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zmn-0041 薛问天: 评「反对伊战」的回复

已有 584 次阅读 2019-7-17 21:42 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

zmn-0041 薛问天: 评「反对伊战」的回复
【编者按。下面是薛问天先生对《 Zmn-0040「反对伊战」:对《评反对伊战的商榷(四)》一文的回复》的评论。现发布如下,希望网友们关注并积极参与评论。】



评「反对伊战」的回复
薛问天
xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-c.jpg一.

Löwenheim –Skolem定理的结论,说成是【 这个结论的意思是说,存在一个实数集的模型(model),即存在一个集合及其上定义的运算等,满足所有关于实数集的公理,而这个模型(集合)是一个可数集。】这句话本身就是对LS定理的误读和错误的解释。

因为LS定理的结论所指的是「存在一个实数集的一阶逻辑模型」,而不是【 存在一个实数集的模型】。这个模型(集合)所满足的只是「 所有关于实数集的一阶逻辑公理」,而不是【 所有关于实数集的公理】。

「反对伊战」先生辩解说【 文中没有「一阶逻辑」这个概念,因为,要解释清楚这个概念,颇费笔墨,方舟子的《新语丝》的读者看了,恐怕要头昏。所以,请不要苛求。】而且说: 这一段话是在一阶逻辑的意义下说的,即话中的“实数集的模型(model)”指的是一阶逻辑意义下的实数集的模型(model),“实数集的公理”, 指的是“实数集的一阶公理。】

这样的辩解是苍白无力的。你说【 ”这一段话是在一阶逻辑的意义下说的】,你没说出来,别人怎么会知道。也可能你心里想的没有对LS定理的误解,但是你写出来的白纸黑字,却是明明白白地对LS定理的误解。我们的评论也只能以你发布的文章为准,不可能以你心里是怎么想的为准。

这不是【苛求】, 这是有原则区别的。如果真的像「反对伊战」先生讲的那样,  LS定理的结论是存在一个实数集的模型是可数的,那LS定理就证明了「实数集合是可数的」。可惜这只是一种误读,LS定理的结论所指的是「存在一个实数集的一阶逻辑模型」,而不是【 存在一个实数集的模型】。LS定理证明不了实数可数。

「反对伊战」先生又说【 如果薛问天先生一定要较真,说上面那一段引文不是在一阶逻辑的意义下说的,因为文中没有提到一阶逻辑,那么上面那一段引文就与LS定理无关了,这里,仍然不存在对LS定理的“误解”。】

这是什么逻辑,把同LS定理【无关】的东西,说成是LS定理的【结论】,这不叫【误解】,还有什么能称得上【误解】?

二。

把实数的一阶逻辑模型(集合)等同于实数集合是错误的。因而由存在可数的实数一阶逻辑模型推导出实数集可数的推理不能成立。

我己多次强调一阶逻辑有它的局限性。 有些实数的性质是用一阶逻辑不能表达的,它需要二阶逻辑。例如「上确界」的概念就需要二阶逻辑。 一阶定理并没有能力去完整描述及建构如自然数或实数之类的概念。这些结构的公理系统可以由二阶逻辑之类更强的逻辑来获取。因而完整的实数理论,可论证是二阶逻辑的理论模型。因而只有实数的二阶逻辑模型才等同于实数集合。不过实数的二阶逻辑模型是唯一的只有连续统势的模型而无可数的模型。所以仍然得不出实数可数的结论来。

「反对伊战」先生辩解说【 我印象中,数理逻辑学家们谈起“实数集是可数集”时,“实数集”的含义就是“一个满足实数诸(一阶)公理的模型”,没什么问题。】

作学问不能凭【印象】,我相信严肃的【数理逻辑学家】只会说「实数的一阶逻辑理论可以有可数模型」。绝不会把它说成是「实数集是可数集」这样的错误的论断。不知 「反对伊战」先生的印象从何而来。要知道【印象】靠不住,也许他说错了,他不是权威的【数理逻辑学家】。也许人家没有说错,而是你理解错了也说不淮。总之在理论界,公认的是「实数集不可数,」而「实数集是可数集」公认是错误的。

 

三。

综合上述两点,无论是由于对LS定理解释有误把实数一阶逻辑模型误解为完整的实数模型,还是由于错误地把 把实数的一阶逻辑模型(集合)等同于实数集合,总之由这些错误所得出的 「实数集是可数集」或 「实数集可以是可数集」的结论都是错误的。也就是说 「反对伊战」先生七年前的论断【 实数集可以是可数集,这个结论并不荒谬,这个结论在1950年代就有了,是数理逻辑中first order logic理论 中Downward Lowenheim–Skolem theorem 的一个特例。】是错误的。

实数集可以是可数集】就是一个荒谬的结论,从50年代的LS定理的特例,得不出这样的结论。

四。

「反对伊战」先生为了说明他的 【实数集可以是可数集】的错误论断同康托证明的「实数集是不可数集」的定理不矛盾,提出的所谓从模型内部看实数集不可数,从模型外部看实数集可数的观点也是站不住脚的。

首先,要说实数理论的真正的完整的模型,而应该指它的二阶逻辑模型。对于实数的二阶逻辑,模型是唯一的,只有势为连续统的模型。无论是从模型的内部看还是从模型的外部看, 只有论断「实数集是不可数集」是正确的成立的。而 「实数集可以是可数集」的论断是错误的。

其次,实数的一阶逻辑模型(集合)并不等同于真正的实数集合。因而不能由一阶逻辑有可数模型,就得出从一阶模型外部看 「实数集可以是可数集」 的结论。

另外,在实数一阶逻辑中证明不了实数可数,即证明不了【 存在这个集合到自然数集的一一对应】,并不等于就可证明【 不存在这个集合到自然数集的一一对应】,即可证明「实数集是不可数集」。我在上次的文章中己论证, R是可数的」和 「R是不可数的」都属于二阶逻辑,是在实数的一阶逻辑中不能表达和证明的。因而,从一阶模型内部看 「实数集是不可数集」,也是错误的。

五。

七年过去了,真相大白了。 对何先生的错误谬论,大家都有了共识。对何先生的错误,应该采取批评和揭穿其错误实质的态度,而不应该盲目地为他【辩护】。「反对伊战」先生应该认识到他当时【 为何华灿先生进行的辩护】是错误的。并且应该从当时没有站出来批评何先生的错误观点,而是错误地为他【辩护】的态度中总结经验,汲取教训。

现在的正确态度应该是从错误地【 为何华灿先生进行的辩护】中汲取教训,而不是再为这错误的【辩护】做各种各样的解释和辩白。



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