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Zmn-0029-2薛问天: 争论的目的是求得共识。评师教民先生在zmn-0028的回答（下篇）

已有 2280 次阅读 2019-5-19 22:09 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0029-2薛问天: 争论的目的是求得共识。评师教民先生在zmn-0028的回答（下篇）。

【编者按：薛问天先生评论了师教民先生在Zmn-0028发表的回答，现将该文（下）发布如下。请大家关注并积极参与评论。】

争论的目的是求得共识。
评师教民先生在zmn-0028的回答（下篇）。

薛问天
xuewentian2006@sina.cn

(续前)

四。师先生所陈述的【求极限的准则】是错误的。

师先生对极限理论中关于求除式的极限的准则的理解是错误的。在极限理论中当Δx→0时(Δx+c)/(Δx+a)→c/a是有条件的，那就是a≠0。只有在a不等于0的条件下，才有极限等于c/a。也就是说，只有滿足分母的极限不为0的条件下，才有(除式的极限)等于(分子的极限)除以(分母的极限)。

严格讲，在a=0，c≠0的情形下，也不滿足上述条件。此时极限是∞，也不是1/0。因为1/0根本不是数，没有意义。更有甚者，说在a=0，c=0的情况下，除式的极限等于0/0，则是大错特错。

在求极限的准则中，把a=0且c=0的除式求极限的情况称为「0/0型」。这里的0/0型不是数，而只是一种求极限的类型的符号，类似的还有∞/∞型等。0/0并不是除式的极限，把0/0型看作是除式的极限是0/0，则是严重的错误。

万不能把0/0型的求极限的类型，误以为是它的极限是0/0。极限有严格的数学定义。这里的0/0连数都不是怎么能是「极限」呢?数学是严谨的科学，建议师先生的每一步推导都尊循严格的逻辑。

显然师先生所说的【按照极限理论的正确算法知，当Δx→0时，Δy/Δx→0y/0x，是正确的。】是错误的，在极限理论中没有这样的算法，0/0连数都不是，怎么能是极限呢？

师先生还说【极限理论在分母Δx和分子Δy的极限都等于0的条件下，也是和我一样的写成:......=Lim(Δy/Δx)=(LimΔy)/(LimΔx)=......。】，而且还说【其实是我从极限理论学来的。】

错！绝对的错！在极极限理论中，是绝对不允许这样写的。请师生生回家翻一翻，如果发现哪本书这样写，那肯定是个垃圾教材，赶快把它丢掉，以免继续误人子弟。这就如同歪嘴和尚把经唸歪了，还自以为唸的是真经。

五。师先生对「微分」概念的含义的理解是错误的。

我想首先应该明确一下，我们所讨论的是现代微积分理论中的「微分」概念。我们讨论的现行理论有无矛盾。因而我们讨论的「微分」只限于第二代微积分中的概念。

如何把握「微分」概念的确切含义? 师先生的错误在于他不是根据微分的「定义」，而是根据概念「名称的字面解释」来把握它的含义。这是学数学的大忌，很多人的错误都是由此而产生的。师先生目前还没有认识到这一点。他的错误也是由此产生。

师先生把「增量」理解为具有【可以有任意大，足够大，充分大的特点】。把「微分」理解为【无限趋于0，无限变小，无限分微的过程】。其实这并不是增量和微分的特征属性。增量和微分都是变量，变量就可以在其变域中任意变化。增量Δx可以任意大，作为微分的dy=AΔx和dx=Δx也可以任意大。反之，dy,dx可以趋近于0，同样Δy,Δx也可趋近于0。作为论证和理解数学概念的依据，必须靠定义，而不能靠对概念名称字面含义的主观臆想。什么是增量，按定义函数的增量Δy=f(x)-f(x0)，Δx=x-x0。什么是微分，按定义函数的微分dy=f‘(x)Δx，dy是Δy的线性主部，自变量的微分dx=Δx。所有关于增量和微分的论证和推导必须以此为依据，以此为准绳。

我希望通过这次讨论能彻底改变师先生对「微分」的看法。微分dy,dx是变量，是随Δx变化的函数，自变量的微分等于自变量的增量，函数的微分是自变量增量的线性主部。只有在Δx无限趋近于0时，dy,dx才无限趋近于0，当Δx取有限值时，相应的dy,dx也是有限值。例如前面的验证例子y=√x，当x0=1，Δx=3时，Δy=1，相应的dx=3，dy=0.5。当x0=1，Δx=8时，Δy=2，相应的dx=8，dy=4。

可见「微分」是变量，並不是什么【无限趋于0，无限变小，无限分微的过程】。

在极限理论中增量同微分有着不同的定义，不存在师先生所说的【微分和增量分别重新定义为同一概念】的问题。只是部分有重合，自变量的微分等于自变量的增量。两个概念部分有重合这是常有的事不必大惊小怪。我们知道「全校男生」同「英文系全体学生」这是两个不同的概念。但是「全校男生」中的「英文系男生」同「英文系全体学生」中的「英文系男生」却是相同的。所以说两个不同的概念，完全有可能部分是相同的。这不应有任何问题。

另外，在微分的定义中，函数的微分同自变量的微分，是【分别】定义的，但并不存在【重新】定义的问题。要重新定义必须证明两个定义的等价。例如关于自变量的微分dx就有两种定义方法，一种是直接定义dx=Δx，一种是把dx定义为恒等函数x=x的函数的微分。由于恒等函数的导数等于1，所以证明了这两种定义是等价的，都有dx=Δx。所以关于微分并不存在两个互不等价的定义，并不存在【重新】定义的问题。

师先生把导数和微分概念归结为下式(Ⅲ);:
y’=Lim_[Δx→0](Δy/Δx)=(Δý/Δx)=dy/dx，......(Ⅲ)。
其中 (Δý/Δx)为切线的增量比，即切线的斜率。

导数等于Δx→0时 (Δy/Δx)的极限，也等于切线的斜率，也可以表达为微分商。这个式子没有错，错误出在师先生对此的指责。

指责1。师先生说【这样，极限理论的导数就不应叫微分商，而该叫增量商了。】

看来，师先生根本就没有学懂导数。导数在几何上就是切线的斜率，什么是切线的斜率？切线斜率就是切线的增量比。而且函数的微分dy在几何上就是切线的增量Δý，因而导数就是切线的增量商。这一点错误都没有，有什么可大惊小怪的。

师先生在这里提出了一个非常可笑的问题: 【那么干嘛不取消微分概念并直接定义y’=Δý/Δx，这样不是很简单吗?】这里的Δý/Δx是什么，它就是切线斜率。当然，如果你神通广大，能对每个函数的每点都可求出相应的切线斜率，确实没有必要再用极限去求导数了。问题是你有这么大的本事吗?我们之所以要引入增量的极限求导，就是为了求出切线的斜率，即Δý/Δx。请问你不用极限求导，如何算出切线斜率Δý/Δx来?

指责2。师先生说【这样，就等于切线增量Δý，Δx，与Δx→0发生了矛盾。】【 Lim_[Δx→0](Δy/Δx)中的Δx必须无限趋近于0，必须无限变小，必须无限分微，而中间(Δý/Δx)里的Δx肯定不能趋近于0，不能变小，不能分微。】其实这里一点矛盾都没有。(Ⅲ)式的第2项需要取Δx→0时的极限，Δx是在极限运算内的变量，并不是自由变量。也就是说，第2项所求的嘏限值并不是Δx的函数，极限运算内的Δx同第3和第4项中的Δx没有任何关系。笫3和第4项中的Δx是自由变量，可以取任意不等于0的值。既可以任意大，也可取得很小，不影响该等式的成立。这里并无矛盾。更何况切线是直线，是线性函数。增量比是常数。实际上第3项和第4项的值并不随Δx的变化而变化。式中的Δx可以消去。即Δý=AΔx，因而(Δý/Δx)=A(Δx/Δx)=A。

所以说师先生的指责不成立，这里没有任何矛盾，更谈不上是什么贝克莱悖论【在第二代微积分中的翻版】。

六。师先生新给出的微分和导数的定义概念不请。

本来我们讨论的是第二代微稆分中的微分与导数概念应以原有的定义为准。可是师先生不去探讨原有微分定义的含义，而是情不自尽地按照他的主观臆想提出了一种微分的定义，一种【新理论】。当然我们要说明，这种师氏微分定义同第二代微积分中的微分定义不相干，不是极跟理论中的原有的微分定义。

师先生在文中自吹自擂地说他的定义是【最恰当，最合理的】。其实师氏微分和导数的定义是概念不清的，并没有给出明确定义，所以还谈不上合理不合理的问题。定义本身就不明确。

师先生说【把Δx→0时的极限Lim_[Δx→0](Δx)=0x，定义为函数y=f(x)的自变量的微分，记作dx。】

【把Δy→0时的极限Lim_[Δx→0](Δy)=0y，定义为函数y=f(x)的因变量的微分，记作dy。】

【把dy/dx=0y/0x定义为函数y=f(x)的因变量y的微分与自变量x的微分相除所得之商，简称为微分商，俗称为导数。】

在以上定义中没有说清楚0y,0x究竟是什么。按照严格的极限的定义，0y和0x既然是极限，就是实数0。把函数微分dy和自变量微分dx都定义为实数0，这样定义的微分还有什么意义?对于这样定义的微分。显然「微分dy是函数增量Δy的线性主部」的重要性质「Δy=dy+o(Δx)」己不复存在。请问全部都等于0的微分还有何用？

最有趣的是把导数定义为0/0。要知道0/0不是数，由于实数的四则运算中，是不允许除数为0的。因而0/0是无意义的。在师先生定义的【新理论】中，导数竟然定义为「无意义」，这豈不是咄咄怪事。请问一个始终无意义的导数，能有何用场?

七。师先生对「极限」概念理解的错误。

可能师先生对极限概念的理解并不是根据它的严格的数学定义，而又是按「极限」这两个字的字面含义来主观臆想了。

在谈到当Δx→0，求Δy/Δx的极限时，师先生说【只有在两种情况下才有可能求得极限值。第一种情况是Δx在Δx→0的过程中永远变不到0，而只能变到绝对值任意小的数ε≠0。第二种情况是 Δx在Δx→0的过程中必须变到0。】

师先生的这种对「极限」的理解是完全错误的。上述关于在Δx→0时的极限，是讨论Δx在0点附近的函数(Δy/Δx)的属性，根本与Δx=0时的状况无关。因而求极限的过程中要求Δx≠0。也就是说求极限根本不存在也不考虑师先生所讲的【Δx在Δx→0的过程中必须变到0】的第二种清况。

更严重错误的是师先生竟然认为第一种情况是错误的，而只有第二种情况是正确的，说什么【极限理论要想得出正确的极限值，必须让Δx变到0。】

他举的例子是函数y=x^2求导的例子。
y’=...=Lim_[Δx→0](Δx(2x+Δx)/Δx)
=Lim _[Δx→0](2x+Δx)=(2x+Δx)|_Δx=0
=2x+0=2x。

师先生辩解说，如果Δx变不到0，Δx=ε≠0，那么上式只能求出y‘=2x+ε，而只有让Δx变到0，才能得出y’=2x的正确结果。

分析师先生的错误在于上式不单纯用的是极限概念，还用到连续函数的「极限值等于函数值」的性质。如果不用连续函数，纯用极限概念，上式是
y‘=...=Lim_[Δx→0](Δx(2x+Δx)/Δx)
=Lim _[Δx→0](2x+Δx)=
=Lim _[Δx→0](2x)+ Lim _[Δx→0](Δx)
=2x+0=2x。

在这里用到「和的极限等于极限的和」这个极限的法则，和 Lim _[Δx→0](Δx)=0这个属性，即当Δx→0时，Δx的极限等于0。我想师先生应该能分清Δx的极限等于0，同Δx=0的区别。也就是说，在这个纯极限的推导中始终是要求Δx≠0的，不存在师先生说的【必须变到0】的情况，仍然能得出正确的极限值。

在师先生的推导中，之所以有下式成立，
Lim _[Δx→0](2x+Δx)=(2x+Δx)|_Δx=0，

用到了2x+Δx是Δx的连续函数，连续函数的极限值等于函数值。式子左端表示的是在Δx≠0的情况下求极限值，在求极限的过程中Δx不等于0，求极限只涉及Δx≠0的点，同Δx=0的点的情况没有任何关系。并没有要求Δx变到0。右端是求Δx=0点的函数值，与Δx≠0的点也没有关系。按连续函数的特性，这两端相等。这里并不存在Δx≠0同Δx=0的矛盾。只是说明分别在Δx≠0和Δx=0的情况下求得的极限值和函数值相等而已。

现举一例。我们令f(x)=(x-5)^2，由于知(-1)^2=(1)^2，得下述等式:
(f(x)|_x=4) = (f(x)|_x=6)。你能根据此等式说x=4同x=6有矛盾吗?或者说在求f(4)时必须让x变到6吗?

可见师先生的论断【极限理论要想得出正确的极限值，必须让Δx变到0。】是错误的。

师先生对极限概念的错误认识的危害是相当大的。由于他否定了极限的求法，甚至认为函数y=x^2在x=1/3处的导数等于2/3的极限求法都是错误的。说成是【故意算错的结果】。由于极限是导数等微积分理论的基础，因而他否定了求极限方法的正确性，实际上是否定了整个微积分。

反之，如果师先生纠正了对极限理论的错误认识，那些他所谓的第二代微积分中的「矛盾」就会烟消云散，自行消灭化为灰烬。

我认为争论的目的是求得共识，我希望通过争论能够达到更多的共识。这次我指出师先生的7点错误，不知能认可多少。没关系，如有异议，提出理由来，我们慢慢讨论。

(全文完)

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