Zmn-1242 薛问天: 要用极限理论去求出极限值才能【去掉极限符号】。评师教民《1239》

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要用极限理论去求出极限值才能【去掉极限符号】。

评师教民《1239》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一，师教民先生说【薛问天先生在回答我的这样的提问时，还是承认了我说的〖极限理论或薛问天先生在求极限或导数时的实际操作是先加上极限符号、后去掉极限符号〗，因此我说的这句话就是千真万确的了，就是正确的了！薛问天先生也就与我达成共识了．】

不全对。应说全面，说清楚。【加上极限符号】是因为导数定义为增量比的极限。要用极限理论去求出极限值才能【后去掉极限符号】。这才是用极限求出导数的真正操作。

所以真正的共识应是【导数是增量比的极限，求导数就是用极限理论去求出它的极限值。】

二，【后去掉极限符号】，之所以能去掉极限符号，是要用极限理论求出极限值来。只有求出极限值后才能去掉极限符号。不是师先生所理解的【当你去掉lim[Δx→0](2x+Δx)中的极限符号后就应该得到 2x+Δx...】，错了，应是用极限法则去求当Δx→0时2x+Δx的极限值，当你用极限法则求出极限值等于2x后。才能去掉极限符号写成lim[Δx→0](2x+Δx)=2x。

师先生说【为了得出正确的导数值 2x，极限理论和你薛问天先生就不得不令本来≠0 的 Δx=0 而得到 2x+0=2x．】错了，我们不是这样去求极限的。怎么求出lim[Δx→0](2x+Δx)=2x ？

首先，根据极限理论中【和的极限等于极限的和】，所以

lim[Δx→0](2x+Δx)=lim[Δx→0](2x)+lim[Δx→0](Δx)。

再根据【常数的极限等于自己】，所以式中的第一项，lim[Δx→0](2x)=2x。

接着根据【当Δx→0时，Δx的极限等于0】，所以式中的第二项，lim[Δx→0](Δx)=0。

由这三条推理，即最后由如此简单的极限理论推出lim[Δx→0](2x+Δx)=2x+0=2x。

三，我们己说过多次。对于连续函数G(Δx)，由于证明了lim[Δx→0]G(Δx)=G(0)，所以可以用【去掉极限符号，令G(Δx)中的Δx=0】，即用G(0)来求极限值。但是只有G(Δx)是连续函数时，才能这么做。

师先生说【极限理论用 ε-δ 语言定义极限概念时，Δx 是永远无限趋于 0 但是恒不等于 0，所以极限理论和你薛问天先生就不敢【把 Δx≠0 改成 Δx=0】】。这是当然，由于当你没有断定在Δx≠0的条件下同Δy/Δx相等的函数G(Δx)是连续函数时，不能用G(0)作为G(Δx)的极限值。

师接着说【然而，当 Δx 无限趋于 0 时，由于函数 y=x^2 连续，所以函数的增量 Δy 随着 Δx 无限趋于 0 时就永远无限趋于一个目标，该目标就是极限理论用 ε-δ 语言定义的极限概念．那么该目标又是什么呢？】

这不用问，太简单了，Δy的极限是0，

师说【我敢说：肯定是极限理论或薛问天先生不得不在去掉极限符号的同时，令本来≠0 的 Δx=0 而得到的值 2x。】

显然师先生在这里犯了严重的错误。把Δy的极限说成是求【在Δx≠0的条件下同Δy/Δx相等的函数2x+Δx】在Δx→0时，的极限了。

我前面已说过，我们求函数2x+Δx在Δx→0时的极限，是用极限的法则来求的，並不是师所说的【令本来≠0 的 Δx=0 而得到的值 2x。】

师先生还错误地说【这种求导数或极限的实际操作，是极限理论或薛问天先生的唯一途径，没有例外.】显然这是师的错误认识和错误的理解。

师先生问【我只请你薛问天先生回答 1 个问题，即你上述的目标值或导数值或极限值到底是什么？是不是在去掉极限符号的同时令本来≠0 的 Δx=0 而得的值 2x？你薛问天先生敢说不是吗】

我已回答得非常清楚。目标是求出极限值来。第一，当用极限法则来求极限时，当然敢说不是这个错误的求极限方法，所求的极限值是按我说的三个法则求出极限值等于2x，不是用的【在去掉极限符号的同时令本来≠0 的 Δx=0 而得的值 2x】。

第二，可以利用连续函数求极限的方法，因为函数G(Δx)=2x+Δx是连续函数，由于lim[Δx→0]G(Δx)=G(0)，所以lim[Δx→0](2x+Δx)=2x+0=2x，必须说清楚，用到了G(Δx)=2x+Δx是连续函数，求连续函数G(Δx)的极限可以【在去掉极限符号的同时令本来≠0 的 Δx=0 而得的极限值 G(0)】。

四，师先生对于 在Δx≠0 条件下Δy/Δx=2x+Δx，这个等式成立，有错误的理解。错误地认为它规定了函数F(Δx)和函数G(Δx)的定义域是Δx≠0。

在逻辑上要认清，我们说【在Δx≠0 条件下F(Δx)=G(Δx)等式成立】，只是说对自变量Δx≠0 的那些值，函数F(Δx)的函数值和G(Δx)的函数值相等。並没有规定函数F(Δx)和函数G(Δx)的定义域是Δx≠0。这在逻辑上很简单，例如我们说当x=1时x^2=x^3，这个x=1並不是说函数x^2和函数x^3的定义域就是x=1，只是说当自变量x=1时这两个函数的函数值相等。

师先生问【①函数G(Δx)=2x+Δx (Δx≠0)和F(Δx)=2x+Δx (Δx 可以等于 0)是不是同一个函数？请说明是或不是的理由．】

这是在函数的定义中明确用括号说明了 它们的定义域不同，自然是不同的函数。

师先生问【②你薛问天先生说的【对于 Δx≠0 有 Δy/Δx=2x+Δx】中的函数 2x+Δx，是①中的 G(Δx)还是 F(Δx)？并请说明理由】。

这里的Δx≠0只是在说等式成立的条件，并不是对函数Δy/Δx和函数2x+Δx给出它的定义，因而不能由它来决定函数的定义域。函数Δy/Δx由它表达式本身的商式决定定义域是Δx≠0，但函数2x+Δx在没有明确指明定义域的情况下，通常就由它表达式本身来定，它是线性代数式决定它是连续函数，定义域没有特别限制，自然Δx可以等于0。所以函数2x+Δx通常认为就是F(Δx)不是G(Δx)。

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