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Zmn-0033薛问天: 答林益的五个问题。

已有 586 次阅读 2019-6-2 11:22 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0033薛问天: 答林益的五个问题。

【编者按:薛问天先生撰文回答林益先生在Zmn-0032提出的问题。现将该文发布如下。请大家关注并积极参与评论。】



 
答林益的五个问题。

薛问天
xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-c.jpg不要客气。不敢说【请教】、【赐教】,我们一起共同学习,讨论和切磋。

 

一、无穷小数,【 有无穷位吗?】

关键看你的【无穷位】指的是什么。 无穷小数有「无穷个位」,但没有 「笫无穷位」。

有穷小数有「有穷个位」,自然,无穷小就有「无穷个位」。也就是说,每个有穷小数的所有的「位」组成的集合是有穷集,而每个无穷小数的「位」的集合是无穷集。

但是要特别注意,每个有穷小数都有它的「最低位」,但是任何无穷小数却没有它的「最低位」,或「笫无穷位」。

由于任何无穷小数的「位」的集合同自然数集合一一对应,因而无穷小数的位集的某些性质同自然数的性质是一致的。例如,每个自然数都是有穷数,即可以由0经有穷次的+1运算而得到,但是所有自然数放在一起组成的集合却是无穷集不可能在有穷步内生成。自然数中没有「最大数」,也没有「无穷数」。无穷小数的位集也类似 ,所有的位都是有穷位,但位集是无穷集。没有 「最低位」,或「笫无穷位」。


二、康托尔的序数ω是否是有限数,是否是无穷的终点?

康托尔引入了两个数系,一个数系叫「序数」,一个叫「基数」。它们都是「自然数」数系的扩展。也就是说,自然数集是序数集的真子集,叫作「有穷序数」。自然数集也是基数集的真子集,叫作「有穷基数」。引入序数是用来描写良序集的「序型」的,引入基数是用来描写集合的「势(基数)」的。

前面说过,自然数是序数中的有穷序数,描写的是有穷集的序型。ω是序数中引入的第一个描写无穷集序型(即自然数集的序型)的序数.,称为超限序数(或超穷序数)。因而ω不是「有限数」,不是「有穷序数」。按照序数的定义,序数的生成法则,ω不是由空集经有穷次的「后继运算」生成的,而是由所有自然数集作为序数的集合,用「集合并」运算而生成的。

按照序数的大小关系,ω大于所有的自然数,但ω并不是最大的自然数,因而它并不是自然数这个无穷集的终点。另外,我们知道 自然数这个无穷集根本不存在终点。也就是说它们的序关系是这样的:

0,1,2,3,...,n,....,ω,......。

自然数没有终点,没有最大数,但ω大于所有的自然数。注意ω没有前趋,即不存在这样的序数,它的后继是ω。序数的这个特点要特别关注,有很多序数设有前趋。不要误以为把序数排成一排,就一定是一个紧跟着一个。ω前面的「...」代表着无穷个没终点的序数。

我们知道序数是用有序集合(确切地说是用良序集合)定义的。例如ω={0,1,2,3,...,n,...},显然ω不是这个集合的最大数,而且此集合根本就没有最大数。

但是序数 ω+1={0,1,2,3,...,n,...,ω},可以看出ω是这个集合的最大数。当然你也可以把它看作是这个无穷集合的「终点」。

以上例子说明有些(有序的)无穷集没有最大数,如自然数集无最大数,但是并不等于说所有的(有序)无穷隼都没有最大数,例如集合ω+1就有最大数。因而你引用的【 无穷不能有终点,有终点就不是无穷,】就看其中的无穷指的是什么,如果其中「无穷」说的是自然数这个无穷集,此话没错。但是如果指的是一般的无穷集,这句话就不一定正确。


三、林益先生问道【 既然不可数,就是不能数,无法数,怎么还有一个所谓“基数”来表示区间[0,1]里的实数的个数的2^0呢?】

从这段问话可以看出,林益先生还没有掌握学习数学的一个最基本的方法。那就是学习和把握一个数学概念,必须根据这个数学概念的定义,而绝对不是对这个数学概念的名称,从字面上说文解字,作各种主观的胡乱臆想和猜测。

在数学上,要了解一个集合「不可数」的意思,绝不能根据「不可数」这三个字的字面含义,胡乱作语义学的解释和猜想。什么【 既然不可数,就是不能数,无法数。】这完全不着边,不靠谱。我们学的是「数学」不是「语文」。学习数学概念就要跟据它的严格的数学定义。不能把「定义」以外的不相干的内容强加给该数学概念。切记切记!这是学数学的最基本的方法。懂得这点才能说你数学入了门,达到了一定的专业水平,否则还只能是数学的旁观者,是看热闹的门外汉。

什么是「不可数」,这是「可数」的否定。「可数」这个数学概念有严格的数学定义。
【定义】一个无穷集合A称为是可数的,如果A能同自然数集N建立一一对应关系。

显然 一个无穷集合A称为是不可数的,就是指A不能同自然数集N建立一一对应关系。也即A同N之间的任何映射都不可能是不重复无遗漏的双射。这里面没有任何【 不能数,无法数】的意思。

在基数理论中把自然数集N,以及能同N建立一一对应的可数无穷集的势称为Aleph_0(0),把能同单位区间实数集(亦即自然数集的幂集-所有子集构成的集合)。建立一一对应的不可数无穷集的势称为Aleph_1(1)。这里没有任何矛盾。

顺便对你作点纠正。在数学上「可列」同「可数」是一个概念,有人把可数称为可列。不存在【自然数序列是可列的是不可数的】这样的错误的命题。自然数集合当然是可数的。

关于数的不同进制表示之间的转化,它的依据是「数值相等」以及不同进制表示下的「数值表达式」。

例如对于整数,an...a0(十进制)=bm...b0(二进制)的公式是:

an10^n+...+a010^0  =  bm2^m+...+b02^0。

而对于无穷小数,0.a1a2...(十进制)=0.b1b2...(二进制)公式是:
a110^(-1)+a210^(-2)+...  =  b12^(-1)+b22^(-2)+...  。

区别在于整数的数值是有穷项的和,无穷小数的数值是无穷项的和。而无穷项求和要用「部分和」序列的极限来定义。这同【单位】没有关系。


四、关于半园弧上的点同直线上的点的一一对应,

我同你的观点一致,在几何图形上园弧的两个端点没有直线上的对应点。

不过有人把数轴增广、使增广数轴包括+∞和-∞。人为地(不是几何图形上)让园弧的端点同+∞和-∞对应,也没有什么不妥。


五。林益先生讲的是「实数的无穷小数的表示不唯一」的问题。

就是说同一个实数,可以用不同的无穷小数来表云。例如实数1/2可以表示为无穷小数0..5000.....。也可以表示为0.4999...。

确实有这个问题,实数的无穷小数表示不唯一,但仅限于「有穷小数」。所有的有穷小数(0除外)都有两种不同表示,但有穷小数以外的所有有理数和无理数的表示都是唯一的。

需要说明的是这个不唯一的特性,只要知道就行了,并无大碍,并不影响理论的一致性和协调性。例如实数 0.a1a2...。的求值公式是:

a110^(-1)+a210^(-2)+...  。就是一致的。

0.5000...。同0.4999...。代入此公式求出的值是相等的。要知道无穷项相加的和是定义为「部分和」序列的极限的。也就是说部分和序列0,5,0,50,0.500,,...。同0.49,0.499,0.4999,...。的极限是相等的。部分和序列的极限相等表明它们表示的数值相同,即表示的是同一个实数。

全文完


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