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Zmn-0037-2 薛问夭；于无声中听惊雷，从回答中析共识。评师教民先生的七答(中)

已有 3002 次阅读 2019-6-26 18:06 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0037-2 薛问夭；于无声中听惊雷，从回答中析共识。评师教民先生的七答(中)

【编者按。下面是薛问天先生对Zmn-0036-2 师教民: 答《评师教民先生在zmn--0028的回答》(中)的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。】

于无声中听惊雷，从回答中析共识。评师教民先生的七答(中)

薛问天
xuewentian2006@sina.cn

四。第四个问题。师先生所陈述的【求极限的准则】是错误的。

这里说的是在极限理论中，在除式的求极限的准则中，准则

Lim(X/Y)=(limX)/(limY)需要还是不需要有limX≠0这个条件?师先生的错误在于他不承认需要有这个条件。

要在这个问题上取得共识，必须在「什么是极限」这个问题上取得共识。
在极限理论中最基本的有两种极限，一是有限极限一种是无穷大极限。

按照有限极限的定义，设有函数y=f(x)，我们称在x→a时y→A，即x趋近于a时，y的极限等于A，是指

对任意ε>0，存在有δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-A丨<ε成立。直观地讲，就是当ⅹ无限接近于a时，f(x)无限接近于A。

从这个有限极限的定义可知，极限A必须是一个确定的实数。

关于无穷大极限，定义是这样的。设有函数y=f(x)，我们称在x→a时y→∞(读作无穷大)，即x趋近于a时，y的极限是无穷大，是指

对任意E>0，存在有δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有f(x)>E成立。直观地讲，就是当ⅹ无限接近于a时，f(x)是无穷大。

除上述基本极限外，尚有左极限、右极限、当x趋近于无穷大时的极限，以及极限是-∞等。不再赘述。

在此关于有限和无限极限的定义下，对于求除式的极限的准则，有两条定理(详见zmn-0025我的文章)。

「定理A: 两个有极限(有限极限)的变量相除，如果分母的极限不等于0，则相除的极限等于变量极限相除。」

「定理B: 两个有极限的变量相除，如果分母的极限等于0，分子的极限不等于0，则相除的极限等于无穷大。」

根据这两条定理制定的有关求除式极限的准则。

「准则A: 若limX=A，limY=B，是有限极限，而且B≠0，则

im(X/Y)=(limX)/(limY)=A/B。」

「准则B: 若limX=A(有限极限或无穷大∞)≠0，limY=B=0，则lim(X/Y)=∞。」

在这些定理和准则中要求满足的条件是非常重要的。条件不满足，则不能应用这些准则。以上是极限理论的基本定义和定理，我想师先生不会存在疑义。

下面我们来分析师先生的回答。

1) 师先生混淆了两个准则。在A≠0，而B=0的条件下，根据准则B，可以求出lim(X/Y)=∞。这没有问题。但这绝不是根椐准则A，求出

lim(X/Y)=A/B=1/0。因为B=0不满足准则A的条件，不能用准则A来求此极限，另一方面1/0并不是数，也不是∞。结果不成立。

这显然构成不了矛盾。因为极限有两种，一种是有限极限是确定的实数，一种极限称为无穷大，不是确定的实数，准则也有两个，各有各的适用条件。这里没有矛盾和错误。只有混淆了两种极限，混消了两条准则才产生了矛盾和错误。

2) 师先生说【薛问天先生终于承认0/0，∞/∞，都是「极限的类型符号」了。】

这是师先生典型的「偷换概念」，把自己的观念「强加于人」的粗暴作法。你仔细睁大眼睛看我是怎么说的。我说【这里的0/0型不是数，而只是一种求极限的类型的符号。】

我说的是「一种求极限的类型的符号」，而你故意把它改成「极限的类型符号」。尽管只有一字之差，它的含义却有天壤之别。「求极限的类型」指的是求极限以前的问题的类型，而「极限的类型」是指求出极限后的所得极限的类型。「极限的类型」只有两种，一种是有限极限，极限是确定的实数。一种是无限极限，极限是无穷大。而「求极限的类型」指的是求极限以前的问题的类型，有0/0型，∞/∞型，...等。

而这正是我强调的，0/0型的求极限的问题，是对于分子和分母的极限都是0的这种类型的除式的求极限的问题，绝不是说这种类型的除式的极限就是0/0。0/0不是数，也不是∞，在极限理论中没有以0/0为极限的定义。

3) 我当时主要是针对有限极限讲的。如果讲全点应该这么说【0/0不是数，也不是∞，怎么能是极限呢?】这样讲就完整了，还有问题吗?

以∞为极限是有定义的，但是极限理论中没有以0/0为极限的定义。

4) 关于在分母的极限limY=0的情况下，除式的极限能否写成

lim(X/Y)=(limX)/(limY)。师先生承认【一般极限理论的书虽然都不这样写，】可却说【但是不这样写并不等于设有这样写过。事实上极限理论的书的编者，在草稿上这样写过并验证是0/0型极限后，才去把求0/0型极限的方法直接入书中。】

师先生都不想一想，为什么一般的极限理论的书【都不这样写。】这是因为数学是逻辑严密的科学，推理要有根据。只有满足定理的条件limY≠0时，才能写出 lim(X/Y)=(limX)/(limY)。在分母的极限等于0时这样写就是错误的。要知道等号不是随便写的，写出两个式子相等必须要有充分的根据。

至于有人在草稿上这么乱写，那正是因为在草稿上这样写是写错了，才不敢正式写入书中。其实只要算出limX=0，limY=0，就可判断出求lim(X/Y)的问题类型是0/0型。而不必错误地写成 lim(X/Y)=(limX)/(limY)=0/0。因为这里的等式并不成立。

所以说，师先生允许在不满足limY≠0的条件下写出lim(X/Y)=(limX)/(limY)。违反了数学逻弭的严密性。当他写出lim((tanx-x)/(x-sinx))=(lim(tanx-x))/(lim(x-sinx))时，没有任何根据，不满足相应的求极限准则条件，推演是错误的。

显然，在此錯误推演下得出的极跟【既等于0/0(苻号)，又等于2】的结论也是错误的。当然我说的是【等于2】没有错，只是【等于0/0(苻号)】是错的。这里的错误有两点，一点是推演的逻辑错误，不滿足准则条件就划等号了。二是概念的错误，在极限理论中没有极限等于0/0(符号)这个概念和定义。

在第四个问题上，可以说几乎达成共识了。如果师先生坚持这样的原则。只允许在草稿上写 lim(X/Y)=(limX)/(limY)=0/0。而在正式的出版物上不允许这样写。我看也可算是达成共识了。因为人们并不关心你在草稿上怎么写的。只看你正式出版的作品。

五。第五个问题。师先生对「微分」概念的含义的理解是错误的。

师教民先生在zmn-023(0023)的文章中说:【增量Δx可为任意大、充分大、足夠大。而微分dx是分得微小之意，所以“微分与增量”也和“狗与人”是完全不同的两个概念一样是完全不同的两个概念，因此，把微分重新定义为增量，一定会引起矛盾。......】

师先生这种对增量与微分的理解【增量Δx可为任意大、充分大、足夠大。而微分dx是分得微小之意，】究竟是不是错误的。我想己经有了一定的共识。
在上述论句中很明显师先生是把【增量Δx可为任意大、充分大、足夠大。】【微分dx是分得微小之意，】看作是之所以 “微分与增量” 是完全不同的两个概念的特征属性。现在师先生己经认识到这些并不是它们的特征属性，顶多只是它们【可以有】的一个属性。这个【增量Δx可为任意大、充分大、足夠大】的用语并不十分确切，而正确的说法是Δx是个变量，它可以取其定义域中的任何数值。另外说【微分dx是分得微小之意，】也是错误的。要知道，微分dx和增量Δx同样都是变量，既可以趋近于0，也可任意大，只要不超出它的定义域的范围，都是允许的。

另外要知道，完全不同的概念并不能断定这两个概念之间不能有某种联系和共同之处。就是师先生常掛在嘴边的人和狗也不是一点关系没有。例如人和狗都属哺乳动物，都有鼻子、眼睛等。微分和增量虽然是完全不同的概念，但是它们有密切的关系，自变量的微分dx等于自变量的增量Δx，函数的微分dy等于函数增量Δy的线性主部。这其中没有任何矛盾，说什么【把微分重新定义为增量，一定会引起矛盾。】没有任何根据，矛盾在哪里? 何况这里不存在【重新定义】，而是把自变量的微分dx直接定义为等于自变量的增量Δx，把函数的微分dy直接定义为等于函数增量Δy的线性主部Δy=dy+o(Δx)。

现在来看师先生的回答。

1) 我们谈的是第二代微积分中的概念，明确就好。

2) 关于我说的【根据概念「名称的字面解释」来把握它的含义。这是学数学的大忌，】我原以为师先生会很快认识到这点，没想到师先生还在为此纠缠。

这个道理其实很简单，是很容易理解的。每个数学概念都有它的名称和它的严格的数学定义。当你学习和掌握这个数学概念的确切含义时，你根据什么？你是去分析「名称的字面解释」还是去分析它的数学定义。当然是后者而不是名称。要知道名称只是这个概念的名字而己。起名起得再好再合适，也不可能涵盖这个概念的全部确切的含义。顶多对你的直观理解起点辅助作用。要把握一个数学概念的确切含义，只能根据它的定义。

师先生挖苦心思去从「自然」这两个字中去找寻「自然数」这个概念的含义，去从「实」这个字中去寻找「实数」这个概念的含义。我奉劝师先生，不要再枉费心机了。从「自然」和「实」这两个词的字面语义差别中，你是不可能找出自然数同实数的真正差别来的，你根据什么推论出自然数的的离散性和实数的稠密性与连续性等特性。难道这是「自然」和「实」的语义差别吗?要真正掌握这两个数系的区别只能根据它们各自的数学定义。

很多错误都是由于不严格按照定义去推论，而是按名称的字面含义的错误理解来断定而引起的，所以说这是学数学的大忌。希望师先生通过实践慢慢地理解这个道理。

师先生在这里讲了一长段话，表明他对「微分dx和增量Δx都是变量，既可以无限趋近于0，也可任意在不超出它的定义域的范围内取值。」这个特性不理解。在求导数时，令Δx趋近于0，当Δx→0时Δy/Δx的极限定义为导数即微商dy/dx。这只是说在求极限时，「当Δx→0时」Δx,Δy这些变量才趋近于0。而平时，在不求极限时，这就是普通的变量，可以取它定义域中的任意值。而师先生不理解这点，说什么【又让己经无限趋近于0，无限变小，无限分微的增量Δy,Δx重新回到没有无限趋近于0，......。】还乱发议论说这是什么叶公好龙。其实是他不了解变量的特性，变量即可以无限趋近于0，也可取定义域中的任意值。重要的是分清在公式中那些变量，在那些清况下是无限趋近于0，那些变量可以取任意值。

倒如求导数

lim_{｛Δx→0｝}(Δy/Δx)=(dy/dx)=(Δý/Δx)。

这里一共有三项，笫一项是求极限，明确说明是当Δx→0，因而式中的Δy,Δx都是无限趋近于0的。但是第二项和第三项是求得的极限，是确定的数，它等千微分商dy/dx和切线的增量比(增量比即函数的增量同自变量增量之比，下同。)于是这里的变量dy,dx,Δý,Δx就不是无限趋近于0的，而是可以取其定义域中任意值了。这很好理解，因为dy是Δx的线性函数dy=AΔx，dx=Δx，所以Δx无论取任何值，dy/dx这个比值A(商)都是柑等的。切线是直线，无论Δx取任何值，切线的斜率Δý/Δx都相等。该无限趋近于0，就趋近于0，该取任意值就取任意值，这就是变量的特性，一点矛盾都没有。

很可能是由于师先生抱有【微分dx是分得微小之意】的这个错误的成见，这个对微分的错误理解，使他理解不了微分dy,dx实际上就是变量。可以趋近于0，也可以取任意值。只要师先生纠正了这个错误成见，我们即可取得共识。

3) 师先生在这段回答中，在一定程度上纠正了他在zmn-023中说的那段话。承认【可为任意大、充分大。足夠大，】只是增量Δx的一个特点。承认【经过了无限趋近于0，无限变小，无限分微的过程。】只是微分的一个特点。这已经进了一步。如果师先生还能认识到【可为任意大、充分大。足夠大，】也是微分的特点，【经过了无限趋近于0，无限变小，无限分微的过程。】也是增量的一个特点，我们就可以基本上达到共识。实际上微分和增量都是变量，它们既可以无限趋近于0，又可以从定义域中取任意值。这些都不是微分和增量的「特征属性」(注解，某概念的特征属性是指能区别于其它概念的该概念的独有的属性。)

4) 我高兴地看到师先生认为我对增量和微分的理解没有错误。也就是说在第五个问题上我们已经基本上达到共识。

只是他说我在对微分的理解上【尚有不足】。我们来看师先生是怎么说的。
师先生说:【微分商dy/dx是增量商Δy/Δx中的Δx,Δy都经历了无限趋近于0，无限变小，无限分微的过程后的产物，薛问天先生没有理解到微分的这一特点。】

师先生这次你可听清楚了，在求导过程中【经历了无限趋近于0、无限变小，无限分微过程的】是增量Δx,Δy，并不是微分变量dy,dx，为什么要把它理鲜为徵分的特点。更何况作为所求出的极限的的微商dy/dx是个确定的数。微商中的微分变量dy和dx并不无限趋近于0，而是dx=Δx可以取任意值，dy=AΔx可以取其相应的值，而且无论Δx取什么值，相应的微分值的商dy/dx都保持不变。
显然【经历了无限趋近于0、无限变小，无限分微过程】並不是徽分的特征属性，没有必要补充这个「不足」。

师先生说【概念名称的字面涵义不是主观臆想】，其实我看师先生对微分的理解【微分dx是分得微小之意】，就是典型的主观臆想。微分能这样理解吗？

5) 如何理解函数的「徵分」dy，就要从函数微分的两个特性入手。第一，它是Δx的线性函数: dy=AΔx，第二，它是函数增量的主部: Δy=dy+o(Δx)。师先生对这样的理解竟然说: 【薛问天先生就把函数的微分理解成这种水平！?这还用我反驳吗?】我真不知道师先生准备怎样反驳这种对微分的正确理解。听听看。

师先生在这里说我说得【非常正确。「微分」的确是变量，而不是什么过程，更不是「无限趋近于0，无限变小，无分微的过程」。】对这点我很欣慰。只是对师先生的【但是】后的话我不能苟同。

师先生认为按照导数的定义，「徵分」是增量经历了「无限趋近于0，无限变小，无分微的过程」【的结果。】

事实並不是这样，增量比通过求极限的过程，所求出极限是导数。而不是微分。微分并不是增量或增量比的极限。只是证明了该极限(导数)等于两个微分的「商」而己。因而微分并不是求极限过程的「结果」，它有它独立的定义。导数等于微分商，只是微分的「商」的一个属性。不是「微分」的由来。

6）既然师先生在1)中己同意我们讨论的是第二代微积中的微分概念。第二代微积分中微分的定义只有一个，所以不存在【重复定义】的问题。

y‘= lim_{｛Δx→0｝}(Δy/Δx)这是导数的定义。

但是y‘=dy/dx=Δý/Δx这不是微分的定义，而是证明得出的性质和定理。因而不存在【重复定义】的问题。

师先生说: 【显然在数值上「这个式子没有错」】这其实就己经达到共识了。我们的极限理论就是要证明它们在数值上相等。承认它们相等自然就己足夠。
至于从概念上师先生没想通，慢慢想就是了。

为了帮助师先生想通此中道理，我们还可作如下解释。

确实，在求极限时要求Δx→0，因而要求此时，Δy,Δ无限趋近于0。但等式其它项中的dy,dx,Δý,Δx并不要求是无限趋近于0，可以取不同的普通数值，无论Δx取任何值，该式都成立。这是严格证明的事实，并不存在矛盾，有什么可想不通的。想不通说明你的主观臆想不符合事实，应该改变你的主观臆想，而不是去否定己严格证明的事实。

7) 师先生说【把Δy,Δx都经历过无限分微的Δy/Δx,，叫作微分商，记作dy/dx是合情合理的，】

这是师先生对极限概念的严重误读。在极限理论中并不是把【经历了无限分微的Δy/Δx】称为微分商，而是证明了当Δx→0时Δy/Δx的极限(导数)等于微分商，极限是确定的数(实数)，证明了该数等于微分变量dy同微分变量dx相除之商。这里的dy,dx并不要求是无限趋近于0，无论Δx取任何值，dy,dx都有其相应的值，但是它们的商都相等，都等于该极限(导数)。这不是你主观认为它合理不合理的问题，这是严格证明了的一个等式，一条定理。

另外，导数等于切线斜率(即切线增量比)，y‘=Δý/Δx同样不是你主观认为它合理不合理的问题，这是严格证明了的一个等式，一条定理。

我说【师先生根本就没有学懂导数】，指的就是接着说的他没有明白【导数在几何上就是切线的斜率】，而这里他质疑的Δý/Δx就是切线斜率。怎么是【空喊口号】?我当然是有所指，可惜师先生没有完全理解。

切线的增量比，其中增量比当然指的就是函数增量同自变量增量之比，这还需要说明吗?师先生说什么【没有与切线增量相比的对象】。在师先生引用我的文章段落中(见6)开始的引文)，明确说明【其中(Δý/Δx)为切线增量比，】而师先生还把「切线增量比」用红色标出。怎么这里就没有了相比的对象?这纯属师先生的「明知故问」「无事生非」！

我在上次己明确说过: 我们之所以要引入用增量比的极限求导，就是为了求切线的斜率。因为我们知道导数就是切线斜率，导数就是微分商:y‘=Δý/Δx =dy/dx，而且其中Δý=dy，Δx=dx。

如果不用极限，对任意函数可以求出切线斜率Δý/Δx,自然微积分系统就可以不用极限了。可惜你做不到这点，没有极限你不仅求不出切线斜率，你甚至连切线是什么都定义不出来(在极限理论中切线定义为割线的极限。)这就是我说的「可笑」之处。

现在这里不是争论你的「理论」的场合。等你的「理论」正式提出来再评论不迟。还是集中讨论二代微积分有无矛盾的问题。

8) 下面我们来谈师先生的所谓的Δx无限趋近于0，同Δx取普通值不趋近于0的矛盾问题。

我们先从第一代微积分求导方法有矛盾谈起。那时认为导数就是增量比Δy/Δx在Δx=0点的值。为求y=x^2的导数，分两步。

第一步求Δy/Δx。知Δy/Δx=(2xΔx+ΔxΔx)/Δx=2x+Δx。

第二步，在求出的Δy/Δx=2x+Δx中，令Δx=0，从而得出导数等于2x。

显然这里存在矛盾(貝克莱悖论)。在第一步等式的演算推导中要求Δx≠0，而第二步又令Δx=0。发生了Δx既等于0又不等于0的矛盾。

这给一些人一种错觉，以为在等式中，似乎只要发现变量取值不相同，就一定产生矛盾。其实，事实并不如此。上述之所以产生矛盾是由于变量取不同值影响了等式的推导，Δx=0使第一步的等式不成立，才产生了矛盾。在有些情况下，如果变量取值不同，并没有发生推理的冲实，不影响等式的成立，可严格证明等式成立，则并不产生矛盾。例如，我们知道(-1)^2=1^2=1。也就有如下式子:

(x^2|_x=-1)= (x^2|_x=1)。......(A)

请问你能认为(A)式有矛盾吗? 那可是等式左边x=-1，而等式右边x=1，你不会说这是既x=-1又x=1而产生矛盾吧I这个变量取值的不同并不影响等式的成立。而是可以严格证明这个等式的成立。

这个例子说明等式中变量取不同的值並不能说明它一定存在矛盾，关键看你能否证明这个等式的成立。如你能证明等式成立就没有矛盾，如果证明不了，等式自然不能成立。

再举一个例子，连续函数的极限值等于函数值。即如果函数f是连续函数，则

lim_｛x→a｝(f(x))=f(x)|_x=a。......(B)

尽管在(B)式中左边求极限要求x趋近于a，而x不等于a，而右边要求x=a，你能说此式产生矛盾吗?说产生了x≠a同x=a的矛盾吗？显然不能。因为f是连续函数，极限值等于函数值。这个等式是可以证明成立的，因而没有矛盾。

有了上面的分析我们来看(Ⅲ)式:

y’=Lim_[Δx→0](Δy/Δx)=(Δý/Δx)=dy/dx，......(Ⅲ)。

尽管在上式各项中Δx等变量的取值不同，如在第二项中求极限要求Δx无限趋近于0，第三、四项中的Δx可以取任意值，不必无限趋近于0。根据前面的分析，「等式中变量取不同的值並不能说明它一定存在矛盾，关键看你能否证明这个等式的成立。如你能证明等式成立就没有矛盾。」所以不能得出【切线增量Δý，Δx，与Δx→0发生了矛盾。】关键看能否证明等式的成立。而师先生对(Ⅲ)式的相等并无异义，所以说认为(Ⅲ)式产生矛盾的论断不能成立。

师先生说【虽然数量相等，但是概念不同，让不同概念的微分商同(切线的)增量商去相等，就会像把人等于狗那样出现矛盾。】

当然这是不同的概念，导数，增量比的极限，微分商(dy/dx)，切线斜率(Δý/ΔX)各有各的定义，但是微积分理论把这些不同的概念联系起来，指出它们之间的关系，证明它们全部是相等的，这正是理论的魅力所在。哪里有什么矛盾。正是这种理论符合实际，才有广泛的应用，才把它作为理工科高等数学的必修内容。
至于谈到人和狗，尽管是不同的概念，也不是一点关系没有。按照现代生物学的科学理论，人和狗同属哺乳动物，它们的器官，如呼吸系统。消化系统、循环系统、神经系统都有很多相同之处。研究这些不同动物之间的共同之处的生物学理论，不仅不是什么矛盾，而且对提高人类的认识和文明水平，作出了重要的贡献。

这次讨论的第四和第五问题，涉及的是分析理论中的两个最基本的概念：极限和微分。这两个问题可以说在基本上已经得到共识。

关于极限，师先生已经认识到正式的书本上不能那么写，只能写在草稿上，如果师先生认识到草稿上那么写也是错的，我们就达到共识了。

关于微分，他已经认可了我的理解，只是想做点补足，如果他认识到这个补充理解是错误的，根本不需要这种补充时，我们也就得到了共识。

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