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Zmn-0026薛问天: 两个错误的证明

已有 731 次阅读 2019-4-25 13:23 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0026薛问天: 两个错误的证明

【编者按:薛问天先生投给本专栏文章一篇,现将文发布如下。请大家关注并积极参与评论。】

 

 


两个错误的证明
薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-c.jpg对微分概念的误读,把不同的微分变量误以为是相同的变量,不仅能错误地推导出dx=Δxdx≠Δx的矛盾来,甚至以为是微积分理论基础出了向题。而且这种误读,也会在推理过程中出现错误,闹出笑话来。

下面举两个定理证明的例子。来分析其证明的错误。

定理1 如果有可导函数y=f(x)x=g(t)和复合函数y=f(g(t)=h(t)f'(x) g'(t)h'(t)分别是它们的导函数,则 h'(t)=f'(x)g'(t))
证明。我们知道,由于fgh可导,所以
dy= f'(x)dx......①
dx= g'(t)dt......②
dy= h'(t)dt......③
式代入式中的dx,即得:
dy= f'(x)g'(t))dt,,,,,,④
比较ⅰ③式,即可得出:
h'(t)=f'(x)g'(t))证毕。

定理2 如果有可导函数y= f(x)x=g(y)互为反函数(逆映射)y=f(g(y))f'(x) g'(y)分别是它们的导函数。则有f'(x)=1/g'(y)
证明。 我们知道,由于fg可导,所以
(dy/dx)= f'(x),......①
(dx/dy)= g'(y),......②
根据倒数的性质有:
(dy/dx)=1/(dx/dy),......③
代入中,即得:
f'(x)=1/g'(y)证毕。

定理1证明的错误在于,中的dx中的dⅹ是两个不同的变量,不能随意的代入。另外,式的dy式中的dy也不是相同的变量,不能随意的比较。

定理2证明的错误在于,式中的dy,dx式中的dy,dx是不同的两对变量 ,不能同时代入中。因式中的等式两端的两对dy,dx必须是相同的两对变量。

   这两个定理的内容本身都是正确的。只是这样的证明却是错误的。错误的来源就是由于对微分概念的误读,没有认识到「函数的微分」同「自变量微分」的区别,把不同的微分变量,误以为是相同的变量所致

   既然定理本身是正确的。当然它们都有另外的正确的证明。这里不赘述。


(全文完)

 

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