Zmn-0033薛问天: 答林益的五个问题。

【编者按：薛问天先生撰文回答了林益先生在Zmn-0032提出的问题。现将该文发布如下。请大家关注并积极参与评论。】

 
答林益的五个问题。

薛问天
xuewentian2006@sina.cn

不要客气。不敢说【请教】、【赐教】，我们一起共同学习，讨论和切磋。

一、无穷小数，【 有无穷位吗？】

关键看你的【无穷位】指的是什么。 无穷小数有「无穷个位」，但没有 「笫无穷位」。

有穷小数有「有穷个位」，自然，无穷小就有「无穷个位」。也就是说，每个有穷小数的所有的「位」组成的集合是有穷集，而每个无穷小数的「位」的集合是无穷集。

但是要特别注意，每个有穷小数都有它的「最低位」，但是任何无穷小数却没有它的「最低位」，或「笫无穷位」。

由于任何无穷小数的「位」的集合同自然数集合一一对应，因而无穷小数的位集的某些性质同自然数的性质是一致的。例如，每个自然数都是有穷数，即可以由0经有穷次的+1运算而得到，但是所有自然数放在一起组成的集合却是无穷集，不可能在有穷步内生成。自然数中没有「最大数」，也没有「无穷数」。无穷小数的位集也类似 ，所有的位都是有穷位，但位集是无穷集。没有 「最低位」，或「笫无穷位」。

二、康托尔的序数ω是否是有限数，是否是无穷的终点?

康托尔引入了两个数系，一个数系叫「序数」，一个叫「基数」。它们都是「自然数」数系的扩展。也就是说，自然数集是序数集的真子集，叫作「有穷序数」。自然数集也是基数集的真子集，叫作「有穷基数」。引入序数是用来描写良序集的「序型」的，引入基数是用来描写集合的「势(基数)」的。

前面说过，自然数是序数中的有穷序数，描写的是有穷集的序型。ω是序数中引入的第一个描写无穷集序型(即自然数集的序型)的序数.，称为超限序数(或超穷序数)。因而ω不是「有限数」，不是「有穷序数」。按照序数的定义，序数的生成法则，ω不是由空集经有穷次的「后继运算」生成的，而是由所有自然数集作为序数的集合，用「集合并」运算而生成的。

按照序数的大小关系，ω大于所有的自然数，但ω并不是最大的自然数，因而它并不是自然数这个无穷集的终点。另外，我们知道 自然数这个无穷集根本不存在终点。也就是说它们的序关系是这样的:

0,1,2,3,...,n,....,ω,......。

自然数没有终点，没有最大数，但ω大于所有的自然数。注意ω没有前趋，即不存在这样的序数，它的后继是ω。序数的这个特点要特别关注，有很多序数设有前趋。不要误以为把序数排成一排，就一定是一个紧跟着一个。ω前面的「...」代表着无穷个没有终点的序数。

我们知道序数是用有序集合(确切地说是用良序集合)定义的。例如ω=｛0,1,2,3,...,n,...｝,显然ω不是这个集合的最大数，而且此集合根本就没有最大数。

但是序数 ω+1=｛0,1,2,3,...,n,...，ω｝,可以看出ω是这个集合的最大数。当然你也可以把它看作是这个无穷集合的「终点」。

以上例子说明有些(有序的)无穷集没有最大数，如自然数集无最大数，但是并不等于说所有的(有序)无穷隼都没有最大数，例如集合ω+1就有最大数。因而你引用的【 无穷不能有终点，有终点就不是无穷，】就看其中的无穷指的是什么，如果其中「无穷」说的是自然数这个无穷集，此话没错。但是如果指的是一般的无穷集，这句话就不一定正确。

三、林益先生问道【 既然不可数，就是不能数，无法数，怎么还有一个所谓“基数”来表示区间[0,1]里的实数的个数的2^ℵ0呢？】

从这段问话可以看出，林益先生还没有掌握学习数学的一个最基本的方法。那就是学习和把握一个数学概念，必须根据这个数学概念的定义，而绝对不是对这个数学概念的名称，从字面上说文解字，作各种主观的胡乱臆想和猜测。

在数学上，要了解一个集合「不可数」的意思，绝不能根据「不可数」这三个字的字面含义，胡乱作语义学的解释和猜想。什么【 既然不可数，就是不能数，无法数。】这完全不着边，不靠谱。我们学的是「数学」不是「语文」。学习数学概念就要跟据它的严格的数学定义。不能把「定义」以外的不相干的内容强加给该数学概念。切记切记！这是学数学的最基本的方法。懂得这点才能说你数学入了门，达到了一定的专业水平，否则还只能是数学的旁观者，是看热闹的门外汉。

什么是「不可数」，这是「可数」的否定。「可数」这个数学概念有严格的数学定义。
【定义】一个无穷集合A称为是可数的，如果A能同自然数集N建立一一对应关系。

显然 一个无穷集合A称为是不可数的，就是指A不能同自然数集N建立一一对应关系。也即A同N之间的任何映射都不可能是不重复无遗漏的双射。这里面没有任何【 不能数，无法数】的意思。

在基数理论中把自然数集N，以及能同N建立一一对应的可数无穷集的势称为Aleph_0（ℵ0），把能同单位区间实数集(亦即自然数集的幂集-所有子集构成的集合)。建立一一对应的不可数无穷集的势称为Aleph_1（ℵ1）。这里没有任何矛盾。

顺便对你作点纠正。在数学上「可列」同「可数」是一个概念，有人把可数称为可列。不存在【自然数序列是可列的是不可数的】这样的错误的命题。自然数集合当然是可数的。

关于数的不同进制表示之间的转化，它的依据是「数值相等」以及不同进制表示下的「数值表达式」。

例如对于整数，a_n...a₀(十进制)=b_m...b₀(二进制)的公式是:

a_n10^n+...+a₀10^0  =  b_m2^m+...+b₀2^0。

而对于无穷小数，0.a₁a₂...(十进制)=0.b₁b₂...(二进制)公式是:
a₁10^(-1)+a₂10^(-2)+...  =  b₁2^(-1)+b₂2^(-2)+...  。

区别在于整数的数值是有穷项的和，无穷小数的数值是无穷项的和。而无穷项求和要用「部分和」序列的极限来定义。这同【单位】没有关系。

四、关于半园弧上的点同直线上的点的一一对应，

我同你的观点一致，在几何图形上园弧的两个端点没有直线上的对应点。

不过有人把数轴增广、使增广数轴包括+∞和-∞。人为地(不是几何图形上)让园弧的端点同+∞和-∞对应，也没有什么不妥。

五。林益先生讲的是「实数的无穷小数的表示不唯一」的问题。

就是说同一个实数，可以用不同的无穷小数来表云。例如实数1/2可以表示为无穷小数0..5000.....。也可以表示为0.4999...。

确实有这个问题，实数的无穷小数表示不唯一，但仅限于「有穷小数」。所有的有穷小数(0除外)都有两种不同表示，但有穷小数以外的所有有理数和无理数的表示都是唯一的。

需要说明的是这个不唯一的特性，只要知道就行了，并无大碍，并不影响理论的一致性和协调性。例如实数 0.a₁a₂...。的求值公式是:

a₁10^(-1)+a₂10^(-2)+...  。就是一致的。

0.5000...。同0.4999...。代入此公式求出的值是相等的。要知道无穷项相加的和是定义为「部分和」序列的极限的。也就是说部分和序列0,5，0,50，0.500,，...。同0.49，0.499，0.4999，...。的极限是相等的。部分和序列的极限相等表明它们表示的数值相同，即表示的是同一个实数。

（全文完）

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