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Zmn-0035 薛问夭；评李鸿仪先生的三篇质疑文章

已有 2748 次阅读 2019-6-6 11:17 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0035 薛问夭；评李鸿仪先生的三篇质疑文章

【编者按。下面是薛问天先生对zmn-0034李鸿仪先生的有关对角线证明的三篇质疑文章的评论，现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。】

评李鸿仪先生的三篇质疑文章

薛问天
xuewentian2006@sina.cn

薛问天-c.jpg (一)

李的第一篇文章不难批驳。李提出了一个概念叫【到达】，认为对角线证明中隐含了一个假定「对角线【到达】了所有的实数，」因为只有在此假定下，对角线的证法才成立。而李证明了一个定理:【定理3 无限延长的对角线不能到达（1）式所列出的所有实数。】于是李得出结论: 【该隐含的假定并不成立，因此,..., 反证失败。】

其实李对他所引入的概念【到达】并未解释清楚。只要解释清楚问题就会迎刃而解。我们来看李文给出的定义: 【定义1 称小数位数等于m的对角线穿越了x1，x2,…,xm-1后到达了实数xm，简称到达了xm。】

什么叫对角线【到达】某实数。按此定义，如果存在有自然数m，使该实数等于序列中的ⅹm，就称对角线到达该实数。这就是李先生给出的【到达】的定义。由此到达的定义可以很容易证明如下定理:

定理。对角线可以到达(1)式所列所有实数。

证明几乎是自明的。因为 (1)式所列的所有实数，每个实数都有一个相应的m，使xm等于该实数。因而【小数位数等于m的对角线穿越了x1，x2,…,xm-1后到达了实数xm。】

因而李文所提出的并不是什么【隐含的假定】，而是一条显而易见可证的定理。那么李先生所证的与此结论相悖的定理3错在哪里呢? 定理3 说【无限延长的对角线不能到达（1）式所列出的所有实数。】

我们来仔细分析定理3的「证明」。李先生断定对角线达到第1位小数时，至少有10-1个实数是只有1位的对角线所不能到达的，...。对角线有m位小数时时，至少有m'=10m-m个实数是i=m的对角线所不能到达的。......。由此推到无穷。由于m→∞时，(m‘/m)→∞。就得出无限延长的对角线不能到达（1）式所列出的所有实数。

这样的推论显然是过于武断和毫无道理的。因为对角线有m位小数时所不能到达的实数，并不能断定以后不能到达。而且恰恰相反，只要它们是 [0，1)内的实数，按假定它就一定包含的在(1)式内，就一定有对应的标号，就一定可到达，而不是对角线永远不可到达的实数。

当m→∞时「尚未到达数同己证到达的数之比」m’/m→∞，又能说明什么问题呢? 凡是尚未到达的实数，只要它是 [0，1)内的实数，按假定它就一定包含的在此序列(1)式内，与某自然数标号相对应，就一定在后面的某时刻(同此自然数标号相对应)可到达，而不会是对角线永远不可到达的实数。这点在证明开始的假定，「(1)式中列出了 [0，1)内的全部实数。」己经说得相当清楚。

因此文章一对对角线证法的质疑不成立。文章二没有新的内容只是文章一的缩写。现在来评论第三篇文章。

(二)

李鸿仪先生在文章三中给出了一种试图【将实数一一列出的方法】。该方法的基本思路是这样的。在区间[0,1)内，通过逐步十等分区间的方法将区间内的十进制实数釆用随机抽取的方法逐一列出。先逐一在十等分的区间中抽取，再把每个区间分成十等分，逐一在一百等分的区间中抽取，再把每个区间分成十等分，...这样无限地逐一抽取下去，...。李先生认为用这种方法就可把 [0,1)区间内的全部实数一一列出。

这样的列出方法，看起来在宏观上很均匀，但这不是证明的要求。按照集合可数的定义，要证明你提出的方法是在自然数集N同[0，1)区间所有实数间建立一个「无重复和无遗漏的双射」。

我们现在来考查一下李先生提出的方法，看它是否满足这两个条件。

关于「无重复」，李先生说他可以把重复的实数去掉，保证无重复。尽管没具体说如何判断重复，这容易补上。这点我们估且认可。

关于「无遗漏」。李先生说的几点理由都不足以保证它的方法能列出区间中所有实数。李先主的方法是随机抽取。请问随机抽取怎么能保证全部实数都能被抽取到，而无一遗漏?

李先生说:【由于每个区间是随机取数的，故任一区间内每个实数被列出的概率相同，即任一区间内不存在任何一个实数是上述方法所不可能列出的。】

把这几句话作为理由，逻辑有些不通。概率相同只是说明各点被选中的机会均等，怎么能保证每个点都能被选中?不存在【不可能列出】的实数，只是说明每个实数「都有可能」被选上。要知道这只是一种「可能」。而我们要证明的不是「可能」，而是每个实数「必须」「一定」「无一遗漏」地被全部选上。要知道被选的概率相同，但选中的概率很低每次都是在无穷多个中只选一个。怎么保证全部被选中是很大的问题。

李先生接着说【另外，虽然每个区间一次只随机列出一个实数，但每一个区间都会被更小的区间无限次地反复覆盖，所以, 每个区间最后都会被列出无限个实数。这样，只要这个过程一直继续下去,任一区间内的任何一个实数早晚都会被列出来。】

这是什么逻辑。由于在先生的方法中【每个区间最后都会被列出无限个实数。每个区间最后都会被列出无限个实数。】而任一区间中刚好也有无限个实数，所以【这样，只要这个过程一直继续下去,任一区间内的任何一个实数早晚都会被列出来。】

请问李先生，你知道不知道，对无穷集有这样的情况。两个无穷集，每个都含有无限个元素，但其中一个却是另外一个的真子集。如果你知道有这个情况，那么，你怎么保证每个区间所列出的那无限多个实数就是区间中所有的那无限多个实数，而不是它的真子集呢?

所以说李先生的列荦方法保证不了区间中的所有实数一个不漏地全部能被列出。也就是说没有能证明这是双射。因而李先生的文章未能推翻康托尔的实数不可数的理论。

另外，文章三还提到一些未经严格叙述和论证的错误论断。如错误地认为实数已经在实数轴上用几何方式被一一列出。认为康托定理其实不过是将有限集合的公式推广到n趋于无限的无限集而已。错误地认为在有限清况下成立的不等式在无限情况下也成立。甚至错误地认为一一对应方法推广至无限集，其可靠性并未得到过严格的证明，......，因此是不可靠的等等。这些错误论调由于李先生在文中并未展开严格叙述和论证，所以也不在此一一评论。
(全文完)

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