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薛问天：应正确理解Lowenheim –Skolem定理,得不出实数集可数
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【文清慧注：这篇文章是作者薛问天2012.7.31投来的原发文章。下面是全文。】
假设给定了一个一阶语言L，我们称下面的结构（structure）M为L的一个解释（interpretation）。结构M由一个基本集（经常就直接用结构名“M”表示）和对该语言L标识词汇中的所有函数和关系符号的解释一起构成。一个常数符号就简单地解释为M的一个给定元素，一个 n元函数符号的解释是一个M n到M的函数，一个n元关系符号的解释是一个M上的n元关系，即一个M n的子集。基本集的势就称作结构M的势。
显然，在解释M下一阶语言L中的任何一个句子（不含自由变量的公式）都表示一个命题。例如("x)($y)[ x>0® (y´y)=x] 就是一个由一阶语言表述的句子，其中´是一个二元函数符号， =、〉是两个二元关系符号。如果给定一个解释，令基本集是实数集合，符号´解释为乘法函数，=、〉分别解释为相等关系和大于关系。那么在这个解释下，该句子表示的命题涵义是：任何正实数都存在有平方根。显然这个命题是成立的。
如果一个一阶语言的句子φ在解释M下成立（为真），则称φ在M下满足，记作M |=φ。
如果一个一阶语言的两个解释结构N和M满足条件：
1， 作为基本集N Ì M ；
2， N关于所有的解释函数是关闭的；
3， 对于所有的句子φ，N |=φ 当且仅当M |=φ，
则称N是M的基本子结构（elementary substructure），M是N的基本扩展（elementary extension）。
LS定理 对于任意的一阶语言L, 如果它有无穷结构M（即其基本集M是无穷的），则对于任意无穷基数κ ≥ |L|，存在L的一个结构N，使得|N| = κ ，而且
· 如果 κ < |M| 则N 是M的一个基本子结构;
· 如果κ > |M| 则N 是M的一个基本扩展.
定理通常被分为两部分，分别对应上面的两种情况。断言存在具有任意较小基数的基本子构造部分，称为向下（downward）L S定理。断言对于所有较大的基数存在有基本扩展的部分，称为向上（upward）LS定理。
所谓一个一阶语言上的一阶理论（first-order theory），是指该一阶语言的某些句子构成的集合。直观讲，一个句子表示一个断言，把很多断言聚集起来就构成一个理论。通常给定一个一阶理论的方法是给定有限个句子称为公理，把理论指定为能由这些公理按照一阶谓词逻辑的推理规则，在有限步内推导出的句子构成的集合。句子φ属于此理论T，记作T |- φ。
假设给定一个一阶语言L，我们称L的一个结构M是L上的一个一阶理论T的模型（model），当且仅当对于L中的任何句子φ，如果T |-φ则M |=φ，
显然，如果某一阶理论有一个实数模型（即基本集是实数集，函数符和关系符解释为相应的实数函数和关系。）则按照向下LS定理，此理论也有一个可数模型。
这就是由LS定理所能推出的结果。说实数的一阶理论存在着可数模型。从这个结果绝对得不出实数集可数的结论。因为实数集和实数的理论的模型是两个完全不同的概念。在这里它们仅有的关系是它们是同一个一阶理论的两个模型。你不能说如果其中一个模型是可数的，另一个模型也必定是可数的。
如果一个理论的所有模型都同构，则称其为categorical。 LS定理证明，所有具有无穷模型的一阶理论均不是categorical，不可能在同构意义下有唯一的模型。LS定理的本意实际上是在说明一阶逻辑的局限性，一阶理论无法控制无穷模型的基数。此外还要注意，实数的一阶理论不能代表完整的实数理论，毕竟有些实数的特性是用一阶语言表达不了的。
[1] “反对伊战”：关于《科学出版社……反智的书》一文中实数集的势 http://blog.sciencenet.cn/blog-755313-593043.html
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