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Zmn-0031 黄汝广: 关于【matrix67:证明实数区间不可数的新方法】,及薜问天先生的评论

已有 510 次阅读 2019-5-31 11:29 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:科研笔记

Zmn-0031  黄汝广:  关于【matrix67:证明实数区间不可数的新方法】,及薜问天先生的评论
【编者按。 黄汝广先生发来一短文,证明实数不可数的新方法提出了质疑,黄先生的要求,请薛问天先生作了评论。现将原文及评论同时发布如下。请网友们关注,並积极参与评论。】

 

 

老师您好!我修订后的短文《关于【matrix67:证明实数区间不可数的新方法】》,希望也请薛问天先生评论一下,发在啄木鸟专栏。

黄汝广

 

 

关于【matrix67:证明实数区间不可数的新方法】

黄汝广

matrix67介绍的这个证明是无效的,因为存在偷换概念的问题。

“Baker发现,如果S集为可数集的话,B肯定有必胜策略。如果S集可数,那么B就可以把S集里的数排列成一个序列s1, s2, s3, ... 。B的目标就是让序列{an}的极限不等于S集里的任一个数。”注意:这里意味着S集是[0,1]的一个真子集!这是上述结论成立的必要条件。

但是最后,”有趣的事情来了。假如A和B约定好的S集就是整个实数区间[0,1],那么B显然不可能获胜;但如果[0,1]是可数集的话,B是有必胜策略的。”注意:这里S集就是整个实数区间[0,1],而不是[0,1]的一个真子集了!由于必要条件不满足,“B是有必胜策略的”也就不再成立,这与“B显然不可能获胜”根本不存在矛盾。因此这个证明是无效的.

 

 

 

 

薛问天先生的评论

主要问题出在黄汝广先生的这段推理:

有趣的事情来了。假如AB约定好的S集就是整个实数区间[0,1],那么B显然不可能获胜;但如果[0,1]是可数集的话,B是有必胜策略的。

注意:这里S集就是整个实数区间[0,1],而不是[0,1]的一个真子集了!①

由于必要条件不满足,“B是有必胜策略的也就不再成立,这与“B显然不可能获胜根本不存在矛盾。

因此这个证明是无效的.③

这里黄先生的推理有些乱,推理应当正好说明证明是有效的,而不是无效的。我把黄先生的推理分为三句话,分别标为①‘②③,来加以分析评论。

无疑是正确的,这是我们的基本假定,是我们讨论的基础。 S集就是整个实数区间[0,1]

说【 S[0,1]的一个真子集】是必要条件,要明确是谁的必要条件。黄先生说这是上述结论成立的必要条件。要知道该结论是在假定「 [0,1]是可数集」下推出的。因而这个条件应该是假定「 [0,1]是可数集」的必要条件。因为【 如果[0,1]是可数集的话】,才推出【B是有必胜策略的。】,即【 S[0,1]的一个真子集】。也就是说【 S[0,1]的一个真子集】(Q)(B是有必胜策略的),是【 [0,1]是可数集】(P)的必要条件。源头在【 [0,1]是可数集】(P)

而正是这个必要条件不滿足(此必要条件(Q)①(Q)发生矛盾),才推翻了 【 [0,1]是可数集】(P)的假定。使定理【 [0,1]是不可数的】(P)得证。
推理模式是P→Q,乛推出 P

必要条件不满足,就是“B是有必胜策略的“B显然不可能获胜矛盾。正是由于此矛盾才使“B是有必胜策略的也就不再成立】。才最终推翻了 [0,1]是可数集】的假定,使定理得证

黄先生中所述【 这个证明是无效的】显然毫无根据,这里不存在任何【偷换概念】的问题,是个非常有效的证明。

 

 

 

matrix67对此方法的叙述。

最近,Matthew H. Baker找到了证明实数区间是不可数集的一种新方法。这种方法同原来的方法完全不同。新的证明方法从一个博弈游戏出发,在两个不同的数学领域间建立起了联系,非常具有启发性。
    AB两个人在实数区间[0,1]上玩一个游戏。首先,A(0,1)之间选一个数a1,然后B(a1,1)里选一个数b1;接着,A(a1,b1)之间选一个数a2,然后B(a2,b1)里选一个数b2……总之,以后AB轮流取数,选的那个数必须位于前面两次选的数之间。可以看到,序列a1, a2, a3, ...是一个单增的有界序列,因此游戏无限进行下去,数列{an}最终会收敛到某一个实数c。游戏进行前,AB约定一个[0,1]的子集S,规定如果最后cS,则A胜,否则B胜。

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    Baker发现,如果S集为可数集的话,B肯定有必胜策略。如果S集可数,那么B就可以把S集里的数排列成一个序列s1, s2, s3, ... B的目标就是让序列{an}的极限不等于S集里的任一个数。考虑B的这样一个游戏策略:当Bi次选数时,如果选si合法【文清慧注:即介于前面两次选的数Ai Bi-1之间】,那么就选它(这样序列{an}就不能收敛到它了);否则如果这一步选si不合法,那就随便选一个合法的数(此时序列{an}已经不可能收敛到si了)。这种策略就可以保证A选出的数列的极限不是S集里的任一个数。
    有趣的事情来了。假如AB约定好的S集就是整个实数区间[0,1],那么B显然不可能获胜;但如果[0,1]是可数集的话,B是有必胜策略的。于是我们就知道了,[0,1]是不可数集。




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