Zmn-0031(续) 黄汝广先生的来信和薛问天先生的评语

【编者按。下面是继zmn-0031发布后，黄汝广先生的来信和请薛问天先生作的评语。欢迎大家积极评论。】

黄汝广先生的来信
文老师您好！

我认为薛问天先生根本没怎么看，或者说没有看懂原文： “ Baker发现，如果S集为可数集的话，B肯定有必胜策略。如果S集可数，那么B就可以把S集里的数排列成一个序列s1, s2, s3, ... 。B的目标就是让序列{an}的极限不等于S集里的任一个数。”首先，按照游戏规则这个极限必须在[0,1]内，既然该极限在[0,1]内但是不在其子集S集内，那么S集必然是[0,1]的真子集。假设S集不是[0,1]的真子集而是[0,1]本身，此时即便S集是可数的，也不可能存在哪怕一个在[0,1]内但不在S集里的数；既然没有这样的数存在，“B肯定有必胜策略”当然也就不再成立，哪怕S集为可数集也依然不成立。在这个证明中，假设S集可数只是为了排列成一个序列s1, s2, s3, ... ；但是B的目标，也即让序列{an}的极限不等于S集里的任一个数，还必须要求S集是[0,1]的真子集才能实现。因此，S集必须是[0,1]的真子集，否则，“如果S集为可数集的话，B肯定有必胜策略”就是不成立的。

我们也可以这样看问题，也即 Baker的完整表述应该是：如果S集是[0,1]的真子集，并且S集是可数集，则B肯定有必胜策略。换句话说，否定“B肯定有必胜策略”并不必然推出S集不是可数集，还可能S集不是[0,1]的真子集。而最后，B显然不可能获胜，恰恰就是因为S集不再是[0,1]的真子集。

薛先生不会忘了我们之前讨论的复合命题谬误了吧？这个证明就是一个典型的复合命题谬误！

黄汝广

薛问天先生的评语

问题出在黄先生对证明中，如果「S集可数」(P)，则「B肯定有必胜策略(即An的极限值不属于S集)」(R)，即由P推出R的这段证明没有认可。

黄先生说的这段话【 如果S集可数，那么B就可以把S集里的数排列成一个序列s1, s2, s3, ... 。B的目标就是让序列{An}的极限不等于S集里的任一个数。】实际上说的就是这个证明。在S集可数的条件下，就可以如此这般地选取Bn，使构成的序列An，极限值不在S集中。这就严格地证明了「如果P，则R」。达到了B取胜的目标。

仔细分析证明过程，推理中只用到 「S集可数」(P)，并未用到「 S集是[0,1]的真子集」(Q)。证明中推出「序列An的极限值不在S集中」(R)的理由并不是「 S集是[0,1]的真子集」(Q)。而是在「S集可数」(P)的假定下，所做的一些关于Bn的安排。由这些安排，才保证了「序列An的极限值不在S集中」(R)。而「 S集是[0,1]的真子集」(Q)只是「序列An的极限值不在S集中」(R)的推论结果。

黄先生说的这段话【 首先，按照游戏规则这个极限必须在[0,1]内，既然该极限在[0,1]内但是不在其子集S集内，那么S集必然是[0,1]的真子集。】正好说的是，Q是R的推论结果，即由「An的极限值不属于S」推出「 S集是[0,1]的真子集」即R→Q。由P→R及R→Q可知P→Q。即Q是P的推论结果，而不是推论P→R的前提。

黄先生的错误在于他不认可由P可以逻辑地推出R，误以为Q是推导P→R的前提。

黄先生的错误理解也可从他最后对证明过程的归结看出。他说【 Baker的完整表述应该是：如果S集是[0,1]的真子集，并且S集是可数集，则B肯定有必胜策略。】他把P→R，R→Q从而P→Q，即把Q是P的推论结果，误以为是P→R的前提，误以为是: Q&P→R。

黄先生说【 假设S集不是[0,1]的真子集而是[0,1]本身，此时即便S集是可数的，也不可能存在哪怕一个在[0,1]内但不在S集里的数；既然没有这样的数存在，“B肯定有必胜策略”当然也就不再成立，哪怕S集为可数集也依然不成立。】黄先生的这段话是错误的。由于在证明「如果P则R」的过程中没有用到Q(这点黄先生没有认识到)，因而在乛Q的条件下， 「如果P则R」的推论仍然是正确的。 此时只要S集是可数的， 这种策略就可以保证A选出的数列的极限不是S集里的任一个数。亦即能存在一个在[0,1]内但不在S集里的数。只不过 这个由「S集可数」(P)从逻辑上推出的结论「 S集是[0,1]的真子集」(Q)同「S集不是[0,1]的真子集而是[0,1]本身」(乛Q)发生了矛盾，即由于R→Q，所以P→Q中推出的Q同乛Q发生矛盾。而正是这个矛盾:P→Q，乛Q才推出乛P，使S不可数，使定理得证。

结论。黄先生没有认识到，在由P推出R的逻辑推理过程中并没有用到Q，而Q只是由P推出R后推出的结论。黄先生误以为Q是「由P推出R」的前提。这是黄先生产生错误的根源。

要解决黄先生的疑惑，就是要详细考查由P推出R的逻辑过程，了解在这个过程中并没用到Q这个条件。亦即由S可数确实可以推出极限值不属于S。而B的必胜策略最终未能得以【实现】的原因在于由此推出的结论Q同乛Q发生了矛盾，並不是由P推出R发生任何逻辑错误。也就是说P→R，P→Q都是正确的。Q同乛Q发生矛盾也是事实。因而由P→Q，乛Q推出乛P，定理得证。

这就如同，如果「天下雨」(P)，则「地上有水」(Q)，这个推理P→Q并不以「地上有水」(Q)为前提。Q只是P的推论结果。不管地上有水(Q)还是地方无水(乛Q)，这个P→Q的推理都是成立的。既使是地上无水(乛Q)，由P也可推出Q，只不过这个由P推出的Q同乛Q发生了矛盾而己。而正是由此矛盾推出乛P。即由P→Q，乛Q推出乛P，证明了「天未下雨」(乛P)这一事实。

黄先生把P→R，R→Q的推论结果Q误以为是前提，只有错误地以为Q是前堤，P&Q→R才会产生所谓「隐含假定」「复合命题」的问题。如果黄先生纠正了这一错误，这个问题就不存在了。

(全文完)

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