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Zmn-0029-2薛问天: 争论的目的是求得共识。评师教民先生在zmn-0028的回答(下篇)

已有 519 次阅读 2019-5-19 22:09 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0029-2薛问天: 争论的目的是求得共识。评师教民先生在zmn-0028的回答(下篇)。


【编者按:薛问天先生评论了师教民先生在Zmn-0028发表的回答,现将该文(下)发布如下。请大家关注并积极参与评论。】



 
争论的目的是求得共识。
评师教民先生在zmn-0028的回答(下篇)。

薛问天
xuewentian2006@sina.cn

(续前)

薛问天-c.jpg四。师先生所陈述的【求极限的准则】是错误的。

师先生对极限理论中关于求除式的极限的准则的理解是错误的。在极限理论中当Δx→0时(Δx+c)/(Δx+a)→c/a是有条件的,那就是a≠0。只有在a不等于0的条件下,才有极限等于c/a。也就是说,只有滿足分母的极限不为0的条件下,才有(除式的极限)等于(分子的极限)除以(分母的极限)。

严格讲,在a=0,c≠0的情形下,也不滿足上述条件。此时极限是∞,也不是1/0。因为1/0根本不是数,没有意义。更有甚者,说在a=0,c=0的情况下,除式的极限等于0/0,则是大错特错。

在求极限的准则中,把a=0且c=0的除式求极限的情况称为「0/0型」。这里的0/0型不是数,而只是一种求极限的类型的符号,类似的还有∞/∞型等。0/0不是除式的极限,把0/0型看作是除式的极限0/0,则是严重的错误。

万不能把0/0型的求极限的类型,误以为是它的极限是0/0。极限有严格的数学定义。这里的0/0连数都不是怎么能是「极限」呢?数学是严谨的科学,建议师先生的每一步推导都尊循严格的逻辑。

显然师先生所说的【按照极限理论的正确算法知,当Δx→0时,Δy/Δx→0y/0x,是正确的。】是错误的,在极限理论中没有这样的算法,0/0连数都不是,怎么能是极限呢?

师先生还说【极限理论在分母Δx和分子Δy的极限都等于0的条件下,也是和我一样的写成:......=Lim(Δy/Δx)=(LimΔy)/(LimΔx)=......。】而且还说【其实是我从极限理论学来的。】

错!绝对的错!在极极限理论中,是绝对不允许这样写的。请师生生回家翻一翻,如果发现哪本书这样写,那肯定是个垃圾教材,赶快把它丢掉,以免继续误人子弟。这就如同歪嘴和尚把经唸歪了,还自以为唸的是真经。

五。师先生对「微分」概念的含义的理解是错误的。

我想首先应该明确一下,我们所讨论的是现代微积分理论中的「微分」概念。我们讨论的现行理论有无矛盾。因而我们讨论的「微分」只限于第二代微积分中的概念。

如何把握「微分」概念的确切含义?  师先生的错误在于他不是根据微分的「定义」,而是根据概念「名称的字面解释」来把握它的含义。这是学数学的大忌,很多人的错误都是由此而产生的。师先生目前还没有认识到这一点。他的错误也是由此产生。

师先生把「增量」理解为具有【可以有任意大,足够大,充分大的特点】。把「微分」理解为【无限趋于0,无限变小,无限分微的过程】。其实这并不是增量和微分的特征属性。增量和微分都是变量,变量就可以在其变域中任意变化。增量Δx可以任意大,作为微分的dy=AΔx和dx=Δx也可以任意大。反之,dy,dx可以趋近于0,同样Δy,Δx也可趋近于0。作为论证和理解数学概念的依据,必须靠定义,而不能靠对概念名称字面含义的主观臆想。什么是增量,按定义函数的增量Δy=f(x)-f(x0),Δx=x-x0。什么是微分,按定义函数的微分dy=f(x)Δx,dy是Δy的线性主部,自变量的微分dx=Δx。所有关于增量和微分的论证和推导必须以此为依据,以此为准绳。

我希望通过这次讨论能彻底改变师先生对「微分」的看法。微分dy,dx是变量,是随Δx变化的函数,自变量的微分等于自变量的增量,函数的微分是自变量增量的线性主部。只有在Δx无限趋近于0时,dy,dx才无限趋近于0,当Δx取有限值时,相应的dy,dx也是有限值。例如前面的验证例子y=√x,当x0=1,Δx=3时,Δy=1,相应的dx=3,dy=0.5。当x0=1,Δx=8时,Δy=2,相应的dx=8,dy=4。

可见「微分」是变量,並不是什么 【无限趋于0,无限变小,无限分微的过程】。

在极限理论中增量同微分有着不同的定义,不存在师先生所说的【微分和增量分别重新定义为同一概念】的问题。只是部分有重合,自变量的微分等于自变量的增量。两个概念部分有重合这是常有的事 不必大惊小怪。我们知道「全校男生」同「英文系全体学生」这是两个不同的概念。但是「全校男生」中的「英文系男生」同「英文系全体学生」中的「英文系男生」却是相同的。所以说两个不同的概念,完全有可能部分是相同的。这不应有任何问题。

另外,在微分的定义中,函数的微分同自变量的微分,是【分别】定义的,但并不存在【重新】定义的问题。要重新定义必须证明两个定义的等价。例如关于自变量的微分dx就有两种定义方法,一种是直接定义dx=Δx,一种是把dx定义为恒等函数x=x的函数的微分。由于恒等函数的导数等于1,所以证明了这两种定义是等价的,都有dx=Δx。所以关于微分并不存在两个互不等价的定义, 并不存在【重新】定义的问题。

师先生把导数和微分概念归结为下式(Ⅲ);:
y=Lim[Δx→0](Δy/Δx)=(Δý/Δx)=dy/dx,......(Ⅲ)。
其中 (Δý/Δx)为切线的增量比,即切线的斜率。

导数等于Δx→0时 (Δy/Δx)的极限,也等于切线的斜率 ,也可以表达为微分商。 这个式子没有错,错误出在师先生对此的指责。

指责1。师先生说【这样,极限理论的导数就不应叫微分商,而该叫增量商了。】

看来,师先生根本就没有学懂导数。导数在几何上就是切线的斜率,什么是切线的斜率?切线斜率就是切线的增量比。而且函数的微分dy在几何上就是切线的增量Δý,因而导数就是切线的增量商  。这一点错误都没有,有什么可大惊小怪的。

师先生在这里提出了一个非常可笑的问题: 【那么干嘛不取消微分概念并直接定义y=Δý/Δx,这样不是很简单吗?】这里的Δý/Δx是什么,它就是切线斜率。当然,如果你神通广大,能对每个函数的每点都可求出相应的切线斜率,确实没有必要再用极限去求导数了。问题是你有这么大的本事吗?我们之所以要引入增量的极限求,就是为了求出切线的斜率,即Δý/Δx。请问你不用极限求导,如何算出切线斜率Δý/Δx来?

指责2。师先生说【这样,就等于切线增量Δý,Δx,与Δx→0发生了矛盾。】【 Lim[Δx→0](Δy/Δx)中的Δx必须无限趋近于0,必须无限变小,必须无限分微,而中间(Δý/Δx)里的Δx肯定不能趋近于0,不能变小,不能分微。】其实这里一点矛盾都没有。(Ⅲ)式的第2项需要取Δx→0时的极限,Δx是在极限运算内的变量,并不是自由变量。也就是说,第2项所求的嘏限值并不是Δx的函数,极限运算内的Δx同第3和第4项中的Δx没有任何关系。笫3和第4项中的Δx是自由变量,可以取任意不等于0的值。既可以任意大 ,也可取得很小,不影响该等式的成立。这里并无矛盾。更何况切线是直线,是线性函数。增量比是常数。实际上第3项和第4项的值并不随Δx的变化而变化。式中的Δx可以消去。即Δý=AΔx,因而(Δý/Δx)=A(Δx/Δx)=A。

所以说师先生的指责不成立,这里没有任何矛盾,更谈不上是什么贝克莱悖论【在第二代微积分中的翻版】

 

六。师先生给出的微分和导数的定义概念不请。

本来我们讨论的是第二代微稆分中的微分与导数概念 应以原有的定义为准。可是师先生不去探讨原有微分定义的含义,而是情不自尽地按照他的主观臆想提出了一种微分的定义,一种【新理论】。当然我们要说明,这种师氏微分定义同第二代微积分中的微分定义不相干,不是极跟理论中的原有的微分定义。

师先生在文中自吹自擂地说他的定义是【最恰当,最合理的】。其实师氏微分和导数的定义是概念不清的,并没有给出明确定义,所以还谈不上合理不合理的问题。定义本身就不明确。

师先生说【把Δx→0时的极限Lim[Δx→0](Δx)=0x,定义为函数y=f(x)的自变量的微分,记作dx。】

【把Δy→0时的极限Lim[Δx→0](Δy)=0y,定义为函数y=f(x)的因变量的微分,记作dy。】

【把dy/dx=0y/0x定义为函数y=f(x)的因变量y的微分与自变量x的微分相除所得之商,简称为微分商,俗称为导数。】

在以上定义中没有说清楚0y,0x究竟是什么。按照严格的极限的定义,0y和0x既然是极限,就是实数0。把函数微分dy和自变量微分dx都定义为实数0,这样定义的微分还有什么意义?对于这样定义的微分。显然「微分dy是函数增量Δy的线性主部」的重要性质「Δy=dy+o(Δx)」己不复存在。请问全部都等于0的微分还有何用?

最有趣的是把导数定义为0/0。要知道0/0不是数,由于实数的四则运算中,是不允许除数为0的。因而0/0是无意义的 。在师先生定义的【新理论】中,导数竟然定义为「无意义」,这豈不是咄咄怪事。请问一个始终无意义的导数,能有何用场?

七。师先生对「极限」概念理解的错误。

可能师先生对极限概念的理解并不是根据它的严格的数学定义,而又是按「极限」这两个字的字面含义来主观臆想了。

在谈到当Δx→0,求Δy/Δx的极限时,师先生说【只有在两种情况下才有可能求得极限值。第一种情况是Δx在Δx→0的过程中永远变不到0,而只能变到绝对值任意小的数ε≠0。第二种情况是 Δx在Δx→0的过程中必须变到0。】

师先生的这种对「极限」的理解是完全错误的。上述关于在Δx→0时的极限,是讨论Δx在0点附近的函数(Δy/Δx)的属性,根本与Δx=0时的状况无关。因而求极限的过程中要求Δx≠0。也就是说求极限根本不存在也不考虑师先生所讲的Δx在Δx→0的过程中必须变到0第二种清况。

更严重错误的是师先生竟然认为第一种情况是错误的,而只有第二种情况是正确的,说什么【极限理论要想得出正确的极限值,必须让Δx变到0。】

他举的例子是函数y=x^2求导的例子。
y=...=Lim[Δx→0](Δx(2x+Δx)/Δx)
=Lim [Δx→0](2x+Δx)=(2x+Δx)|Δx=0
=2x+0=2x。

师先生辩解说,如果Δx变不到0,Δx=ε≠0,那么上式只能求出y=2x+ε,而只有让Δx变到0,才能得出y=2x的正确结果。

分析师先生的错误在于上式不单纯用的是极限概念,还用到连续函数的「极限值等于函数值」的性质。如果不用连续函数,纯用极限概念,上式是
y=...=Lim[Δx→0](Δx(2x+Δx)/Δx)
=Lim [Δx→0](2x+Δx)=
=Lim [Δx→0](2x)+ Lim [Δx→0](Δx)
=2x+0=2x。

在这里用到「和的极限等于极限的和」这个极限的法则,和 Lim [Δx→0](Δx)=0这个属性,即当Δx→0时,Δx的极限等于0。我想师先生应该能分清Δx的极限等于0,同Δx=0的区别。也就是说,在这个纯极限的推导中始终是要求Δx≠0的,不存在师先生说的【必须变到0】的情况,仍然能得出正确的极限值。

在师先生的推导中,之所以有下式成立,
Lim [Δx→0](2x+Δx)=(2x+Δx)|Δx=0

用到了2x+Δx是Δx的连续函数,连续函数的极限值等于函数值。式子左端表示的是在Δx≠0的情况下求极限值,在求极限的过程中Δx不等于0,求极限只涉及Δx≠0的点,同Δx=0的点的情况没有任何关系。并没有要求Δx变到0。右端是求Δx=0点的函数值,与Δx≠0的点也没有关系。按连续函数的特性,这两端相等。这里并不存在Δx≠0同Δx=0的矛盾。只是说明分别在Δx≠0和Δx=0的情况下求得的极限值和函数值相等而已。

现举一例。我们令f(x)=(x-5)^2,由于知(-1)^2=(1)^2,得下述等式:
(f(x)|x=4)  =  (f(x)|x=6)。你能根据此等式说x=4同x=6有矛盾吗?或者说在求f(4)时必须让x变6吗?

可见师先生的论断 【极限理论要想得出正确的极限值,必须让Δx变到0。】是错误的。

师先生对极限概念的错误认识的危害是相当大的。由于他否定了极限的求法,甚至认为函数y=x^2在x=1/3处的导数等于2/3的极限求法都是错误的。说成是【故意算错的结果】。由于极限是导数等微积分理论的基础,因而他否定了求极限方法的正确性,实际上是否定了整个微积分。

反之,如果师先生纠正了对极限理论的错误认识,那些他所谓的第二代微积分中的「矛盾」就会烟消云散,自行消灭化为灰烬。

我认为争论的目的是求得共识,我希望通过争论能够达到更多的共识。这次我指出师先生的7点错误,不知能认可多少。没关系,如有异议,提出理由来,我们慢慢讨论。

 

(全文完)




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