看非标准分析的必然性。《邯郸师院学报》1994年6月第2期。），沈卫国先生也有类似的观点。薛问天 先生专门写了这篇文章，论述了微分这个概念的确切定义，指出了这种观点完全是对微分概念的误读。薛问天先生的文章选自《学术争议问题评论园地》易320（2018-3-24）。】

莫把对微分的误读看作是数学分析的悖论

评姜赞臣和沈卫国先生的错误。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

把自己对微积分的误读，对微分概念的误解，混淆，错误地以为是数学分析理论本身的矛盾和悖论。这就是姜赞臣先生同沈卫国先生所犯的共同的错误。

姜赞臣先生说：【数学分析中最基本的矛盾是由等式dx=Δx反映的。它实际上应该是数学分析中的悖论。】

沈先生也认为：【微分最主要的问题是dx=Δx的问题。】

其实这都是他们没有读懂数学分析，是对微分概念的错误理解引起的。

姜先生说：【Δx是自变量的增量(Δx≠o)，dx是Δx的极限，其本质上dx=0。因此就其本质看dx≠Δx。】

可见姜先生根本就没有弄懂微分的基本概念。竟说什么【dx是Δx的极限】。在这样错误的理解下，当然就有dx=Δx和dx≠Δx的矛盾。问题是在数学分析中从来没有【dx是Δx的极限】这种说法，这全是姜先生的错误理解。

无独有偶，沈先生从另一个角度，对dx=Δx提出了质疑。

沈先生说【x可以是t的函数不？如果不允许，请说明理由。如果允许那么，按dx=Δx，是不是dx(t)=Δx(t)。是不是直接违反微分的定义？你不能睁着眼睛说瞎话。还说什么无问题。】(在易314中的跟帖2018/03/14。)

沈先牛根本没有弄懂【自变量的微分】，与【函数的微分】根本是两个不同的概念。同样是对微分概念的误读和概念的混洧，误以为是数学分析理论的矛盾和问题。

下面我们来具体分析。

关于数学分析中酌微分概念，有以下几点必须澄清，不得混淆。

1)【函数的微分】和【自变量的微分】是两个不同的概念，是分别定义的，不容混淆。

在微分的定义中，是这样陈述的。对于函数y=f(x)，把Δy的线性主部AΔx，称为【函数f在x0点的微分】，记作dy。也就是说，如果Δy=AΔx+o(Δx)，则【函数f在x0点的微分】是dy=AΔx。而把Δx称为【自变量的微分】，记作dx=Δx。

可见这里dy是y=f(x)的【函数的微分】，dx是函数y=f(x)的【自变量的微分】。这是分別定义的两个不同的概念。

2)  对于复合函数来讲，设y=f(x)，x=g(t)，y=f(g(t))=h(t)。

函数y=f(x)的【自变量的微分】dx=Δx，函数ⅹ=g(t)的【函数的微分】dx=BΔt，它是Δx的线性主部，它不等于Δx。这是两个不同的dx。

这有矛盾吗？这一点矛盾也没有，函数f的【自变量的微分】dx，同函数g的【函数的微分】dx，这是两个分别定义的不同的概念，代表的是两个不同的变量，有不同的值。这一点矛盾都没有。认为它有矛盾完全是由于对这两个概念的误解，以为都用dx这个符号表示，就错误地以为它们是一个变量，应当具有相同的值。这完全是理解混淆了。虽说都用dx这个符号表示，但在不同的场合，它代表的是不同的变量，不同的值。只是由亍沈先生等人概念不清，错误的理解，混淆了它们的区别，才提出质疑，以为这是矛盾，是问题，是悖论。其实只要正确理解，一点问题都没有。

这里不只是dx作为f(x)的自变量的微分和作为函数g(t)的函数的徼分是不同的变量。dy作为f(x)的函数的微分，同dy作为复合函数h(t)的微分，虽然都用dy表示，但它们表示的也是不同的变量，具有不同的值。

3) 同济的《高等数学》在微分的定义中微分前面有一个形容短语【相应于自变量增量Δx的…】。我在评论袁萌的意见时，曾说过把它「放在微分的定义中，确实没有必要。」但同时也说道：「强调微分是相应于自变量增量Δx的，这点其实也并没有错，澄清这点也很重要。譬如在复合函数的情形。假设y=f(x)，而x=g(t)，那么复合函数就是y=h(t)=f(g(t))。当我们谈及微分dy时，一定要说清这个dy是相应于Δx的，还是相应于Δt的。也就是要说清楚这个微分dy是函数y=f(x)的微分，还是函数y=h(t)的微分。因为这两个微分，虽然在形式上都用完全相同的符号dy表示，但是实际內容却是不同的变量。不仅构成上是不同自变量增量的函数，数值上也并不相等。它们之间不能划等号。这点在教授过程中必须分清。不过不应放在微分的正式定义之中，因为定义中已说明是函数的微分了。由于函数y=f(x)和函数y=h(t)是两个不同的函数，其微分自然也是不同的对象。」

4) 在微积分中。有个有趣的规律叫「微分的形式不变性」。

在复合函数的情形。设有y=f(x)，x=g(t)，从而复合函数y=f(g(t))=h(t)。令f的微分dy=Adx①，g的微分dx=Bdt②，而h的微分dy=Cdt③。上面己经分析，①式中的dy同③式中的dy是不同的变量，①式中的dx同②式中的dx也是不同的变量。由于对于复合函数，它们的导数可证具有关系：C=AB。于是代入③式后有dy=ABdt。但是因有dx=Bdt，所以有dy=Adx④。注意这里④式中的dy是函数h的徵分，dx是函数g的微分，这同①式中的dy(函数f的微分)和dx(f的自变量的微分)是不同的变量。但是①式和④式在形式上是完全相同的，都表示成dy=Adx。这就叫作「微分的形式不变性」。也就是说在式子dy=Adx中，你可以把它解释为「dy是函数f的微分，而且dx是f的自变量的微分」，也可以解释为「dy是函数h的微分，而且dx是函数h的微分」。这都没有错。(注。请注意解释中的【而且】两个字。也就是说，解释是dy、dx配对的，不能单独把dy作这种解释，而dx又作另种解释。)

有些人不理解其中的区别，把这看作为数学分析中的矛盾。其实只要概念清晰，理解正确，这里沒有矛盾，而是刚好有这样的形式规律而己。

所以说：莫把对微分概念的误读，看作是数学分析理论中的矛盾和悖论。是你没有看懂，理解错了，不是人家理论有问题。

附：姜赞臣先生论文的部分原文。

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