博文

zmn-0045 「反对伊战」: 关于第（3）部分的讨论，薛问天: 评「反对伊战」《关于第（3）部分的讨论》

已有 1937 次阅读 2019-8-3 17:04 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

zmn-0045 「反对伊战」: 关于第（3）部分的讨论，薛问天: 评「反对伊战」《关于第（3）部分的讨论》

【编者按。下面是「反对伊战」先生对《 Zmn-0044》薛问天先生的评论的回复，及薛问天先生对此回复的评论。现发布如下，希望网友们关注并积极参与评论。】

关于第（3）部分的讨论

反对伊战

我要讲的话基本上讲了。不过，关于第（3）部分，我还有些话要讲。

薛问天先生质问道“如果在实数一阶公理上再加上实数的【别的公理】(只能是实数的某个二阶逻辑的公理)，它的模型还能称得上是「实数一阶逻辑的模型」吗?”这里，薛问天先生错了，在实数一阶公理上再加上别的公理，它的模型当然是「实数一阶逻辑的模型」。

关于【从模型内部看，实数集合是个不可数集】，更准确地说是“存在一个实数的一阶公理的模型，这个模型是一个可数集，而且从模型内部看，它是一个不可数集”，百度斯科伦悖论， https://baike.baidu.com/item/%E6%96%AF%E7%A7%91%E4%BC%A6%E6%82%96%E8%AE%BA/22361200?fr=aladdin ，第6行， “但是正在讨论的这些集合是不可数的，只是在模型内不存在从自然数到这些集合的双射意义上。在模型外有一个双射是完全有可能的。”所以，我上面【从模型内部看，实数集合是个不可数集】的说法是有根据的，不是薛问天先生所说的“谎言”。

关于斯科伦悖论，大家可百度 Skolem paradox，那里可查到更详细的解释。

评「反对伊战」《关于第（3）部分的讨论》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

果然不出所料，「反对伊战」先生所谓的【别的公理】，【复杂的讨论】以及【专家们苦心研究出来的结果】，并不是他悉心学习和深入思考的所获，而是随意的主观臆想，和道听途说的内容。拿不出证据和文献来，最后只能靠「百度」搜来的「斯科倫悖论」来为他辩解。

要知道「斯科倫悖论」同「反对伊战」先生所讲的不一样。

「反对伊战」先生讲的是【实数的一阶逻辑模型】，他错误地以为这个模型(集合)等同于实数集，从而由LS定理的推论「实数的一阶逻辑理论有可数模型」错误地得出【实数集可以是可数集】，即所谓从实数的一阶理论的模型外部看实数集是可数的。这个论断是错误的，因为【实数的一阶逻辑模型】这个模型(集合)并不等同于【实数集】。

另一方面，「反对伊战」先生丨认为「实数集合不可数」虽然在实数一阶理论中得不到证明，但是【这个可以用别的公理去证明。不过，要涉及复杂的讨论。】由于实数一阶理论包括了实数的所有一阶公理，显然这个【别的公理】只能是二阶逻辑形式的公理。也就是说这个模型己经是「实数的所有一阶逻辑公理+一条别的公理(一条实数的二阶逻辑公理)」的模型。这样的模型还能称为是【实数的一阶逻辑理论的模型】吗?LS定理还能适用吗?还能称为是从【实数的一阶逻辑模型】的内部看「实数集合不可数」吗？显然不能。只能说是从【(实数的一阶逻辑+实数的一条二阶逻辑公理)的模型】的内部看「实数集合不可数」。

斯科倫悖论说的是另一个概念。它说的不是【实数的一阶逻辑模型】。它说的是集合论的ZF公理系统的模型。该公理系统属于一阶逻辑的公理系统，从而按照LS定理有可数模型。另一方面，文献认为康托定理「存在有不可数集合」(或者「自然数的冪集不可数」)可以在ZF公理系统中得证。这就产生了一个矛盾。因为ZF模型是可数的，它的任何子集都是可数的，但是ZF又证明存在不可数集。这就是「斯科倫悖论」。

当然关于斯科倫悖论是否是真正的「悖论」，还有争议，但无论如何不能作为「反对伊战」先生为其观点辩解的依据。这有两点不同。第一，模型不同，一个是【实数的一阶逻辑理论的模型】，另一个是【集合论的ZF公理系统的模型】。第二，证明的公理系统不同，一个是【实数的一阶逻辑+实数的一条二阶逻辑公理】，一个是【集合论的ZF公理系统】。

另外我对上述文献中，认为康托定理「存在有不可数集合」(或者「自然数的冪集不可数」)可以在ZF公理系统中得证。这点我还存在疑惑。既然公认一阶逻辑有局限性，它不能表达有限性或可数性，为什么「存在有不可数集合」这个涉及可数概念的定理可以在属一阶逻辑范围的ZF公理系统中得到证明。这点还有待进一步的学习和思考。

返回到：

zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录