Zmn-0026薛问天: 两个错误的证明

【编者按：薛问天先生投给本专栏文章一篇，现将此文发布如下。请大家关注并积极参与评论。】

两个错误的证明
薛问天

xuewentian2006@sina.cn

对微分概念的误读，把不同的微分变量误以为是相同的变量，不仅能错误地推导出dx=Δx和dx≠Δx的矛盾来，甚至以为是微积分理论基础出了向题。而且这种误读，也会在推理过程中出现错误，闹出笑话来。

下面举两个定理证明的例子。来分析其证明的错误。

定理1。 如果有可导函数y=f(x)，x=g(t)和复合函数y=f(g(t)=h(t)。 f'(x) ，g'(t)和 h'(t)分别是它们的导函数，则 h'(t)=f'(x)g'(t))。
证明。我们知道，由于f，g，h可导，所以
dy= f'(x)dx，......①
dx= g'(t)dt，......②
dy= h'(t)dt，......③
将②式代入①式中的dx，即得:
dy= f'(x)g'(t))dt，,,,,,,④
比较ⅰ③和④式，即可得出:
h'(t)=f'(x)g'(t))。证毕。

定理2。 如果有可导函数y= f(x)和x=g(y)互为反函数(逆映射)，y=f(g(y))。f'(x) 和g'(y)分别是它们的导函数。则有f'(x)=1/g'(y)。
证明。 我们知道，由于f，g可导，所以
(dy/dx)= f'(x),......①
(dx/dy)= g'(y),......②
根据倒数的性质有:
(dy/dx)=1/(dx/dy),......③
将①和②代入③中，即得:
f'(x)=1/g'(y)。证毕。

定理1证明的错误在于，①中的dx同②中的dⅹ是两个不同的变量，不能随意的代入。另外，④式的dy同③式中的dy也不是相同的变量，不能随意的比较。

定理2证明的错误在于，①式中的dy,dx同②式中的dy,dx是不同的两对变量 ，不能同时代入③中。因③式中的等式两端的两对dy,dx必须是相同的两对变量。

   这两个定理的内容本身都是正确的。只是这样的证明却是错误的。错误的来源就是由于对微分概念的误读，没有认识到「函数的微分」同「自变量微分」的区别，把不同的微分变量，误以为是相同的变量所致。

   既然定理本身是正确的。当然它们都有另外的正确的证明。这里就不赘述。

（全文完）

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