博文

Zmn-0038反对伊战；与薛问天先生商榷（四）

已有 2243 次阅读 2019-7-9 12:57 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0038反对伊战；与薛问天先生商榷（四）

【编者按。这是七年前的一场论战的继续。「反对伊战」先生最近来信称「打算写一篇文章，为自己辩解一下」。现在将来信及文章发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。感谢科学网详细保存着七年前这场讨论的原始网页，为讨论方便起见，将原网页链接和当时双方的结末语抄录附后，供大家参考。】

「反对伊战」先生来信

文博主：你好!

我是（笔名:反对伊战）。在2012年7、8月，薛问天先生和我之间曾有一场涉及Lowenheim–Skolem定理的讨论。不久前，我偶然发现CSDN网上有薛问天先生的文章《应正确理解Löwenheim –Skolem定理，

由它得不出实数集可数的结论》，见

https://download.csdn.net/download/u014490810/7131391。我打算写一篇文章，为自己辩解一下。文章是否能发在博主的数学啄木鸟专栏？(我登不上博主在易网的博客新地址）

反对伊战 2019/7/6

。

《与薛问天先生商榷（四）》

作者：反对伊战

在2012年7、8月，薛问天先生和我之间曾有一场涉及Lowenheim–Skolem定理的讨论。不久前，我偶然发现CSDN网上有薛问天先生的文章《应正确理解Löwenheim –Skolem定理，

由它得不出实数集可数的结论》，见

https://download.csdn.net/download/u014490810/7131391。我就此写此文，为自己辩解一下。

我在《关于《科学出版社竟然出版如此反智的书》一文中实数集的势》一文中说

“实数集可以是可数集，这个结论并不荒谬，这个结论在1950年代就有了，是数理逻辑中first order logic理论中Downward Lowenheim–Skolem theorem 的一个特例。

这个结论的意思是说，存在一个实数集的模型(model)，即存在一个集合及其上定义的运算等，满足所有关于实数集的公理，而这个模型（集合）是一个可数集。”

我这里说了“实数集可以是可数集”的意思是“存在一个实数集的模型(model)，即存在一个集合及其上定义的运算等，满足所有关于实数集的公理，而这个模型（集合）是一个可数集。”所以，我在此文中，对LK定理的理解是没有问题的。其实真正引起争议的是文中“实数集”一词的含义。所以，薛问天先生如果将他文章的标题改为《不要混淆实数的一阶理论的模型和实数集合这两个不同的概念，实数集是不可数集》会比较合适。

那么，我文章中“实数集”一词的含义是什么呢？按照上面的引文，我文章中“实数集”一词是指一个满足实数诸（一阶）公理的模型。薛问天先生对此是不赞同的，他说：“要知道实数的一阶理论的模型和实数集合是两个不同的概念”。可是，我印象中，数理逻辑学家们谈起“实数集可以是可数集”时，“实数集”一词的含义就是“一个满足实数诸（一阶）公理的模型”，没什么问题，就好像两个学过大学数学的人交谈，一个说“三角形内角之和不等于180度”,没问题，另一个立即明白了这里的三角形不再是欧几里得几何中的三角形，而是一般黎曼几何中的三角形。

实际上，在我读博士时，一位数学家（他读博士时读的是数理逻辑）和我谈起实数集可以是可数集，并以此为例，说明了考察一对象，从模型内和模型外看，可以有不同性质。“从模型内和模型外看，可以有不同性质”，这是一个有趣的想法，基于此想法，有不少研究工作，后来，我在这方面也做了些研究工作，发表了3篇SCI文章。

2012年的争论网页链接和双方结束语。

科学网—[转载]反对伊战：《科学出版社...此反智的书》一文中实数集的势 –

http://blog.sciencenet.cn/blog-755313-593043.html

科学网—薛问天：应正确理解Lowenheim –Skolem定理,得不出实数集可数

http://blog.sciencenet.cn/blog-755313-597874.html

科学网—反对伊战：与薛问天先生商榷

http://blog.sciencenet.cn/blog-755313-598853.html

科学网—薛问天：再论应正确理解Lowenheim–Skolem定理

http://blog.sciencenet.cn/blog-755313-599531.html

科学网—反对伊战：与薛问天先生商榷（二、三）

http://blog.sciencenet.cn/blog-755313-599999.html

「反对伊战」的结束语。

[6]yang3 2012-8-10 07:46

回5楼
我面对的是没有专业数学知识的新语丝读者，所以，写文章力求通俗，即少用读者陌生的概念。我说“存在一个实数集的模型(model)，即存在一个集合及其上定义的运算等，满足所有关于实数集的公理，而这个模型（集合）是一个可数集。”
如果我说成“存在一个一阶实数理论的模型(model)，即存在一个集合及其上定义的运算等，满足所有关于一阶实数理论的公理，而这个模型（集合）是一个可数集。”这样写，是没有问题了，但大大地增加了读者的阅读难度。
我可以谈一阶理论，但看看你在《应正确理解Lowenheim –Skolem定理,得不出实数集可数》中，化了多少篇幅去解释何为一阶理论？20行！我如果那样写，新语丝的读者可能阅读吗？而且，你写了这么多，也没完全解释清楚一阶理论，比如，你没有说明自由变量x,y,z等必须取值于M，所以，你的解释没有区分一阶理论和二阶理论。

如果单就“实数集可以是可数集”这句话来严格地讨论（不考虑我是为了迁就读者而用了通俗说法），这句话是不是错？老实说，我搞不清楚，这涉及到“实数集是什么”这个问题，所以，我在《与薛问天先生商榷》一文中说：“我想问薛问天先生一个问题：在20世纪，实数集是如何定义的？或者，是由哪些公理刻划的？”遗憾的是你没有回答我的问题。

另，我写了《与薛问天先生商榷（三）》，博主放在了《与薛问天先生商榷（二）》的后面，你可以看一下。

[7]yang3 2012-8-10 08:39

回5楼
说实话，first-order logic 不是我的专业方向，我以前发表的文章内容上都与first-order logic 无关，我学过两个学期的Model Theory课，不过，那是十多年前的事了。你如果说我“实数集可以是可数集”这句话是错的，我勉强可以接受，因为Model Theory课是多年前学的，那些复杂的词我记不清了，所以“一阶实数理论的模型”到我笔下，就成了“实数集”或“实数集的模型”。不过，我为何华灿先生进行的辩护是有效的。
我之所以说是“勉强可以接受”，而不是“完全接受”，是因为你没有回答我“实数集是什么”这个问题。
你说我误解Downward LS定理，我不大同意。我觉得我对Downward LS定理的理解没问题，只是，由于Model Theory课是我多年前学的，那些复杂的词我记不清了，用词上出现了问题。不过，继续讨论我是否误解了Downward LS定理，我觉得没多大意思了。

[8]yang3 2012-8-10 09:35

我觉得在这里讨论first-order logic，对我消耗精力很大，所以，我以后不在此园地讨论first-order logic方面的问题了，请大家谅解。

薛问天的结束语。

[10]xuewentian 2012-8-11 07:35

薛问天评6、7、8楼
本来，我们参加评论园地的讨论，就是通过评论，相互切磋，达到增进学识共同提高的目的。过程中免不了出现一些要纠正认识上或者表达上的瑕疵甚至错误的事，这很正常。我对能写下如下评语的坦诚精神还是非常赞赏的。
【你如果说我“实数集可以是可数集”这句话是错的，我勉强可以接受，因为Model Theory课是多年前学的，那些复杂的词我记不清了，所以“一阶实数理论的模型”到我笔下，就成了“实数集”或“实数集的模型”。】
我在“商榷(三)”文中也注意到了，在正确表述LS定理方面，我们已经有了共识，我对此感到非常欣慰。文中说：
【其实，我想说的是每一个无矛盾(be consistent)的一阶理论都有一个可数模型，作为特例，一阶的实数理论有一个可数模型。】
相当好，有了这个关于LS定理及其实例的正确表述（稍加补充，需加上每个具有“无穷”模型的一阶理论），我们就有了一个衡量其他的表述是否正确的标准和共识。
用“一阶实数理论有一个可数模型”这个作为LS定理实例的正确表述，同“实数集可以是可数集”甚至“自然数集与实数集等势” 等表述加以比较，就明显地知道把后者作为LS定理的实例是不正确的（即使是通俗的表述）。
跟帖中还说：
【我之所以说是“勉强可以接受”，而不是“完全接受”，是因为你没有回答我“实数集是什么”这个问题。】
其实，“实数集可以是可数集”不能作为LS定理的实例，这件事同“实数集是什么” 没有关系。对于任何无穷集S，由LS定理可以得出“S的一阶理论有一个可数模型”，同样不能由此得出“S可以是可数集” 这个结论。S的一阶理论描述不了有关S的基数属性。换句话说从S的一阶理论的角度看，它看不见S的基数，从而S的一阶理论不能把S看作是具有任何具体基数k的无穷集，自然也不能把S看作是可数无穷集。
至于“实数集是什么”，我们现在说的仍然是传统意义下的实数集，通俗一点说实数集是由全部无穷小数（包括有穷小数）组成的集合，专业一点说实数集是完备的有序域（The complete ordered field）。尽管某些搞数学基础的数学家还有不同意见，传统意义下的实数集至今仍然是被广大主流数学界所认可和接收的定义。至于在某些讨论中，把实数集的概念换成另外的定义，此实数集非彼实数集，那就是另外一回事。为了不致混淆常在前面冠以一个形容词，如构造性实数、非标准分析等以示同传统意义下的实数集的区别。我真没有研究过20世纪实数集的新定义。还请网友指教。不过通常未加说明时，所指的实数集仍然是传统意义下的实数集。
“商榷”的作者说“我以后不在此园地讨论first-order logic方面的问题了”，其实我也认为“关于正确理解LS定理”的讨论现在可以告一段落了。因为基本论点已有共识，其他的论点各自也都说清楚了。再说无非是以前论点的重复，没有必要再说下去了。即使有不同的认识，交由网友们自己判断吧！
在此我再一次简要地陈述一下我的观点：
我认为，你可以提出你的论点：“自然数集与实数集等势”，“实数集可以是可数集”等，也可以提出你的论证，如实数集概念有变，康托证明有错等，来接受大家业界的评审。
但是你不能说“这个结论在1950年代就有了，”是“DLS定理的一个特例”。因为“DLS定理的一个特例”的正确陈述应当是：“一阶实数理论有一个可数模型”（这点已有共识）。
我认为再简单、再通俗也不能把它说成“自然数集与实数集等势”和“实数集可以是可数集。”
这就是我的观点，请网友们批评指正。
再见了网友，在评论园地其它问题的讨论中再会，谢谢广大网友们对“应正确理解LS定理”讨论的关注和参与。