Zmn-1240 薛问天: 在微分的定义中不是【不允许Δx=0】，评师教民《1230》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对师教民先生的《Zmn-1230》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

在微分的定义中不是【不允许Δx=0】，

评师教民《1230》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

0，关于微分定义的问题。

我说：〖微分是这样定义的。如果有Δy=AΔx+o(Δx)．则令微分dy=AΔx，dx=Δx．即定义的微分 dy，dx 中，是允许 Δx=0 的．〗

师先生说【薛问天先生上述的微分定义中，【允许Δx=0】是错误的．因为在极限理论的微分定义中是不允许Δx=0的，不允许的理由是：在 Δx=0 时，o(Δx)=o(0)就不是比 Δx=0 更高级的无穷小了，所以微分定义的前提 Δy=AΔx+o(Δx)就错了，所以微分就定义不出来了，所以薛问天先生【允许Δx=0】就错误了．】

这完全是师教民先生的认识错误。

师说【在极限理论的微分定义中是不允许 Δx=0 的，不允许的理由是：在 Δx=0 时，o(Δx)=o(0)就不是比 Δx=0 更高级的无穷小了，】这完全是错误的认识。讨论函数在某点的微分，必然要求此函数在此点的某邻域中有定义，因而自然是知在Δx=0时Δy=0，即β(Δx)=Δy-AΔx，在Δx=0时，β(0)=0。所以不是【不允许Δx=0】，而是允许Δx=0。

要求Δy=AΔx+o(Δx)，只是要求在Δx≠0时，β(Δx)=o(Δx)，是比Δx更高阶的无穷小而己。要知道在Δx=0时，β(Δx)並不等于o(Δx)，师先生说【在Δx=0时，o(Δx)=o(0)】，本身就是错误的。

在Δx=0时Δy=0，即β(Δx)=Δy-AΔx，在Δx=0时，β(0)=0。得不出β(0)=o(0)。 

1 ，关于高级无穷小量的说法。

《β 是 α 的【高年级同学】》，和《β 是比 α 【更高年级的同学】》两者有何区别，意思有什么不一样．要知道说 α 的【高年级同学】说的就是比 α【更高年级的同学】．因而说《β 是 α 的【高阶无穷小】》同说《β 是比 α【更高阶的无穷小】》的意思是一样的，没有区别．因为《α 的【高阶无穷小】》就是《比 α【更高阶的无穷小】》．意思完全一样，都是【β 和 α 都是无穷小，但是 β 比 α 更高阶．】

师先生说【薛问天先生说的《β 是 α 的【高年级同学】》至少包括下述两种情况：《β 是比 α 【更高年级的同学】》和〖β 是 α 的同学，而且是比 α 更高年级的同学〗．薛问天先生说的《β 是比 α【更高年级的同学】》只包括上述两种情况的第 1 种情况．】

这种说法当然有误。《β 是比 α【更高年级的同学】》后面所说的【的同学】三字就说明了【β 是 α 的同学，】当然包括第2种情况中的全部内容。同理说β是《α 的【高阶无穷小】》同说β是《比 α【更高阶的无穷小】》．意思完全一样，都是【β 和 α 都是无穷小，而且 β是 比 α 更高阶的无穷小．】

师先生问【你薛问天先生说的“要知道说α的【高年级同学】说的就是比α【更高年级的同学】”有何根据？】这容易回答，就是通常用的对语义和语法理解习惯。凡说到【高】，既使不说【比】也有比的意思在其中。不知师先生故意在这里胡挑什么，有什么不同的含义出现什么矛盾？具体说出来！ 

2 ，关于高级无穷小量的定义

1)我说〖为什么没有比 0 更高阶的无穷小．是因为高阶无穷小的定义 o(α)中就不允许有 α=0．这才是真正的原因．〗师先生对此提不出任何真正反驳的理由。这次师先生说《我〖对此能提出一种真正反驳的理由〗，那就是：薛问天先生对高阶无穷小的定义的理解自相矛盾．其理由为：薛问天先生说：【高阶无穷小的定义 o(α)中就不允许有 α=0．】按照薛问天先生的这种解释，薛问天先生说的【高阶无穷小的定义 o(α)】中的 o(α)，就不会再是【高阶无穷小的定义】了，就成了【比不是 0 的无穷小更高阶的无穷小】的定义了，于是，薛问天先生先说的o(α)是【高阶无穷小】”与后边解释的“o(α) 是【比不是 0 的无穷小更高阶的无穷小】”就自相矛盾了，其理由是：【高阶无穷小】既包括【比不是 0 的无穷小更高阶的无穷小】，又包括【比是 0 的无穷小更高阶的无穷小】；【比不是 0 的无穷小更高阶的无穷小】不包括其他内容．薛问天先生可能辩解说：“所谓的【高阶无穷小】就是【比不是 0 的无穷小更高阶的无穷小】；根本就没有【比是 0 的无穷小更高阶的无穷小】，即根本就没有【比 0 更高阶的无穷小】．”那么，请问薛问天先生，你说“没有【比 0 更高阶的无穷小】”是根据什么？是凭空想像想出来的呢？还是空喊口号喊出来的？】

师先生还要问我【根据什么】 ？难道师先生真的不知道o(α)定义为α的【高级无穷小】中，明确要求α≠0吗？这个定义只定义了【不等于0的α的高级无穷小】，根本没有定义【等于0的α的高级无穷小】。师先生说【【高阶无穷小】既包括【比不是 0 的无穷小更高阶的无穷小】，又包括【比是 0 的无穷小更高阶的无穷小】。】是完全错误的，定义中明确要求α≠0，所以定义中不包括【比是 0 的无穷小α更高阶的无穷小】。定义中定义的是【比α更高阶的无穷小】，明确说明α≠0，因而定义的就是【不等于0的α的高级无穷小】。这里没有任何矛盾。

师先生说【如果你薛问天先生是因为没有定义才没有它的，那么事物没有定义就一定没有该事物吗？.】

当然如此，在数学中除了原始概念以外，任何存在的数学概念都要有定义。沒有定义，就意味着没有这个数学概念。这是人人都清楚的道理。根本不需要什么【证明】，更谈不上说这是什么违反【逻辑推理】。

2)前面已讲清楚【没有比α=0更高级的无穷小】这个结论，根平不需要证明。因为连定义都没有，这个数学概念都不存在。怎么能谈什么证明。李先生给出的证明完全是错误的。由【等于0的无穷小量α，是比所有α≠0的无穷小都要高级的无穷小】，在逻辑上推不出【没有比 α=0 更高级的无穷小】这个结论。从它是比所有 α≠0 的无穷小都高级的无穷小，怎么能推出没有比它更高级的无穷小？这从逻辑上推不出来！你用的是什么逻辑，根据什么推出这个结论？ 

3 关于微分定义的问题。

1)师说我把【微分定义里的 o(Δx)改成了 β(Δx)】。

①.②，对此我己说得相当清楚。不是【改】、【换】、【变】，是【把它说清楚．】微分定义里的β(Δx)=Δy-AΔx，在Δx≠0时，是Δx的高阶无穷小，记作o(Δx)。当然可以表示为在Δx≠0时，β(Δx)=o(Δx)。这是对o(Δx)的明确说明，怎么能是【改、变、换】呢？这就是把o(Δx)说清楚。它是在Δx≠0时，当Δx→0时β(Δx)/Δx→0，从而说β(Δx)是Δx的高阶无穷小，记作β(Δx)=o(Δx)。

③，而且我还强调β(Δx)=o(Δx)说的是当Δx≠0时的情况。【不要把在 Δx=0 时的 β(0)写成 o(0)就对了．】

师教民说【【Δx=0 时，β(Δx)的值 β(0)并不是 o(0)】说明，薛问天先生认为：β(0)≠o(0)．这就说明薛问天先生用本质上与 o(0)不同的 β(0)=0 代换了 o(0)，】

显然这是师认识上的错误。我明确指出Δy=AΔx+o(Δx)说的是在Δx≠0时的情况，此时有β(Δx)=o(Δx)。但是在Δx=0时，β(Δx)并不等于o(Δx)，所以不能错写成β(0)=o(0)。

师说【这就把极限理论的微分的定义在 Δx=0 时的前提 Δy=AΔx+o(Δx)中的 o(Δx)换成了不是比 Δx=0 更高级的无穷小，因此极限理论的微分的定义在 Δx=0 时的前提 Δy=AΔx+o(Δx)就错了，】

这就是师的认识错误，Δy=AΔx+o(Δx)说的是可微要求在Δx≠0时需要滿足的条件，微分的定义并没有【在 Δx=0 时的前提】。把β(Δx)=o(Δx)认为是【在 Δx=0 时的前提】是师先生认识的严重错误。因而由此错误所得出的结论说【薛问天先生在阐述极限理论的微分定义时允许 Δx=0 就错误了】自然是错误的。 

2)师先生知道，我在 Zmn-1215 的 03 中早己将此道理说得一清二楚。

〖要知道在定义中所要求的 Δy=AΔx+o(Δx)．指的就是公式 Δy=AΔx+β(Δx) 在 Δx≠0 时，当 Δx→0，β(Δx)是 Δx 的高阶无穷小，记作 β(Δx)=o(Δx)．在定义中並未提及对在 Δx=0 时的 β(0) 的要求．这是因为对任何有定义的函数，当 Δx=0 时都有 Δy=0，即 β(0)=0，所以不需要提要求．〗

师说【薛问天先生在后半段说：【在定义中並未提及对在 Δx=0 时的 β(0) 的要求．】人家极限理论中根本就没有 β(Δx)，当然就不可能对在 Δx=0 时的 β(Δx)，β(0) 提及要求了．】

师先生的脑子不够用。怎么能说【根本就没有β(Δx)】，我们所说的β(Δx)就是公式中的内容。β(Δx)=Δy-AΔ。微分定义的前提说的就是要求在Δx≠0时β(Δx)=o(Δx)。在定义中未提及对在 Δx=0 时的 β(0) 的要求，是因为大家都知道在 Δx=0 时的 β(0)=0，不需要提什么要求。要知道在Δx=0时，β(Δx)并不等于o(Δx)，认为β(0)是o(0)，说什么【极限理论就对在 Δx=0 时的 o(Δx)=o(0) 提及了要求．提及的要求就是：极限理论的微分定义的前提式 Δy=AΔx+o(Δx)中的 o(Δx)一定是比 Δx 更高级的无穷小．】

这是师先生的严重认识错误。

关键是师先生最后所得的结论是错误的。他说【极限理论在给微分下定义时，坚决不允许 Δx=0．而薛问天先生却允许 Δx=0．这就说明薛问天先生把极限理论的微分定义理解错了．】师先生错就错在没有认清，微分定义是允许Δx=0的。不是【坚决不允许Δx=0】，而是Δx可以等于0，也可以不等于0。只是要求在Δx≠0时，β(Δx)=o(Δx)是Δx的高级无穷小而已。

这在逻辑上是很简单的事。例如我们要求孩子的正常发育，常要求孩子在3岁时身高为92-99厘米，不超过1米，这是正常的非超高个子发育的标准。说的是孩子小于3岁时的要求，这在逻辑上绝对不是要求孩子【坚决不许长大超过3岁】。当然允许孩子长大超过3岁。

要求函数可微，是说要求当Δx≠0时β(Δx)=o(Δx)，不意味着【坚决不允许Δx=0】

3)极限理论中的可导的充分必要条件是：可导必可微，可微必可导，也就是说，导数存在时微分必存在，微分存在时导数必存在。大家都一直承认极限理论中的这个充分必要条件是正确的。

极限理论中的函数y=f(x)可微的定义是：设Δy，Δx，分别为函数的增量和自变量的增量 ，则 Δy=AΔx+o(Δx)成立，这是在说β(Δx)=Δy-AΔx当Δx≠0时，是比 Δx 更高的无穷小量，记作β(Δx)=o(Δx)。在这个微分的定义中，根本没有要求【不允许 Δx=0】，微分定义的前提只是要求【当Δx≠0时，β(Δx)=o(Δx)。】

师先生把Δx≠0错误地认为是【微分定义的前提】，说什么【Δx=0 时，微分就定义不出来了．】这完全是错误的认识。

我多次強调在可微和微分的定义中不是【不允许Δx=0】,而是【允许Δx=0】。特别指出微分是Δx的线性函数，dy=AΔx，dx=Δx．在这些函数的定义域中当然允许Δx=0。也就是说，在Δx=0时，微分值也是存在的，此时dy=0，dx=0。

当然在Δx≠0时，微分值也是存在的，此时的微商dy/dx等于函数的导数。对此我说得相当清楚〖函数的导数等于在 Δx≠0 时的微商 dy/dx，这个导数同在 Δx=0 时的微分值：dy=0，dx=0 没有关系．〗

从师先生的发问中，我发现师先生的逻辑存在大问题，怎么这么简单的逻辑竟然答不上来！我们来看师先生的发问。师问【请问薛问天先生，你不是知道微分存在就是可微吗？怎么你知道了【Δx=0 时的微分值有 dy=0，dx=0】而存在，就又对你在后边说的【函数可微不可微，函数的微分这个线性函数存在不存在，全然不知道】了呢？】

师先生竟然分不清【函数的微分这个线性函数】的存在同【Δx=0 时的微分值有 dy=0，dx=0】的存在，这两者的不同，函数在Δx=0点的函数值的存在，能同微分的函数的存在一样吗？我前面己说得到清清楚楚〖仅仅说 Δx=0 时的微分值存在，函数可微不可微，函数的微分这个线性函数存在不存在，全然不知道，怎么能得出【函数的导数必存在】这样的结论．〗

仅仅说【Δx=0时的微分值存在】显然不够。必须说【微分这个线性函数存在】即【Δx=0和Δx≠0时的微分值都存在】才是可微的。怎么这么简单的逻辑都不懂。

师问【请问薛问天先生，你不是承认极限理论的微分存在必有导数存在吗？那么你承认了【Δx=0 时的微分值有 dy=0，dx=0】而存在，怎么就不敢承认【Δx=0 时的导数值存在】呢？你要是不敢承认【Δx=0时的导数值存在】不就是自己打了自己的脸吗？】

师的概念混乱到极点了。导数是函数在x点的导数，或者说是变量x的导函数。导数不是Δx的函数，哪有什么【Δx=0 时的导数值】。只有微分是Δx的函数，有【Δx=0 时的微分值】。师先生的逻辑和概念混乱不湛。

我在《1215》己说得很清楚，〖要知道只有在【函数的微分存在时，函数的导数必存在】，该点的函数的导数值等于 Δx≠0 时的微商 dy/dx，同 Δx=0 时的微分值 dy=0，dx=0 没有关系．〗

师说【可是，函数在 Δx=0 时的微商即导数就与【Δx=0 时的微分值 dy=0，dx=0】有关系了．薛问天先生已经承认了【函数的微分存在时，其导数必存在】．我就是问的对【Δx=0 时的微分值 dy=0，dx=0】，必存在的微商即导数是什么？关于这个问题我已经问了很多次了，】

可見师先生的概念完全是混乱的。

导数是函数在x点的导数，或者说是变量x的导函数。导数不是Δx的函数，哪有什么【函数在 Δx=0 时的微商即导数】。导数是函数的导数，是在可微时必可导。只要微分存在，导数就存在。导数是由Δx≠0的微分商值所唯一确定的。不是对不同的微分值存在不同的导数。哪有什么【对【Δx=0 时的微分值 dy=0，dx=0】，必存在的微商即导数】。

师先生认为【当 Δx 不同到等于 0 时导数值就改变了．所以函数应该有同 Δx=0 时的微分值 dy=0，dx=0【相应的导数】，】这是对导数的错误认识，导数不随存在的微分这个线性函数中自变量Δx的变化而改变。我在《1215》中己说得非常清楚〖函数可导时，在确定点上函数的导数是唯一确定的，并不随微分值因 Δx 的不同而不同来改变。〗

4 ，师先生明确承认【是师先生看错了．我向全科学界承认这个错误．】对此表示赞賞！

5 ，关于极限符号问题。

1)写出等式lim[Δx→0]G(Δx)=G(0)，必须说清，

第一，此式对在Δx=0点连续的函数 G(Δx)成立，此式对在Δx=0点不连续的函数 G(Δx)不成立;

第二，等式左端【加上极限符号】lim[Δx→0]，是为了求函数G(Δx)在Δx→0时的极限。

第三，等式右端【去掉加上的极限符号且令本来≠0 的 Δx=0】，是说明G(0)是所求的极限值。

当然，写出等式lim[Δx→a]G(Δx)=G(a)，也是可以的，不是【错误的】，但必须说清，

第一，此式对在Δx=a点连续的函数 G(Δx)成立，此式对在Δx=a点不连续的函数 G(Δx)不成立;

第二，等式左端【加上极限符号】lim[Δx→a]，是为了求函数G(Δx)在Δx→a时的极限。

第三，等式右端【去掉加上的极限符号且令本来≠a 的 Δx=a】，是说明G(a)是所求的极限值。

2)师先生说【薛问天先生对于上述【G(Δx)是连续函数的条件下】的连续函数 G(Δx) 的理解是错误的．理由同上述 1)中的理由．对于上述【没有 G(Δx) 是连续函数这个条件】的函数 G(Δx)，Δx→0 时的极限值就不能等于函数 G(Δx) 在 Δx=0 处的函数值 G(0)了，因为 G(Δx) 在 Δx=0 处间断，G(0) 根本就不存在．但是，极限理论或薛问天先生定义的在Δx=0 处间断的函数 G(Δx) 在 Δx→0 时的极限值一定会等于令本来≠0 的 Δx=0 时的值（注意：该值不是在 Δx=0 时的函数值，因为 G(Δx) 在 Δx=0 处没有函数值）．这可以在下述的 3)，4)中求函数 y=x^2 的导数的例子中得到证实． 】

由于利用等式lim[Δx→0]G(Δx)=G(0)，必须说清，此式对在Δx=0点连续的函数 G(Δx)成立，此式对在Δx=0点不连续的函数 G(Δx)不成立，所以不能随意使用，对不连续的函数，必须根据极限法则去求极限，还要随意【去掉极限符号且令本来≠0 的 Δx=0】，则是严重错误。我们来看，师先生下面3)和4)的论述是错误的 。 

3)在求函数y=x^2的导数的例子中，有个在Δx≠0下成立的等式 Δy/Δx=2x+Δx，其中等号两端是两个函数．函数 Δy/Δx 在 Δx=0 点没有定义．但函数 2x+Δx 在 Δx=0 点却是有定义的，而且是连续函数．这个等号只是说明这两个函数在 Δx≠0 的所有点函数值相等而已．並不说明这两个函数是同一个函数。定义域相同是Δx≠0。

师教民先生对这个在 Δx≠0下成立 的等式 Δy/Δx=2x+Δx，有错误的理解。他错误地认为等式左右两边的函数 Δy/Δx和2x+Δx 是同一个函数，而且它们的定义域都是【 Δx 不等于 0】。显然这样的理解是错误的。要知道在Δx≠0下成立的等式，只能断定在Δx=0下等式不一定成立。从逻辑上讲，在Δx=0下等式不一定成立有可能两个函数都超出定义域没有定义，还有可能一个有定义一个没有定义，甚至两个都有定义且不相等。你怎么能断定两个函数在Δx=0下都没有定义，定义域都是Δx≠0。

师先生对这个在Δx≠0下成立的等式，说【因为等号两端的函数是相等量且两端函数的定义域都是 Δx≠0 而相同，所以 Δy/Δx 和 2x+Δx 就是同一个函数了．】的说法是完全错误的。

【定义域不同的两个函数】完全可能在它们定义域的某个共同部分(交集的某子集)，函数值完全相等，这是可能的事实，不是【笑话】。反之，凭白无故地不承认这个事实的存在才是【天大的笑话】。

4)在求函数 y=x^2 的导数的例子中，有在Δx≠0下成立 的等式 Δy/Δx=2x+Δx，从而导数等于lim[Δx→0](Δy/Δx)=lim[Δx→0](2x+Δx)=2x+0=2x。

师先生在《1193》中问【你们只去掉后边的【极限符号】，不去掉前边的【极限符号】，这还公平吗?】

我己明确回答〖为什么是公平的，就因为后边的函数 2x+Δx 是连续函数，而前边的函数 Δy /Δx 是非连续函数．〗对于连续函数 G(Δx)=2x+Δx，求极限时，已严格证明lim[Δx→0]G(Δx)=G(0)．所以得出lim[Δx→0](2x+Δx)=2x+0=2x。

师这次的评论主要说G(Δx)=2x+Δx不是连续函数。不过我已在3)中评论过了。这里的G(Δx)=2x+Δx的定义域是允许包括Δx=0，是连续函数，不能由在Δx≠0下的等式就断定它的定义域是Δx≠0。师所说的2x+Δx不是连续函数的断言是错误的。因而师在4)中的评论完全不成立 。

另外，我曾多次说过，利用连续函数求极限只是一种方法，求极限可以用极限理论直接来求。怎么求出lim[Δx→0](2x+Δx)=2x ？

首先，根据极限理论中【和的极限等于极限的和】，所以

lim[Δx→0](2x+Δx)=lim[Δx→0](2x)+lim[Δx→0](Δx)。

再根据【常数的极限等于自己】，所以式中的第一项，lim[Δx→0](2x)=2x。

接着根据【当Δx→0时，Δx的极限等于0】，所以式中的第二项，lim[Δx→0](Δx)=0。

由这三条推理，即最后由如此简单的极限理论推出

lim[Δx→0](2x+Δx)=2x+0=2x。

显然这种求极限的方法同用连续函数【去掉极限符号且令本来≠0 的 Δx=0】的方法是完全不同的。

我在这里要明确告诉师先生，师先生在不承认2x+Δx是连续函数的情况下还要用【去掉极限符号且令本来≠0 的 Δx=0】的方法来求极限，是完全错误的。以及对这种方法的批评，什么【犯了 2 条重大科学错误】。把它说成是【极限理论或薛问天先生求函数 y=x^2 的导数的实际操作式】，这完全错了。你批判的是师教民理解错误的【操作式】。不是极限理论或薛问天先生的【操作式】，极限理论的求限限的规则都是严格证明的，对于用【去掉极限符号且令本来≠0 的 Δx=0】的方法来求极限，则要求必须是连续函数。因而所有的这些批评都不是针对极限理论的，是废话连篇无的放矢。

对于用【去掉极限符号且令本来≠0 的 Δx=0】的方法来求极限，则要求必须是连续函数。关于这个内容己说过多次，不知师先生对此为何还不清楚，还要在【反例】上提出问题。

要知道G(Δx)=2x+Δx是Δx的线性代数函数。在Δx=0点连续。因而

lim[Δx→0]G(Δx)=G(0)，即lim[Δx→0](2x+Δx)=2x+0=0。

函数G(Δx)=cos((2x+Δx)/2)是连续函数，因而

lim[Δx→0]cos((2x+Δx)/2)=cos((2x+0)/2)=cos x。

但G(Δx)=Δy/Δx和G(Δx)=sinΔx/Δx，在Δx=0点不连续，所以lim[Δx→0]G(Δx)不能等于即不能写成G(0)，lim[Δx→0](Δy/Δx)不能等于0/0，lim[Δx→0](sinΔx/Δx)不能写成0/0，这就是反例.

在师举的求函数y=sinx 的导数的例子中，师的推导有错误。师先生是这样写的:

【lim[Δx→0](Δy/Δx)=

lim[Δx→0]cos((2x+Δx)/2)*(sin(Δx/2)/(Δx/2))=

cos((2x+0)/2)*(sin(0/2)/(0/2))=cos2x *1=cos2x 】

要知道cos((2x+Δx)/2)是连续函数，

lim[Δx→0]cos((2x+Δx)/2)=cos((2x+0)/2)=cos2x 这很正常。但是

sin(Δx/2)/(Δx/2)並不是连续函数，所以写出

lim[Δx→0](sin(Δx/2)/(Δx/2))=(sin(0/2)/(0/2))= 1，就是错误的推理，况且

(sin(0/2)/(0/2))= 0/0，怎么说它等于1呃？全是错误的推理。而是根据极限理论可证lim[Δx→0](sin(Δx/2)/(Δx/2))=1，而不能乱写成

lim[Δx→0](sin(Δx/2)/(Δx/2))=(sin(0/2)/(0/2))=0/0=1，

师先生对他的做法做了这样的解释。说【假如说 Δx 永远不等于 0，因为Δx/2和Sin(Δx/2)分别是圆上任意两点间的半弧长与半弦长而永不相等，所以sin(Δx/2)/(Δx/2)永不等于 1，同时cos((2x+Δx)/2)也永不等于 cos x；但是，如果一旦 Δx=0，那么因为Δx/2和 sin(Δx/2)就都变成上述圆上同一点的半点长而相等，所以sin(0/2)/(0/2)就永远等于 1，同时cos((2x+0)/2)也永远等于 cosx；所以就得到 G(0)=0/0=cos x *1=cos x．故我才说“极限理论的成为导数的极限值就是(Δy/Δx)=cos((2x+Δx)/2)*(sin(Δx/2)/(Δx/2))在 Δx=0 时的值（注意：该值不是在 Δx=0 时的函数值，因为 G(Δx) 在 Δx=0 处没有值）。】

可以说师先生的这些解释根本不是数学。完全是由他的主观意愿在毫无数学根据地胡乱捏造。

cos((2x+Δx)/2)是连续函数，lim[Δx→0]cos((2x+Δx)/2)=cos((2x+0)/2)=cos2x 这很正常。但要说明这是根据它是连续函数才能这么做。可笑的是sin(Δx/2)/(Δx/2)並不是连续函数，所以用【去掉极限符号且令本来≠0 的 Δx=0】来求极限，写出

lim[Δx→0](sin(Δx/2)/(Δx/2))=(sin(0/2)/(0/2))=1，就是师先生完全错误的方法。还说什么【如果一旦 Δx=0，那么因为Δx/2和 sin(Δx/2)就都变成上述圆上同一点的半点长而相等，所以sin(0/2)/(0/2)就永远等于1，】sin(0/2)/(0/2)是0/0，毫无意义怎么可以【永远等于1】。要知道必须用极限理论严格证明: lim[Δx→0](sin(Δx/2)/(Δx/2))=1。要是师先生不知如何证，我可以告诉你如何证。

定理。当Δx→0时，(sin(Δx)/(Δx))的极限等于1。

证明。知在Δx＞0的0点某邻域中，有下述不等式。

sin(Δx)<Δx<tan(Δx)。除以sin(Δx)，得

1<Δx/sin(Δx)<1/cos(Δc)。再求倒数得

cos(Δx)<sin(Δx)/Δx<1。

由于知cos(Δx)是连续函数，lim[Δx→0]cos(Δx)=cos(0)=1，所以由上不等式即可得:

lim[Δx→0](sin(Δx)/Δx)=1。证毕。

6 关于对名著原话的理解问题，

己说过多次了 。没想到师先生还在坚持他的错误 。说的够多了，不再说了。请师先生再慢慢仔细想想吧。我把原话再引一遍。【严格地说，函数的隐示式和显示式的对立性仅当显示式被理解为显的解析表示式时始能显得十分明确；不然，若把按任何规则[45]所给定的函数都看作显函数，则借助于方程(1)以确定y是x的函数并不劣于其它任何方法。】

该文写得很清楚，【......显得十分明确;不然，若把......】这个【...不然，若把...】后面的话当然是否定的内容。怎么能是肯定的意思。你能用【...不然，若把...】造个句试试，能不能是肯定的内容。在不然前面是肯定的内容，在不然后面必然是要否定的。

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