Zmn-1208 薛问天: 不是能做到我们不去做，而是做不到才不去做。评一阳生《1200》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对一阳生先生的《Zmn-1200》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

不是能做到我们不去做，而是做不到

才不去做。评一阳生《1200》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一，函数和运算。

1，在数学上【函数】有明确的严格的数学定义。但【后继函数】没有直接定义，是由皮亚诺公理界定的。所以把【后继函数】称为是由皮亚诺公理界定的原始概念。

 另外，运算这个述语比较宽泛，函数可以认为是一种运算。把后继函数称为后继运算没有错误。一阳生说【把【后继运算】定义为【后继函数】。把如此基础如此重要的概念混为一谈，是不求甚解者常犯的错误，希望薛老师能改正过来。】确实是无中生事多此一举没有必要。运算也可以静态理解，不一定都指的是动态。把后继函数称为后继运算完全可以，是一个意思，没有错误。就如同把算术函数也可称为是算术运算是一样的，不必在这些问题上大费笔墨，没有意思。

 2，一阳生大谈什么【自然数存在的定义】和【定义全体自然数存在】是不合适的。不要把【定义】和【存在】混为一谈。全部自然数集合可由皮亚诺公理来定义，或等价地由集合论的①②③来定义。由全体自然数集合的这个定义，可证明它是最小的归纳集合。

全体自然数的存在，是由无穷公理和分离公理来证明的。证明的思路是这样的。无穷公理断定，存在有归纳集合。既然有归纳集合存在，全体自然数集合是最小的归纳集合，就是此存在的归纳集合的子集，从而由分离公理就可证明此全体自然数集合的存在。

【数学归纳法成立】是皮亚诺第5公理。不是【应用数学归纳法证明全体自然数的存在】。这些概念要搞清楚。数学归纳法是用来证明某谓词P(n)，对所有的自然数n都成立。【数学归纳法并没有告诉我们全部自然数经由后继运算多次乃至无穷次的操作生成。】

如果令P(n)是【自然数n可由0经有穷次后继运算得到】，可由数学归纳法证明对所有的自然数n，此P(n)成立。反之，也可由【对所有的自然数n，n可由0经有穷次后继运算得到】，推出【数学归纳法成立】。因而【对所有的自然数n，n可由0经有穷次后继运算得到】同【数学归纳法成立】是等价的皮亚诺第5公理。因而命题【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】，是作为自然数集合定义的皮亚诺公理的一部分。

我早己说过，我们谈的自然数集合的生成过程可以完成，这是对自然数概念的一种直观的说明，不是数学的证明。在数学上只证明自然数集合的存在。並没有严格定义和讨论自然数集合的生成过程及它的完成。这是哲学。哲学原理断定任何存在的对象，它的生成过程都是可以完成的。

我在《Zmn-1160 薛问天： 直观说明和严格论证》一文中已说清严格定义和直观说明的不同。〖例如集合这个概念本身是没有定义的原始概念，但什么是集合，有不少解释，这些解释只能算作是直观的说明，算不上严格的数学定义和论证。

关于无穷集合的【存在】，自然数集合的【存在】，这都是有严格的数学证明的命题。但无穷集合，自然数集合的【生成过程】及其可完成的断定，这只是直观的说明，谈不上严格的数学证明。当然直观说明有时也要作一些逻辑推理。

我是这样来说明自然数的生成过程的。因为【任何自然数都可由0经有穷次后继运算得到】，所以任一自然数都可由0经有穷次的后继运算来生成。但是所有的自然数有无穷多个。那么生成全体自然数的过程中，所需要进行的后继运算的个数，就是无穷个有穷次，即无穷个。但要注意并不是由0经无穷次后继运算得到第无穷个自然数。没有【由0经无穷次后继运算得到的数】。要注意【任何自然数都可由0经有穷次后继运算得到】，但这样的自然数有无穷多个。因而全体自然数的生成过程是无穷过程，而且这个过程可以完成。

当然这个生成自然数的无穷过程不是由人去扏行，一个个由人来生成来完成的。而是客观形成的。如果由人来扏行，每一步都需要有个固定的最小时间，无穷多步就需要无穷长的时间。但人的生命是有限的，分辨度也是有限的。所以不能由人来完成。但是在客观上无穷的过程可以完成，例如时间从0秒到1秒，中间要经过无限个时间点，这个经过无限个时间点的无限过程就可以在1秒钟这个有限的时间内顺利完成。

我们所说的无限的禁忌就是指人的操作，如人的推理只能限制在有穷步的推论，不允许有无限步的推论。由人实施的运算，也只有限制为有限次。除非做出另外明确的定义另当别论。当然人是很聰明的，这个无限的禁忌只限于人的具体操作。对于客观上的无穷，人们也是认可的，承认的。承认无穷集合的存在，认识和理解研究它的不同特性，而不是认为无穷是不能完成的，矛盾的，全部予以否定。

一阴生说【不管哪种行为动作的次数都是用自然数计数的，根本不可能计数到无穷次。即行为动作达不成无穷次。】这样的说法显然不对。自然数只是对有穷集合的计数。无穷集合的势可用超穷基数来标志。基数是把自然数作为有穷基数的扩展。

3，设X= 【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】，Y= 【不存在第无穷个自然数】，Z=【不存在第无穷次后继运算或第无穷次演算】。

我说过，〖不可能证明X→Z。而是由于Ⅹ【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】，和【自然数有无穷多个】。可以推出【要生成全体自然数，必须要扏行无穷多个有穷次运算，即无穷多次后继运算】 。正是由于虽然【自然数有无穷多个】，但是Y【不存在第无穷个自然数】。而且Y→Z【因为没有第无穷个自然数，所以没有第无穷次后继运算】。因而推出Z【不存在第无穷次后继运算或第无穷次演算】。〗

也就是说，既使把自然数㸔作是序数{0,1,2,3,...}。从而生成0以外的每个自然数n都是由它的前一个数经一个后继运算Hn得到的，这些Hn可构成一个有序的后继运算的无穷集合{H1,H2,H3,...}。由于没有最后一个第无穷个自然数，所以在这个后继运算的集合中，并无第无穷个后继运算。

也就昱说，在生成全体自然数的过程中，虽然用到了无穷个后继运算，但是【不存在第无穷次后继运算】。

 不仅在生成全体自然数的过程中没有，就是在生成ω+1={0,1,2,...,ω}这个序数的集合中也无【第无穷个后继运算】，因为ω并不是后继运算生成的。只有在生成ω+2={0,1,2,...,ω，ω+1}，或比它大的序数的无序集合中，你可以把生成序数ω+1用到的后继运算称为【第ω个后继运算】。但要注意这已不是在生成全体自然数的过程之中了，同我们讨论的问题无关。

4，一阳生说【我问: “当后继运算遍历了全部自然数时我主观思维的关注点聚焦在哪个后继运算上了或聚焦在哪个序数上了？”薛老师还是一如既往的不回答问题，】这个问题在概念上就有问题。后继运算【遍历了】全部自然数时，我主观思维的关注点是生成自然数的任务己经完成，那能还把关注点【聚焦】在后继运算上？你无非是在问遍历完成时最后一个后继运算是哪个。这个我己经回答清楚了，那就是无穷的有序集合不一定有最后一个元素，〖无穷个自然数集合中没有【第无穷个自然数】，扏行的无穷个后继运算集合中没有【第无穷个后继运算】，这很正常，这是有些无穷集合的特性。〗

不知道无穷的有序集合不一定有最后元素，这反映出一阳生对无穷集合的特性相当不了解。这同静态或动态地了解全体自然数的集合N等对象，没有任何关系。无穷次后继运算的集合，完全可能没有最后一个。这同运算表达行为动作，有个执行这个行为动作的主体，以及这个主体是什么没有任何关系。这是无穷集合的特性。

对无限铁路火车任务的完成是这样规定的，当只有有穷个火车站时，任务完成肯定要经过最后一个火车站，当火车站有无穷多个，而且没有最后一个火车站时，任务的完成就不要求一定要经过最后一个火车站。要求经过所有的火车站就完成任务了。

要认识到无穷的有序集合不一定【有始有终】，自然数有始无终，正负整数无始无终。

二、小球的运动。

 一阳生问【小球处在哪个位置？】我的回答是〖应考虑的是小球在哪个时刻处在哪个位置〗，这个回答当然是非常明确的。〖在时间经过半开区间[0,1)中的所有的时间点时，小球遍历了空间坐标的半开区间[0,1)中相应的所有的点。〗

关键是请一阳生先生要仔细体会下面的事实：确实半开区间[0,1)和闭区间[0,1]在时间【长度】上和空间【距离】上都是相同的。但由于半开区间同闭区间包括的点不同。所以小球经过时间半开区间[0,1)或空间半开区间[0,1)中【所经过的点】，同小球经过时间闭区间[0,1]或空间闭区间[0,1]中【所经过的点】，是不同的。即前者不包括所处的位置为1的端点，而后者包括所处的位置为1的端点。

数学提供了非常精确的描述。

三、关于极限定义。

1、【趋向于】不是单独的数学概念，同时也不是用自然语言描述的概念。它是严格的数学概念【当x趋向于x0时，f(x)的极限是a】，中的一个部分语句。把它按照自然语言的含义理解为: 【趋向于是特定方向的运动，表达对象的某种行为动作。】是错误的。极限的概念中，没有这样的行为动作。【x趋向于x0】不是这样的意思。

Ψ=【当x趋向于x0时，f(x)的极限是a】是由Φ定义的，Ψ是不可拆分的简单命题。命题Ψ有严格明确的定义Φ，【趋向于】给不出单独明确的定义来，所以不能把Ψ分成两个单独的语句，认为C=【当x趋向于x0时】，D=【f(x)的极限是a】。把【当x趋向于x0时，f(x)的极限是a】，当成蕴含语句: C→D。因为这样的C和D的单独含义是说不清楚的。这个【说不清】是事实，不是我的观点。你能把C和D单独定义清楚吗？你试试就知道了，做不到。不是能做到我们不去做，而是做不到才不去做。

至于说到概念的名称和用语，把a称为是【x趋向于x0时f(x)的极限】中的【趋向于】这个名称改为其它用语可不可以。当然，只要合适也是可以的，会被大家认可和接受。譬如有的书就把a这个极限称为是【x无限接近于x0时f(x)的极限】，其中的【趋向于】这个名称改为【无限接近于】。总之对它确切含义的解释只能是Φ，而不能随意乱说，如什么【特定方向的运动】，【某种行为动作】，都是错误的。一阳生说把它改成【一阳生】，【吃完饭】，没有人会认为这是合适的。

2、一阳生想把Ψ分成两个单独的语句，认为C=【当x趋向于x0时】，D=【f(x)的极限是a】。把Ψ=【当x趋向于x0时，f(x)的极限是a】，当成蕴含语句: C→D。

我已说清楚了，不是能做到我们不去做，而是做不到才不去做。

因为ψ是由φ=A∧B定义的，ψ⇔Φ。由于不存在φC和φD，使A∧B=φC→φD。因而不存在φC和φD，使φC定义C，即φC⇔C，和φD定义D，即φD⇔D，而且ψ=C→D。

也就是说用A∧B定义不了C→D。即【(A∧B)→(C→D)】不成立。

所以一阳生要求【薛老师可尝试接受我的观点】，是做不到的。

一阳生说【在A ∧ B作为前提条件下【x趋向于x0】的含义是清楚明白的：x向x0运动，但不达到x0。是主谓宾结构的R(x,x0)命题，R表示行为动作。】

这是一阳生的错误臆想。在A∧B中并没有【x向x0运动，但不达到x0。】这样的表述。你根据什么作出这样的表述？【主谓宾结构的R(x,x0)命题】在哪里，是什么，你能说清楚吗？在A∧B中哪有什么【R表示行为动作】，这纯是你的主观臆想。数学要一个字一个字地推理。不能凭想像乱说。

一阳生说【在A ∧ B和C的前提条件下【f(x)的极限是a】的含义也是清楚明白的】。定义是要用A∧B来解释【f(x)的极限是a】的含义。你能把【f(x)的极限是a】作为一个单独命题的含义讲清楚吗？

你要把ψ分成两部分C和D，就耍把φ=A∧B分成两部分φC和φD，使φC定义C，φD定义D，你能分清楚吗？你做不到我当然不能认可。

3，注意在数理逻辑中，不同的约束变量x和y，是可以替换的。即(∀x)P(x)=(∀y)P(y)。(∃x)P(x)=(∃y)P(y)。尽管变量x和y不是同一个变量(x≠y)，但这并不违反逻辑同一律。

另外等号=在不同地方可以有不同的约定，不一定都表示等号两端完全同一，例如在这里的(∀x)P(x)=(∀y)P(y)，(∃x)P(x)=(∃y)P(y)。其中的等号表示的就不是两端从形式到内容完完全全的同一个表达式，只是表示它们的真假值是相同的。也可写成(∀x)P(x)⇔(∀y)P(y)，(∃x)P(x)⇔(∃y)P(y)。

把所说的A1和A2，写成A1=A2指的就是等价，并不是完全的同一。

这些写法都没有错。理解清楚即可。说什么这是【对相同与等价进行混淆】，【违反了同一律】，完全是无中生有，多此一举，毫无意义。

4，正因为ψ=【当x趋向于x0时，f(x)的极限是a】，是被φ=A∧B所定义的。ψ的的确切含义必须是由A∧B所决定的。你要把ψ分成C和D，表示成C→D。当然就必须对C和D由A∧B分别进行定义。说C和D【无须被定义】，就是绝对错误的。不仅必须定义，而且要求把分别定义的含义，在组成C→D后所表示的含义，还要同A∧B所定义的ψ的含义完全一致，只有这样才能把ψ分析成C→D。

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