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Zmn-0030薛问天: 再谈无穷步演算的禁忌

已有 2465 次阅读 2019-5-28 14:33 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0030薛问天: 再谈无穷步演算的禁忌

【编者按：下面是薛问天先生投来的文章对Zmn-003原来的稿件做了一定的改正和补充，现将该文发布如下。请大家关注并积极参与评论。】

再谈无穷步演算的禁忌

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-c.jpg 终于想请楚了，並不是对所有的无穷步演算都需要禁忌，只是对那些演算结果无定义的无穷步演算需要禁忌，而对演算结果有明确定义的无穷步演算及演算结果，我们还是承认和认可的。但是要注意有些明显在有穷步演算成立的论断，在无穷步演算后就不成立了。

例1。设有自然数序列:

1,2,3,...,n,......。①

对①中每个元素进行平方演算。由于序列中元素有无穷多个，显然这是个无穷步演算。但是演算结果有明确定义，即该演算结果的无穷序列中，对所有的n，第n项的元素是n^2。即:1,4,9,...,n^2,......。②

在这个例子中，演算是无穷步演算，但是演算结果②有明确的、确切的定义，所以这样的无穷步演算及其结果，我们还是承认和认可的。

例2。无穷0右移演算。

考虑自然数的无穷序列，如果把其中的0同它后面的数字交换一下位置，向右移一个位置，序列其它元素均保持不变，就形成一个新的序列。我们把这种对序列的演算称为0右移演算。具体说，序列

A0={0，1，2，…，n，…}，

经过一次0右移，变成序列A1={1，0，2，…，n，…，

再经过一次0右移，变成序列A2={1，2，0，3，…，n，…}，…。

经过有穷次(n次)0右移，变成序列An={1，2，…，n，0，n+1，…}。

任何有穷次的0右移都是有确切严格的定义的。但是如果说A0经过无穷次0右移演算，它的结果是个什么序列呢。我们来做一下分析。

我们知道在经过1次0在移演算后第1项是1，一般地在经过n次0在移演算后第n项是n，而且在以后的0右移演算中这些项是不会再改变了。所以这种无穷次0右移演算后的结果序列实际上是有明确的定义的。演算后的结果序列的第n个元素就是经过n次0右移演算后的第n个元素，即n，因为以后的0右移演算不会再改变这些元素的内容。既然无穷0右移演算的结果序列有明确的定义，它就不应在禁忌之列，而是被承认和认可的演算。

有人这样推论，说每次0右移只改变序列元素的次序，并不改变序列元素本身和个数，认为0还应在无穷次演算的结果序列中。

可以证明这个推论是错误的。因为结果序列中的任何位置n上都不会是0，在经过第n次0右移后，它己被移走，0已经不在无穷步演算后的结果序列中了。

经有穷次0右移演算，所有序列中的元素都还在序列中，但是经无穷次0右移演算后，0却从系列中消失了。这个例子说明，不能根据有穷次演算的结果序列的结论，作出错误判断，误以为在无穷次演算后结果序列中也一定成立。

例3。有理数序列的调换演算。

黄汝广先生为了挑战康托尔的对角线法，曾提出如下的无穷步「调换算法」。
设所有的十进制有理小数排成一个可数无穷行的序列。然后对此序列进行处理。用逐行调换的方法使对角线上的值都成为1。具体办法是逐行检查，如果第n行(即第n个有理数)的第n位值不等于1，就从后面的有理数中找一个第n位是1的有理数(肯定可以找到)，同它调换，调换后使第n个有理数的ann=1。这样不断逐行调换下去，最终使对角线上的值全为1。而且认为调换后原有的有理数序列一个不多一个不少。然后按对角线法，构造有理小数b=0.2222…。这是无穷循环小数，是有理小数没有问题，而且同序列中的所有数一个也不相等。这不是就证明了有理数不可数了吗？证明错在哪里？

问题出在这个无穷步的调换算法上。确实，有理数无穷序列经过这个无穷步调换算法后，其结果序列是有明确定义的。因为算法是逐行进行的。首先确定第一行，经过调换使第一行的a11=1。然后确定第二行，使第二行的a22=1，一般地经过n步算法后，确定了n个有理数，这些有理数都滿足ann=1。而且在以后的调换中，这些确定的有理数都是不会再改变的。也就是说经过无穷步调换算法后，对任何n，结果序列的笫n个有理数是确定的，而且ann=1。所以说这样的无穷步调换算法的结果序列是有定义的，这样的算法不属禁忌之列，应予以认可和承认。

错误出在上面说的【认为调换后原有的有理数序列一个不多一个不少】这个判断上。是的，经过有穷次的调换演算【原有的序列一个不多一个不少】，但是经过无穷步的调换演算后，这点就不能得到保证。就如同在无穷步的0右移后，0从结果序列中消失是一个道理，那些被替换掉的未被再选中的有理数，也在经过无穷次的调换后，被挤出了结果序列。这点可从结果序列中仅包括被选中的滿足ann=1的有理数就可得知。

也就是说，这个序列经过无穷次的调换演算后，已经不是包含所有有理数的序列了，并未包含所有的有理数。从而证明不了有理数集不可数。

以上所举的无穷步演算的例子，都是结果序列有明确定义的。因而这样的无穷步演算及其结果不应被禁忌，而是应该予以承认和认可的。

我们仔细分析那些有定义的无穷步演算，尽管整体讲需要无穷步。但是结果序列中的任何一项(例如第n项)，只需要有穷步就可以确定下来。在算法的以后的无穷步中，这些项将不受到影响，不会再发生变化。因而说这些无穷步演算的结果序列是有定义的。

我在《zmn-03论无穷的忌用》一文中禁忌了部分有明确定义的无穷步演算的例子，是不合适、不正确的，应该更正。

但是要注意，在有穷步演算下有些非常明显的论断，在无穷步演算后却并不成立。这点很重要，如果误以为成立就会得出错误的结果。

下面举一些真正需要禁忌的「结果序列无定义的无穷步演算」的例子。

例4。倒排算法

设有从小到大排列的自然数无穷序列: 1,2,3,...n,...。下面设计一个无穷步算法，试图将此序列倒排，即将此序列变为从大到小的无穷序列。

【倒排算法】此算法从前两项，前3项，逐次增大项数，将序列变为从大到小的无穷序列。

对前两项将位置倒换，序列变为: 2,1,3,...,n,... 可见前两项已倒排。

将3放在首位，2,1右移一位，序列变为: 3 ,2,1,4,...,n,...。可见前3项己倒排。

一般地，若前n-1项己倒排，序列是: n-1,...,3,2,1,n,...。将n放在首位，n-1,...,3,2,1,各右移一位，序列变为: n, n-1,...,3,2,1,n+1,...。可见前n项己倒排。

继续作下去，形成无穷步倒排算法。

问题是尽管任意有穷(n)步倒排算法，都可使序列的前n项倒排，但是无穷步倒排算法可否形成自然数的倒排无穷序列? 答案显然是否定的。因为自然数没有最大数，任何自然数都不可能充当序列的首项。因而这样的自然数例排的无穷序列是不可能存在的。

我们来分析这个无穷步倒排算法。这是一个典型的结果序列无定义的无穷步演算。属于禁忌之列，这样的算法及其结果不被承认和认可。

我们曾仔细分析过那些有定义的无穷步演算，尽管那些无穷步演算整体讲需要无穷步。但是结果序列中的任何一项(例如第n项)，只需要有穷步就可以确定下来。在算法的以后的无穷步中，这些项将不受到影响，不会再发生变化。然而这个例子则不同，结果序列的首项就始终在不断变化确定不下来。因为自然数没有最大数，你选任何数作首项，在后面的倒排算法中，总要被比它大的数替换掉，所以说结果序列的各项不可能有确定的数值，始终处在变化之中。也就是说，这个无穷步演算的结果序列设有确定的定义。

这种结果序列无定义的无穷步演算，是真正需要禁止使用的，这种算法和无定义的结果是不被承认和认可的，不能在证明和推论中作为依据。

例5。「排序算法」

我们知道有理数集Q可数，从而可以排成一无穷序列: a1,a2,...,an,...。①而且可证这个序列不可能是「按大小顺序排列」的。因为否则，如果全体有理数组成的集合Q能「按大小顺序排成一个序列」，则在序列相邻两数之间就不应再有任何有理数了。可是这与Q的稠密性发生矛盾。稠密性说任何两个有理数间有无数个有理数。所以有理数集Q不可能「按大小顺序排成一个序列」。

我下面提供一种算法，可以将有理数序列①变为「按大小顺序排列」。这样一来不就证明了「有理数集Q可以按大小顺序排成一个序列」了吗。请问错误出在哪里?

【排序算法】施归纳于n。
基始。n=2，比较a1和a2，使小的为a1，大的为a2。这样就使新的(a1,a2)按大小顺序排列。
归纳。设(a1,...,an)己按大小排列。将an+1同a1,...,an分别比较插入合适位置，这样新的(a1,...,an,an+1)就是按大小顺序排列的。

有理数集Q的序列①，经排序算法改造后，形成的新的序列①就是按大小顺序排列的了。这就证明了有理数集Q可以「按大小顺序排成一个序列」。请问错在哪里?

错就错在这个无穷步排序算法是个结果序列无定义的无穷步演算，属禁忌的演算，不被认可，不能作为论证的根据。

我们来分析这个排序算法的运作过程。显然如果0出现在序列①的第m项: am=0。则算法经m个归纳步后，0即变成结果序列的首项: a1=0。

问题出在结果序列的第2项a2永远确定不下来。我们知道对任何大于0的有理数，有无穷多个小于它而大于0的有理数。因而算法中某步选定某数作为a2，一定存在算法后面的某一步，将此数被替掉。也就是说，在这无穷步的演算中，a2始终在变换，永远确定不下来。当然不止a2，其它各项也一样。这就是说这是一个结果序列无确切定义的无穷步演算。属于被禁忌之列。既然此算法不被承认，当然「有理数集Q可以按大小顺序排成一个序列」的论断就化为泡影了。

（全文完）

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