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Zmn-0024双木林: 评侯小山《实数集可数定理》一文

已有 726 次阅读 2019-4-17 21:46 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0024双木林: 评侯小山《实数集可数定理》一文


【编者按:双木林先生是我国高校数学专业的资深教授。他最近热情积极地关注本《数学啄木鸟》专栏,并针对zmn-021侯小山先生的文章撰写了一篇相当严谨的评论文章,现将该文发布如下。请大家关注并积极参与评论。】

 

评侯小山《实数集可数定理》一文

 双木林2019-4-17   

        作者侯小山意欲推翻康托尔“实数不可数”的著名定理,可惜论证中出现了原则性错误。

    1   侯先生引入了“无穷小小数”“0.00…001”(有无穷多个零)的概念。这一数学名词不伦不类,而其表达式更是诡谲莫测。既然小数点后的0是无穷多位,怎么后边又跟了个1?需知任何无穷小数都是没有最后一位的。这一表达式既不是通常意义下的“变量无穷小”,也不是通常的“小数”。所谓的“无穷小小数”在我们研讨的实数范筹内是不存在的。         

    2   侯文称“康托尔证明中把0.5写成0.4999…,漏掉一个“无穷小小数”,这是错误的论断。注意:无穷小数0.4999…可视为收敛无穷级数0.4+0.09+0.009+0.0009+…的和--即 0.5。所以把0.5写成0.4999…,二者的值绝对相等,没有漏掉任何(非零)实数。

    3   侯先生给出所谓“无穷小小数”来源的论证,可惜论述的方法和结果都是错误的。

      他在文中举例如下:

       0.5=0.51-0.01

             =0.501-0.001

             ………

             =0.50…01-0.00…01

       以上无穷表达式中任意有限个无疑都是正确的,问题出在最后一个,它是作者“形式”推演的结果,而非严格数学推理的结果。其实这里研讨的是无穷多个数值变化的趋向,即求出其极限值的问题。 根据极限运算法则--“二变量差的极限等于二变量极限的差”。假定以上变量的通项为 0.50……01-0.0……01(其中……表示n个0),所以当n趋于∞时,lim (0.50……01 -0.00……01)= lim(0.50……01)-lim(0.00……01)=0.5-0。而按照候氏“形式”推理就出现了两个事事而非,模棱两可,不可理解的数0.50…01和0.00…01 (这里…代表无穷多个0),后者即是侯先生所谓的“无穷小小数0.00…01”。问题的实质是“极限”运作,这是不可回避的。而候先生正是无视这一实质问题,错误地运用毫无科学依据的“形式推断”思维方法,这就是“无穷小小数”论据错误的原因所在。

     

        侯先生在文中给出“区间 (0,1)内“实数集是可数的”这一命题的两个证明(等差数列法和基数减少法)都是犯了逻辑性的低级错误,即假设实数集可数,然后再证明实数

集是可数的。

 

        侯先生试图推翻康托尔“实数不可数”命题的论证中,以有穷小数和无穷小数相互改写展开其论述。请侯先生查阅王戍堂教授等人编写的《实变函数论》一书中有关该定理的证明(见照片)。其最大的特点是:将区间【0  1】内的有穷小数排除在外(因为它们都是有理数,显然可数),仅就其中无穷小数集合进行论证,根本就和“有穷小数和无穷小数相互改写”毫不相干。试问侯先生能找出这一证明的错误之处吗?

                                              

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