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Zmn-0030薛问天: 再谈无穷步演算的禁忌

已有 677 次阅读 2019-5-28 14:33 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0030薛问天: 谈无穷步演算的禁忌


【编者按:下面是薛问天先生投来的文章对Zmn-003原来的稿件做了一定的改正和补充,现将该文发布如下。请大家关注并积极参与评论。】

 

 

谈无穷步演算的禁忌

薛问天

xuewentian2006@sina.cn


薛问天-c.jpg终于想请楚了,並不是对所有的无穷步演算都需要禁忌,只是对那些演算结果无定义的无穷步演算需要禁忌,而对演算结果有明确定义的无穷步演算及演算结果,我们还是承认和认可的。但是要注意有些明显在有穷步演算成立的论断,在无穷步演算后就不成立了。


1。设有自然数序列:

1,2,3,...,n,......。①

①中每个元素进行平方演算。由于序列中元素有无穷多个,显然这是个无穷步演算。但是演算结果有明确定义,即该演算结果的无穷序列中,对所有的n,第n项的元素是n^2。即:1,4,9,...,n^2,......。②

在这个例子中,演算是无穷步演算,但是演算结果②有明确的、确切的定义,所以这样的无穷步演算及其结果,我们还是承认和认可的。


2。无穷0右移演算。

考虑自然数的无穷序列,如果把其中的0同它后面的数字交换一下位置,向右移一个位置,序列其它元素均保持不变,就形成一个新的序列。我们把这种对序列的演算称为0右移演算。具体说,序列

A0={0,1,2,…,n,…},

经过一次0右移,变成序列A1={1,0,2,…,n,…,

再经过一次0右移,变成序列A2={1,2,0,3,…,n,…},…。

经过有穷次(n次)0右移,变成序列An={1,2,…,n,0,n+1,…}。

任何有穷次的0右移都是有确切严格的定义的。但是如果说A0经过无穷次0右移演算,它的结果是个什么序列呢。我们来做一下分析。

我们知道在经过1次0在移演算后 第1项是1,一般地 在经过n次0在移演算后 第n项是n,而且在以后的0右移演算中这些项是不会再改变了。所以这种无穷次0右移演算后的结果序列实际上是有明确的定义的。演算后的结果序列的第n个元素就是经过n次0右移演算后的第n个元素,即n,因为以后的0右移演算不会再改变这些元素的内容。既然无穷0右移演算的结果序列有明确的定义,它就不应在禁忌之列,而是被承认和认可的演算。

有人这样推论,说每次0右移只改变序列元素的次序,并不改变序列元素本身和个数,认为0还应在无穷次演算的结果序列中。

可以证明这个推论是错误的。因为结果序列中的任何位置n上都不会是0,在经过第n次0右移后,它己被移走,0已经不在无穷步演算后的结果序列中了。

经有穷次0右移演算,所有序列中的元素都还在序列中,但是经无穷次0右移演算后,0却从系列中消失了。这个例子说明,不能根据有穷次演算的结果序列的结论,作出错误判断,误以为在无穷次演算后结果序列中也一定成立。




3。有理数序列的调换演算。

黄汝广先生为了挑战康托尔的对角线法,曾提出如下的无穷步「调换算法」。
设所有的十进制有理小数排成一个可数无穷行的序列。然后对此序列进行处理。用逐行调换的方法使对角线上的值都成为1。具体办法是逐行检查,如果第n行(即第n个有理数)的第n位值不等于1,就从后面的有理数中找一个第n位是1的有理数(肯定可以找到),同它调换,调换后使第n个有理数的ann=1。这样不断逐行调换下去,最终使对角线上的值全为1。而且认为调换后原有的有理数序列一个不多一个不少。然后按对角线法,构造有理小数b=0.2222…。这是无穷循环小数,是有理小数没有问题,而且同序列中的所有数一个也不相等。这不是就证明了有理数不可数了吗?证明错在哪里?

问题出在这个无穷步的调换算法上。确实,有理数无穷序列经过这个无穷步调换算法后,其结果序列是有明确定义的。因为算法是逐行进行的。首先确定第一行,经过调换使第一行的a11=1。然后确定第二行,使第二行的a22=1,一般地经过n步算法后,确定了n个有理数,这些有理数都滿足ann=1。而且在以后的调换中,这些确定的有理数都是不会再改变的。也就是说经过无穷步调换算法后,对任何n,结果序列的笫n个有理数是确定的,而且ann=1。所以说这样的无穷步调换算法的结果序列是有定义的,这样的算法不属禁忌之列,应予以认可和承认。

错误出在上面说的【 认为调换后原有的有理数序列一个不多一个不少】这个判断上。是的,经过有穷次的调换演算【 原有的序列一个不多一个不少】,但是经过无穷步的调换演算后,这点就不能得到保证。就如同在无穷步的0右移后,0从结果序列中消失是一个道理,那些被替换掉的未被再选中的有理数,也在经过无穷次的调换后,被挤出了结果序列。这点可从结果序列中仅包括被选中的滿足ann=1的有理数就可得知。

也就是说,这个序列经过无穷次的调换演算后,已经不是包含所有有理数的序列了,并未包含所有的有理数。从而证明不了有理数集不可数。

以上所举的无穷步演算的例子,都是结果序列有明确定义的。因而这样的无穷步演算及其结果不应被禁忌,而是应该予以承认和认可的。

我们仔细分析那些有定义的无穷步演算,尽管整体讲需要无穷步。但是结果序列中的任何一项(例如第n项),只需要有穷步就可以确定下来。在算法的以后的无穷步中,这些项将不受到影响,不会再发生变化。因而说这些无穷步演算的结果序列是有定义的。

我在《zmn-03论无穷的忌用》一文中忌了部分有明确定义的无穷步演算的例子是不合适、不正确的,应该更正。

是要注意,在有穷步演算下有些非常明显的论断,在无穷步演算后却并不成立。这点很重要,如果误以为成立就会得出错误的结果。

下面举一些真正需要禁忌的「结果序列无定义的无穷步演算」的例子。

 

4。倒排算法

设有从小到大排列的自然数无穷序列:  1,2,3,...n,...。下面设计一个无穷步算法,试图将此序列倒排,即将此序列变为从大到小的无穷序列。

【倒排算法】此算法从前两项,前3项,逐次增大项数,将序列变为从大到小的无穷序列。

对前两项将位置倒换,序列变为:  2,1,3,...,n,... 可见前两项已倒排。

3放在首位,2,1右移一位,序列变为: 3 ,2,1,4,...,n,...。可见前3项己倒排。

一般地,若前n-1项己倒排,序列是:  n-1,...,3,2,1,n,...。n放在首位,n-1,...,3,2,1,各右移一位,序列变为:  n, n-1,...,3,2,1,n+1,...。 可见前n项己倒排。

继续作下去,形成无穷步倒排算法。

问题是尽管任意有穷(n)步倒排算法,都可使序列的前n项倒排,但是无穷步倒排算法可否形成自然数的倒排无穷序列? 答案显然是否定的。因为自然数没有最大数,任何自然数都不可能充当序列的首项。因而这样的自然数例排的无穷序列是不可能存在的。

我们来分析这个无穷步倒排算法。这是一个典型的结果序列无定义的无穷步演算。属于禁忌之列,这样的算法及其结果不被承认和认可。

我们仔细分析那些有定义的无穷步演算,尽管那些无穷步演算整体讲需要无穷步。但是结果序列中的任何一项(例如第n项),只需要有穷步就可以确定下来。在算法的以后的无穷步中,这些项将不受到影响,不会再发生变化。然而这个例子则不同,结果序列的首项就始终在不断变化确定不下来。因为自然数没有最大数,你选任何数作首项,在后面的倒排算法中,总要被比它大的数替换掉,所以说结果序列的各项不可能有确定的数值,始终处在变化之中。也就是说,这个无穷步演算的结果序列设有确定的定义。

这种结果序列无定义的无穷步演算,是真正需要禁止使用的,这种算法和无定义的结果是不被承认和认可的,不能在证明和推论中作为依据。


5。「排序算法」

我们知道有理数集Q可数,从而可以排成一无穷序列: a1,a2,...,an,...。①而且可证这个序列不可能是「按大小顺序排列」的。因为否则,如果全体有理数组成的集合Q能「按大小顺序排成一个序列」,则在序列相邻两数之间就不应再有任何有理数了。可是这与Q的稠密性发生矛盾。稠密性说任何两个有理数间有无数个有理数。所以 有理数集Q不可能「按大小顺序排成一个序列」。

 我下面提供一种算法,可以将有理数序列①变为「按大小顺序排列」。这样一来不就证明了 「有理数集Q可以按大小顺序排成一个序列」了吗。请问错误出在哪里?

【排序算法】施归纳于n。
基始。n=2,比较a1和a2,使小的为a1,大的为a2。这样就使新的(a1,a2)按大小顺序排列。
归纳。(a1,...,an)己按大小排列。将an+1同a1,...,an分别比较插入合适位置,这样新的(a1,...,an,an+1)就是按大小顺序排列的。

有理数集Q的序列①,经排序算法改造后,形成的新的序列①就是按大小顺序排列的了。这就证明了 有理数集Q可以「按大小顺序排成一个序列」。请问错在哪里?

错就错在这个无穷步排序算法是个结果序列无定义的无穷步演算,属禁忌的演算,不被认可,不能作为论证的根据。

我们来分析这个排序算法的运作过程。显然如果0出现在序列①的第m项:  am=0。则算法经m个归纳步后,0即变成结果序列的首项:  a1=0。

问题出在结果序列的第2项a2永远确定不下来。我们知道对任何大于0的有理数,有无穷多个小于它而大于0的有理数。因而算法中某步选定某数作为a2,一定存在算法后面的某一步,将此数被替掉。也就是说,在这无穷步的演算中,a2始终在变换,永远确定不下来。当然不止a2,其它各项也一样。这就是说这是一个结果序列无确切定义的无穷步演算。属于被禁忌之列。既然此算法不被承认,当然 「有理数集Q可以按大小顺序排成一个序列」的论断就化为泡影了。

(全文完)



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