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zmn-0044 「反对伊战」: 对《评小结》的回复，薛问天: 评「反对伊战」先生对我的《评小结》的回复。

已有 2064 次阅读 2019-7-30 11:35 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

zmn-0044 「反对伊战」: 对《评「反对伊战」先生的小结》一文的回复，薛问天: 评「反对伊战」先生对我的《评小结》的回复。

【编者按。下面是「反对伊战」先生对《 Zmn-0043》薛问天先生的评论的回复，及薛问天先生对此回复的再评论。现发布如下，希望网友们关注并积极参与评论。】

对《评「反对伊战」先生的小结》一文的回复

反对伊战

我在2012年发表在《新语丝》上的文章《关于《科学出版社竟然出版如此反智的书》一文中实数集的势》中，为了迁就没有数理逻辑背景的《新语丝》读者，文中尽量避免使用数理逻辑方面的专业术语，这导致文中部分内容含义不明确，引起争议。现将文中内容用数理逻辑方面的专业术语来表述，从而使文中内容含义明确。

《关于《科学出版社竟然出版如此反智的书》一文中实数集的势》原文见 http://blog.sciencenet.cn/blog-755313-593043.html 。

关于《科学出版社竟然出版如此反智的书》一文中实数集的势（重写版）如下

《科学出版社竟然出版如此反智的书》一文中说：

“这两天在新浪微博看到一些网友转载的帖子，说是科学出版社去年出版《统一无穷理论》，其基本观点完全错误，甚至可以说是反智的。原来该书作者竟然能断定自然数集与实数集等势！这毫无疑问是极其荒谬的。” 　　

我在这里做一些说明。“自然数集与实数集等势”，更准确一些说，实数集可以是可数集，这个结论并不荒谬，当数理逻辑学家们谈起“实数集可以是可数集”时，“实数集”一词的含义就是“一个满足实数诸一阶公理的模型”，“实数集可以是可数集”的含义是“存在一个满足实数诸一阶公理的模型，这个模型是个可数集”，大家都心知肚明，就好像两个学过大学数学的人交谈，一个说“三角形内角之和不等于180度”,没问题，另一个立即明白了这里的三角形不再是欧几里得几何中的三角形，而是一般黎曼几何中的三角形。而“存在一个满足实数诸一阶公理的模型，这个模型是个可数集”这个结论在1950年代就有了，是数理逻辑中first order logic理论中Downward Lowenheim–Skolem theorem 的一个特例。所以，“实数集可以是可数集”是Downward Lowenheim–Skolem theorem 的一个特例。

　我想，在专业问题上打假，还是应该有些专业知识。

我想，既然我已给了原文的重写版，使原文含义不明确的地方含义明确了，那就就重写版来看看，“实数集可以是可数集”是不是Downward Lowenheim–Skolem theorem 的一个特例。

下面，回复薛问天先生的《评「反对伊战」先生的小结》一文。

关于（1）部分，【存在一个实数集的模型(model)，即存在一个集合及其上定义的运算等，满足所有关于实数集的公理，而这个模型（集合）是一个可数集。】，这句话可以从一阶逻辑角度来理解，理解为存在一个满足实数的所有一阶公理的模型，而这个模型是一个可数集。这句话也可以从二阶逻辑角度来理解，理解为存在一个满足实数的所有二阶公理的模型，而这个模型是一个可数集。不过，如果从二阶逻辑角度来理解，【】部分就不需谈模型了，可以简单地说成“存在实数集，它是一个可数集”。

我写道：“薛问天先生说“(2) 我仍然相信，严谨的【数理逻辑学家】不会把 “存在一个满足实数诸一阶公理的模型，而这个模型是一个可数集”，荒谬地说成是【实数集可以是可数集】。”我想，有些人也会说“ 我相信，严谨的数学家不会把陈景润的结果荒谬地说成是【1+2】。””薛问天先生写道：“不要举「1+2」这种不相干的例子。”这个例子怎么不相干呢？这个例子明白地说明了光靠“相信”是靠不住的。

薛问天先生说“你不过是道听途说，不知同何人交谈过，给你留下了这个错误的【印象】。”。薛问天先生怎么知道我的印象是“错误”的？有任何证据吗？我和至少两位数学家的交谈中涉及到【实数集可以是可数集】，其中一位在当时已发表了约40篇SCI文章，另一位在当时已发表了六、七十篇SCI文章。

薛问天先生在《再评「反对伊战」的再回复》中说“在二阶逻辑表达出来的命题在一阶模型中为真，这是一句地地道道的行外话。二阶逻辑的公式就不是一阶逻辑的合式公式，怎么还能在一阶逻辑中证明为真。真是天大的笑话。”这里，薛问天先生混淆了“命题在一个模型中为真”和“命题能够被证明为真”这两个不同概念，自己闹了一个笑话。薛问天先生说“既然「R不可数」在一阶逻辑系统中不能表达，不能得到证明，你如何知道此命题在此一阶模型中为真？”这个可以用别的公理去证明。不过，要涉及复杂的讨论。【从模型内部看，实数集合是个不可数集】，更准确地说是“存在一个实数的一阶公理的模型，这个模型是一个可数集，而且从模型内部看，它是一个不可数集”，这是专家们苦心研究出来的结果，薛问天先生如果能否定这个结果，那他就牛了。

关于甲、乙的对话

薛问天先生以类比方法写的“「反对伊战」先生(甲)同薛问天先生(乙)的对话”明显不恰当。在对话的背景知识部分，薛问天先生写道：【X定理说“一个人在路上向北行走，就可以到达“北方城”】，而“北方城”，按他的解释，是实数一阶逻辑理论。那么，到达“北方城”是什么意思呢？是指得到实数一阶逻辑理论？是指可以使用实数一阶逻辑理论？怎么解释，都与X定理（LS定理）无关。薛问天先生的对话一开始就这样出错，后面的我就不分析了。

顺便说一下，我原对话中甲说的“丁地被当地人称为“北方城””一句在薛问天先生写的对话中完全没有体现，在那个对话中，甚至都没有提及丁地。

我原先写的对话对其中类比对象缺乏说明，现重写如下。

丁地： “存在一个满足实数一阶公理的模型，这个模型是个可数集”这个结论

到达丁地：证明了上述结论

北方城： “实数集可以是可数集” 这个结论

到达北方城：证明了上述结论

丁地当地人：数理逻辑学家

在路丙上行走: 考虑模型

向北：在一阶逻辑意义下考虑

向南：在二阶逻辑意义下考虑

「反对伊战」先生(甲)同薛问天先生(乙)的对话

（背景知识：路丙是一条南北向的路。X定理说“一个人在路丙上向北行走，就可到达北边的丁地。” “北方城”是丁地之外的一个地方，人们公认“北方城”是一个人们到达不了的地方。在丁地，当地人把丁地也称为“北方城”。）

甲：在文章中写道““可以到达北方城”这个结论并不荒谬，这是X定理的一个推论。一个人在路丙上行走，就可到达北方城。”

乙：写了一篇文章《要正确理解X定理，由它得不出“可以到达北方城”的结论》

甲：我说的“行走”是指“向北行走”，丁地被当地人称为“北方城”。

乙：你原文没有说那个人是向北行走，“行走”和“向北行走”是两个不同的概念。“在路丙上行走，就可到达北方城”是对X定理的误读和错误的解释。我相信丁地人不会把该地说成是“北方城”。

X定理说的是“向北行走”，而不是“行走”。X定理证明不了“可以到达北方城”。

甲：我文章中部分内容含义不明确，这导致了争议。为使文章内容含义明确，我重写此文如下：

“可以到达北方城”这个结论并不荒谬。由X定理，一个人在路丙上向北行走，就可到达丁地，而丁地当地人把该地又称为“北方城”。所以，“可以到达北方城”是X定理的一个推论。

评「反对伊战」先生对我的《评小结》的回复

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

「反对伊战」先生只认识到他第一个错误，把它改正过来了。写了一个「重写版」。但是没有认识到他的第二个错误，即「重写版」也是错误的。他把「实数一阶理论的模型」同「实数集」等同起来了。从而从「实数一阶理论有可数模型」，错误地得出了「实数集可以是可数的」结论。

在「重写版」中说【 “存在一个满足实数诸一阶公理的模型，这个模型是个可数集”这个结论在1950年代就有了，是数理逻辑中first order logic理论中Downward Lowenheim–Skolem theorem 的一个特例。所以，“实数集可以是可数集”是Downward Lowenheim–Skolem theorem 的一个特例。】这是什么逻辑，LS定理的结论明明是「实数一阶理论有可数模型」在【所以】之后就变成了「实数集可以是可数集」的结论了。

「重写版」中说【当数理逻辑学家们谈起“实数集可以是可数集”时，“实数集”一词的含义就是“一个满足实数诸一阶公理的模型”，“实数集可以是可数集”的含义是“存在一个满足实数诸一阶公理的模型，这个模型是个可数集”，】这里严重地歪曲事实。这只是「反对伊战」先生的一个错误的【印象】，他至今举不出任何一位严谨的数理逻辑学家，在哪部学木著作中说过这样的话，把「实数一阶理论的模型」等同于「实数集」，从「实数一阶理论有可数模型」，错误地得出「实数集可以是可数集」结论。你举不出具体证据来，再多说都没有用。要知道学术界公认「实数二阶理论」才是完整的「实数集的理论」。「实数二阶理论模型」才等同于「实数集」。

「反对伊战」先生说【大家都心知肚明，就好像两个学过大学数学的人交谈，一个说“三角形内角之和不等于180度”,没问题，另一个立即明白了这里的三角形不再是欧几里得几何中的三角形，而是一般黎曼几何中的三角形。】拿欧氏空间与非欧空间的不同命题来这里做比喻显然是不合适的。在这里实数理论只有一个公理系统，一阶逻辑公理只是实数的部分公理，而不像几何第五公设那样是不同的公理内容，形成不同的空间。。因而说“三角形内角之和不等于180度”,没问题，因为它在非欧几何中成立。而说「实数集可以是可数集」就是错的。因为「实数一阶理论的模型」并不等同于「实数集」。实数的一阶公理只是全部实数公理(二阶公理)的一个子集而不是另外的公理系统，并不形成另外的空间。「实数集」是一个有确定含义的概念。因而「实数集可以是可数集」只能是错误的、荒谬的结论而不可能成为正确的、【並不荒谬】结论。

（1）「反对伊战」先生所说的这句LS定理的推论:【存在一个实数集的模型(model)，即存在一个集合及其上定义的运算等，满足所有关于实数集的公理，而这个模型（集合）是一个可数集。】是一句错误的论断。无论怎么【理解】，都不可能把它变成正确的。只能改正和重写，把【实数集的模型】改写为「实数集的一阶逻辑模型」，把【满足所有关于实数集的公理】，改写为「满足所有关于实数集的一阶逻辑公理」，才是LS定理推论的正确表达。

（2）我曾说过:〖我相信严谨的数理逻辑学家不会把「实数一阶理论有可数模型」说成是【实数集可以是可数的】。不要举「1+2」这种不相干的例子。〗

「反对伊战」先生说【 ”这个例子怎么不相干呢？这个例子明白地说明了光靠“相信”是靠不住的。】

其实“相信”是否靠得住，关键不在于是“相信”，而在于这个“相信”是否有根据。「反对伊战」先生说【我想，有些人也会说「我相信，严谨的数学家不会把陈景润的结果荒谬地说成是“1+2”。」】这显然是错误的说法。这里的“1+2”有明确的定义， "任一充分大的偶数都可以表示成为一个素因子个数不超过a个的数与另一个素因子不超过b个的数之和"，记作"a+b"。1966年陈景润证明了"1+2"成立，指的是"任一充分大的偶数都可以表示成一个素数与另一个素因子个数不超过2的数"。所以说严谨的数学家把陈景润的结果说成是“1+2”，一点都不荒谬。既严格又正确。上述说其荒谬的那句话的错误在于他的“相信”毫无根据，没有道理。

而我说「我相信严谨的数理逻辑学家不会把实数一阶理论有可数模型说成是【实数集可以是可数集】」这句话有充分的根据。那就是一阶逻辑有局限性，实数的一阶逻辑表达不了所有的实数的公理，而它所表达的公理只是所有实数公理的一部分，全部实数公理的一个真子集。所以实数的一阶逻辑模型(集合)并不等同于实数集。只有公认能表达所有实数公理的二阶逻辑模型(集合)才等同于实数集。而己证明实数的二阶逻辑模型的基数是唯一的，是不可数的连续统。所以说，把「实数一阶理论有可数模型」说成是【实数集可以是可数集】，是绝对错误的。严谨的数理逻辑学家怎么会说这种明显错误的话呢。这就是我“相信”我的论断是正确的根据。同时也是证明你的【印象】是错误的根据。

「反对伊战」先生说【我和至少两位数学家的交谈中涉及到「实数集可以是可数集」，其中一位在当时已发表了约40篇SCI文章，另一位在当时已发表了六、七十篇SCI文章。】

这样的【论据】，显然没有任何说服力。有两种可能。一种可能是「两位数学家」说的是「实数的一阶理论有可数模型」，而你错误地理解成「实数集可以是可数集」，是你理解错了，这种可能性很大。

既使有另一种可能，这「两位数学家」错误地把「实数的一阶理论有可数模型」，说成是「实数集可以是可数集」。是这「两位数学家」说错了话。这也是常有的事，不能迷信。他们就是发表再多的SCI的论文，也保证不了他们说的话都是正确的。就算这是真的，他们说了一次错话，他们也代表不了所有的「数理逻辑学家」，也不能得出这样的具有普遍意义的结论，说【当数理逻辑学家们谈起“实数集可以是可数集”时，“实数集”一词的含义就是“一个满足实数诸一阶公理的模型”，“实数集可以是可数集”的含义是“存在一个满足实数诸一阶公理的模型，这个模型是个可数集。】

从这里也不难看出「反对伊战」先生的治学态度是多么浮浅。不是靠缜密的思考，严谨的推理，仔细查对第一手资料，而是迷信那些发表过很多SCI文章的人，把同一两个人谈话中道听途说的只言片语及主观【印象】，竟误以为是一般数理逻辑学家的普遍认识。

（3）我在前文中曾质问: “既然「R不可数」在一阶逻辑系统中不能表达，不能得到证明，你如何知道此命题在此一阶模型中为真？” 「反对伊战」先生故弄玄虚地回答道:【这个可以用别的公理去证明。不过，要涉及复杂的讨论。】似乎他懂得很多，因为太复杂了，没法讲给你听。还说什么【这是专家们苦心研究出来的结果】。其实这全是谎言。你可以扪心自问，你真的知道这个公理系统的这个【别的公理】的具体内容吗?真的知道所涉及到的【复杂的讨论】吗?真的知道是哪些专家【苦心研究出来的结果】吗? 这些都是根本不存在的子虚乌有的东西。原因很简单，这里讨论的是实数一阶逻辑的模型。所谓「实数一阶逻辑的模型」就是要求凡是在实数一阶逻辑中可证的命题，在模型中为真。如果在实数一阶公理上再加上实数的【别的公理】(只能是实数的某个二阶逻辑的公理)，它的模型还能称得上是「实数一阶逻辑的模型」吗?LS定理还能保证它有可数模型吗?这都是不可能的事。如果「反对伊战」先生认为他说的不是谎言，尽可把所谓【别的公理】和【复杂的讨论】以及【专家们苦心研究出来的结果】说出来大家听听，或者你能指出在哪本专著或论文中有此内容也行。我看你举不出来，不是因为它们【太复杂】，而是根本就不存在！这是谎言。

（4）关于类比，就按最后「反对伊战」先生最后修改的版本，也是矛盾重重。既然【北方城”是丁地之外的一个地方，人们公认“北方城”是一个人们到达不了的地方。】那么【在丁地，当地人把丁地也称为“北方城”。】也就只能是一种误传或者谣传，是不可信的，是与【北方城”是丁地之外的一个地方，人们公认“北方城”是一个人们到达不了的地方。】这个公认的事实相违背的错误论断。

然而「反对伊战」先生的最后宣言:【 “可以到达北方城”这个结论并不荒谬。由X定理，一个人在路丙上向北行走，就可到达丁地，而丁地当地人把该地又称为“北方城”。所以，“可以到达北方城”是X定理的一个推论。】竟然把丁地与北方城错误地等同起来，把这种误传、谣传，与事实相违背的错误论断【把丁地也称为“北方城”。】作为依据来进行推论。那自然这样推论的结论只能是大错特错的了。

而这正是「反对伊战」先生错误的关键。把丁地与北方城等同起来，即把「实数的一阶理论有可数模型」与「实数集可以是可数集」错误地等同起来。这只是「反对伊战」先生道听途说的一种错误【印象】。把这说成是一般「数理逻辑学家」普遍的观点。「反对伊战」先生至今拿不出证据，说不出有哪位严谨的「数理逻辑学家」在哪个著作中，有如此的论断。说明这实际上是一种谎言。

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