Zmn-1209 李鸿仪  : 科学的自洽、他洽和集合论悖论

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科学的自洽、他洽和集合论悖论

李鸿仪 Leehyb@139.com 

    摘要:集合论中存在的众多悖论，说明集合论是一门尚未做到自洽的、不成熟的科学，需要数学家从批判的角度分析其原因并加以改进。对不成熟的科学及其创始人要持批判态度，不能盲目迷信，更不能顶礼膜拜。康托和希尔伯特虽然如雷贯耳，但是他们对悖论视而不见的鸵鸟政策，缺乏起码的科学精神。"数学哲学"专业出身的罗素缺乏严格的数学训练，不是数学家， 他提出的罗素悖论并不存在。数理逻辑不够严格，例如，"任意一个"元素和"全体"元素并不是同一个概念，不能用同一个量词符号"∀"表示。不存在全体自然数这一概念，由此形成的大量的集合论悖论和错误都是不应该出现的。例如，所谓对角线论证就是假定小数个数与小数位数这两个完全不同的自然数集合都是同一个自然数集合才得出的。本文给出了两种一一列出实数的方法，直接推翻了对角线论证。由于不存在全体自然数，数学归纳法只能用来证明某命题对任意自然数成立，而不能用来证明该命题对全体自然数成立。自然数集合也只能定义为包含任意一个自然数的集合，而不能定义为包含所有自然数的集合。无限集合的元素数目是可以精确定义和比较的，由此可以建立精确可靠的、比较无限集合大小的方法，数学史在这方面走了太多的弯路。由于盲目迷信和自我封闭，且对悖论和自相矛盾麻木不仁，主流数学界在集合论基础方面还停留在100多年前的水平，需要提醒主流数学界注意这个问题，并自觉地提高对自相矛盾和悖论的警觉性和敏感性，加强批判性思维能力的自我培养。   

       关键词: 自洽；他洽；集合论；悖论；批判性思维

1引言        科学是描述世界的概念体系。这个概念体系首先必须是自洽的，既不允许存在任何哪怕一丁点儿的自相矛盾。同时也必须是他洽的。这里他洽是指这个概念体系与其所要描述的世界没有根本性的冲突。         集合论中存在大量自相矛盾的观点和悖论，比如有理数既和自然数一样多，又比自然数多；偶数既和自然数一样多，又比自然数少；部分既小于又等于全体；一维空间和二维空间的实数点数相同；一个无限旅馆可以既客满又不客滿；存在的东西却不能一一列出等等。同时，集合论在一些基本观点上，与所要描写的事物也不他洽，例如，自然数集合的无限性在于且仅在于其自然数的数目是可以无限增加的，但集合论却把自然数集合看成是一个已经包含了所有自然数即外延固定、元素数目不能再增加的集合。 现分述如下。          

2 科学的自洽和悖论         科学并不是封闭的神学论坛。在神学中，你的地盘你做主，我的地盘我做主，有冲突甚至还会发动宗教战争。         那都是野蛮、落后、不开化的表现。         科学是需要且可以交流的，其通用的语言是逻辑。谁对谁错，可以通过严格的逻辑证明来判断。错误的东西最后会退出历史舞台。        任何一门科学，自洽是最基本的要求。  比如在一门科学中，一会儿说1加1等于2，一会儿又说1加1不等于2，这样的"科学"，只会被人嘲笑，并不是真正的科学。         即使在社会科学中，自相矛盾也是不允许的。例如某事物既好又不好，就是一种错误的表述。正确的说法是某事物A的一面对另一其他事物B是好的，另一面对B是不好的。以麻雀为例，它吃害虫这一面对人类是有利的，但他吃粮食这一面对人类是不利的。         存在自相矛盾的悖论即不自洽，说明这门科学至多是一门正在发展中的、不成熟的科学。         对于这样不成熟的科学，任何一个具有批判性思维和科研能力的人都会恨铁不成钢、居高临下、想方设法地找出不成熟的根源并尽力使它成熟起来，而不是病态地把它像宗教教义那样供奉起来甚至顶礼膜拜，禁锢人们的思想。        对悖论也要尽力将其消灭而不是闭着眼睛视而不见甚至试图使之合法化。         对着不成熟的科学都要盲目迷信甚至顶礼膜拜，是毫无批判性思维能力、不成熟的表现，恰如盲目夸赞一个严重的精神病人如何如何聪明、健康一样荒诞可笑。不客气地说，这种人都是因为无原则地崇拜权威而导致完全丧失批判性思维能力，思维疆化，大脑急需拯救和医治的病人。         集合论就是一门充满了悖论，不成熟的，正在发展中的科学。         集合论中存在大量悖论，其中最著名的是所谓罗素悖论。        通常认为，罗素是一位哲学家，文学家，逻辑学家和数学家。但他其实并不是数学家。他的影响巨大的《数学原理》其实是逻辑学著作，而且也未必严格。他从来没有发表过一篇真正的数学论文或著作，唯一看上去像是几何论文的文章，其实也是他数学哲学专业的毕业论文，讨论的是哲学意味浓厚的非欧几何。         这就说明，他未必经过严格的数学训练，其思维也未必十分严格。        所谓罗素悖论， 其隐含的前提是存在着一个包含自身的集合。这本身就是思维混乱的产物。         所谓集合，都是把一些事物(后称为元素)放在一起所形成的，即先有元素，后有集合,从因果关系来说，元素是因，集合是果。从数学定义的角度来说，先有后称为元素的各种事物的定义，然后才能用这些事物的定义来定义一个集合。        既然如此，在一个集合的定义过程中，这个集合根本还没形成，怎么会成为元素呢？难道不是典型的因果倒错吗？         父母是因，孩子是果。孩子能生出父母吗？        而且，迄今为止，所有所谓包含自身的集合的例子，都是经不起严格思维推敲的。         最接近的所谓包含自身的集合的例子，是所谓书目悖论:图书馆的《书目》中出现了《书目》本身。

      《书目》={《书目》，书名1，书名2，...} 

      然而，这里两个《书目》根本不是一回事，等号左边的《书目》是厚厚的一本书，而其中包含的《书目》即等号右边的《书目》只是一个书名，书和书名是一回事吗？        典型不动脑筋而导致的概念混淆！         所以，这个悖论其实根本就不存在。         为了消除这个不存在的悖论而大动干戈地建立所谓公理化集合论，也是大炮打未必存在的蚊子，其必要性存疑。而且，公理化集合论甚至没有定义什么叫集合，就开始讨论与集合有关的命题，这在逻辑上至少是不完善的。所谓公理化集合论本身也并没有解决本文序言中提到的任何一个悖论，甚至连所谓连续统假设是真是假都无法辨别。 

为了掩盖集合论中的各种悖论，有的人就只能装作看不见悖论或者干脆否认悖论的存在。例如，集合论的创始人康托，发现他的理论会导致部分等于全体这一明显的与几何公理相矛盾的悖论，于是他就说一点矛盾也没有。

希尔伯特在给出无限旅馆既客满又不客滿这一明显的自相矛盾的论述时，就说这不是矛盾，是无限的特点。     对于业内人士来说，无论是康托还是希尔伯特，都是如雷贯耳的权威，但旁观者清。 在我这个旁观者看来，这种把头埋在沙里的驼鸟做法，并没有任何科学意义。     有研究表明，以中国人为主的东亚人的平均智商是全球最高的。所以我们不能妄自菲薄，对欧美的学术成果只会仰望，不会俯视。可能有些中国人，骨子里认为外国人天生都是高大上的，哪怕是外国人犯了一个低级错误，也要想方设法把错误合法化，以显得自己也很高大上，最后把自己也绕进去了,对着再明显不过的悖论和矛盾，坚定地认为确实″一点矛盾也没有″，是"无限的特点″。

        显然这种态度是错误的。

        除了这些悖论以外，集合论中还存在其他大量的悖论，这些悖论其实也都是可以消除的，甚至根本就不应该出现。 

3  科学的他洽        所谓他洽，是指科学与其所要描述的事物之间没有根本性的冲突。         这里之所以要说没有根本性的冲突，是因为我们不能保证科学与他所要描述的事物是一模一样的。有时候为了研究方便，我们会对所要研究的事物做一些抽象等简化处理，例如，实际的点总是有大小的，但是我们把它抽象成没有大小的点并不会影响对几何图形的最后计算结果，但却大大简化了问题。这种不一致当然不会造成根本性的冲突。      然而，如果某种不一致会造成根本性的冲突，那就会使得科学根本就无法描述所要描述的事物，当然是不允许的。        比如，假定人类已经得到永生，且地球的空间和资源都是无限的，地球上的人就会越来越多，甚至还可能移居到其他星球，显然，任何一个人都知道这时候不可能存在一个已经包含了全体人类且人口数量不再增加的全体人类的集合。         定义这样一个全人类的集合是与事实严重冲突的，由此建立的理论必然会导致各种矛盾。         再例如，如果一个水龙头永远开着，我们不可能把它流出来的水全部装在一个体积固定的容器里。       科学既然是描述世界的一个概念体系，其中每个概念当然都是人们为了描述方便而人为定义的。恰如不要把照镜子的人和镜子里的影象混为一谈一样，不要把世界本身和描述世界的概念体系混为一谈，前者是客观存在的，后者不过是为了描述前者由人的主观意识产生的。例如，自然界原本并没有自然数，但人们在实践中发现需要有这样一个概念才能描述事物最简单的数量关系，于是才在人的意识中定义了自然数这一概念。

       在皮亚诺公理中，先规定0(或1)为自然数，然后再用后继数概念来定义下一个自然数。自然数就是这样一个一个定义出来的。这个定义过程是永远不会完成的，因此不存在全部定义好了的自然数，可以无限定义下去的自然数也不可能全部装在一个外延固定的集合里。

        把自然数集合看成一个已经包含了全体自然数且自然数的数目不再增加的集合与事实严重冲突，即不他洽，必然会导致大量的错误。

    那么能不能把一个已经包含了全体自然数，且外延固定的集合看作一个定义呢？         事实上，通过一些定义，公理或规定，确实可以像做游戏一样形成一门数学分支。有的人可能就会因此认为科学不过是游戏,和现实世界未必有关，所以也没有必要要求科学他洽。这显然是片面的。         有的人可能不服气，认为科学不一定他洽。例如，欧氏空间中平行线是不相交的，但在罗氏几何中，平行线却在无限远处相交，那么，罗氏的平行公理难道不是像做游戏一样提出来的吗？有什么他洽不他洽的？         在人的视觉中，由于近大远小的视觉效应，平行线在无限远处看上去就是相交的。所以罗氏几何的平行公理与人的视觉他洽，并没有离开该几何所要描写的世界:人的视觉世界。         在未来，通过一些定义，公理和规定而形成一门数学分支，或许完全可以用计算机来快速机械地进行。到那时这样的数学分支毫无技术难度且多如牛毛，有谁会感兴趣？        人们真正感兴趣的，必然还是那些有实际意义的数学分支和概念。其余的分支和概念，只能作为备胎，留在计算机里，等待人们去发现它们的实用意义。        所以，真正有意义的数学分支或数学概念，必然是与现实世界有关，且能够正确描述现实世界的。         这就是他洽的必要性。         因此，把自然数集合定义为包含了全体自然数且外延固定的集合与事实严重冲突，由此建立的理论不可能做到他洽。        为了更清楚地讨论这个问题，假定有以下四个命题，         A:自然数集合的元素通过后继定义而增加的过程是不能完成的。        B自然数集合的外延是固定不变的。        C自然数集合是唯一的。        D 存在着包含全体自然数的集合。        很容易用B证明C:        如果两个自然数集合X，Y的外延都是固定的，就可以用外延公理证明，这两个集合是同一个集合:任意一个属于Ⅹ的自然数n显然也属于Y，反之亦然。         也很容易用C证明D(反证法):         如果自然数集合只包含部分自然数，就可以存在两个各自包含不同的自然数的集合，与C矛盾。        用D来证明B则更简单:既然自然数集合已经包含了所有的自然数，它的外延当然是确定不变的。         这样，B，C，D都可以互推，因此是三个互为充分必要条件的命题。         如果其中任何一个是对(或错)的，另外两个也必然是对(或错)的。         但其中命题A是形成无限自然数集合所必须的:如果后继定义能够完成，就不可能得到无限多的自然数，又哪里来无限的自然数集合？      但A和B显然互相矛盾:既然后继定义不能完成，自然数集合的外延就必然在不断增加，永远不可能形成外延固定的自然数集合。     所以只要承认A，则B，C，D就都不成立。      如果试图用D来推翻A，以符合无限可完成这一所谓现代实无限观。但其隐含的假定就是先入为主地认为D是正确的。但凭什么说D是正确的，其所描写的集合究竟是客观存在还只是主观臆想？有证明吗？       事实上，如同不存在全体人类这一集合一样，由于定义自然数的过程永远不能完成，所以永远不可能形成由所有自然数组成的集合，这是因为，只有假定定义自然数的过程可以完成，才有可能形成全体自然数。         所以D是证明不了的，又怎么能用D来推翻A呢？         相反，要证明D不成立倒是非常容易:      为此。

定义：对元素进行计数得到的结果称为元素数目，这里，计数是指对元素做以下的加法统计运算

a+a+.....                                   .(1)

a称为计数单位。例如a=1时，相当于对元素一个一个计数，a=2时，相当于对元素两个两个计数...

计数结果则是上述加法运算的和。显然对于有限集合，计数次数n是有限的，所以(1)的结果是na，为一有限值，对于无限集合，计数次数是无限的，因此，(1)的计数结果是n→∞时的lim na，a=1时，恰与数列{n}的不正常极限即∞一致。

在数学分析中，∞实际上是可以参与计算的，例如在求无穷大或无穷小的阶时，就要用到两个无穷大的比值。若把{n}看做是一个离散变量的各个取值，则∞表示离散变量大于任意大的一个正整数N的取值。显然，由于{n}在实数域内，故离散变量的任意取值仍然在实数域内，所以∞也在实数域内。由于∞是离散变量的取值，所以也不是常数。事实上，实数域内的任何常数都是有限值。

把∞看作是一个常数，本质上是混淆了发散和极限的区别，后者才是一个常数。

康托的许多错误都与此有关。例如序数和自然数密切有关，既然自然数没有极限，序数当然也没有极限。

公式（1）的计算结果也可以看作是一个发散的无穷级数的和。

虽然计数结果是无穷大，也是有计算意义的，例如，我们可以计算两个无穷大之比值。

这里要注意，无论是有限集合还是无限集合，元素数目都是对元素进行计数得到的结果，这个定义是明确的。         定义是不是明确与能不能得到具体数值是两回事。例如，在物理学中，电位是指单位正电荷在静电场中某一点所具有的电势能。这个定义是明确的，但电位的绝对值却不能根据这个定义直接得到，这是因为电位的大小取决于所选的零电位点，而零电位点的选择是任意的。另一个例子是在化学热力学中，化学位的绝对值是无法知道的，于是人们就定义了一个标准状态(一般是25度1大气压时的状态)，计算实际状态和这个标准状态之间的化学位差值。     这种定义明确但得不到绝对值的现象在科学中司空见惯，人们通常都可以通过计算其相对值来解决问题。     命题1:不存在包含全体自然数的集合。     证明(反证法):假定存在一个已经包含了全体自然数的自然数集合X，由于自然数是无限多的，因此Ⅹ是无限集合。但是既然X已经包含了全体自然数，即已经没有其他自然数了，所以X的元素数目不再增加，而是固定不变的，由于实数域内任何固定不变的数都是有限数，因此Ⅹ是有限集合，矛盾！所以，Ⅹ不存在 。证毕       以下命题则直接推翻了命题C。       命题2对集合N={1，2，3...}和N′={2n-1，2n|n∈N}，N′的元素数目是N的两倍。        证明， 分别用n和m表示N和N′在有限时的元素数目，由于N每增加一个元素，N′增加两个元素，故在有限情况下，两个集合的元素之比为m/n=2，则n→∞时，Lim  (m/n)=Lim(2)=2，证毕       用计数单位或数学归纳法也很容易证明这两个无穷大的比值是2。

在命题2中，我们并不需要知道∞究竟应该取多大，都可以知道其比值是2。

这里要注意①N和N′这两个集合都是无限的自然数集合，而不是有限集合；②集合是由其外延决定的，这两个集合的元素数目不同，外延自然不同，因此是两个不同的自然数集合。      命题2不但直接推翻了命题C，而且也推翻了命题D:既然存在不同的自然数集合，哪一个才是包含了全体自然数的集合？                 自然数集合不唯一的原因其实非常简单:由于定义自然数的过程永远不能完成，所以永远只存在正在形成中的自然数集合，而不存在已经完成了的自然数集合，而正在形成中的自然数集合有的形成得快，有的形成得慢，当然就不一样了，例如N′的形成速度就是N的两倍，所以在任何时候，哪怕是时间趋于无限时，N′的元素永远是N的两倍。     命题2的另一个重大意义是给出了用元素数目来比较集合大小的方法，比所谓的基数理论要精确可靠得多。例如，根据基数理论，N和N′这两个集合都是自然数集合，基数相同，但是它们的大小显然不同。再例如，根据基数理论，N1={0}UN与N基数相同，但是很容易看出(或用数学归纳法证明)，N1比N多了一个元素，所以两者的大小并不相同:N1比N要大。     类似于前述，也不能把命题D看作是一个不需要证明的规定或定义:定义或规定并不是任意的，至少不能与其他相关命题矛盾，比如如果把D看做规定或定义，就和显然正确的A矛盾，也与命题1与命题2矛盾，而且如前所述，也完全不符合事实。这是不允许的。      这是因为，如果一个定义或规定与一些其他的相关命题或事实相矛盾，那么引入这个定义或规定以后，除了引入一大片既不自洽又不他洽的矛盾以外，还会有什么结果？      其实，在所有认为存在全体自然数或自然数集合是唯一的人的潜意识中，都认为自然数是能定义完的，也就是说自然数序列是有一个尽头的，否则就不可能定义完并形成已包含全体自然数且自然数的数目不再增加的集合。但如果你问他这个尽头在哪里？他就说不上来了。      本质上还是用想当然代替事实！把对有限集合的经验毫无理由地推广到了无限集合。      事实上，即使你给他无限多的时间，也就是说，即使他能够定义无限多个自然数，他也不能把自然数定义完，这是因为:永远存在还没有定义到的自然数！     同样，即使规定定义一个数只需要无限小的时间甚至0秒，那么当定义数耗费的时间大于零时，他也可以定义到无限个数，却仍然不能把自然数定义完。     无限即使能够达到，也是永远完成不了的。       另一个例子是有的人认为0和1之间有无限多个数，这个无限就是已经完成了的。             0和1之间究竟是有有限多个数还是无限多个数，这个问题并不能一概而论。例如，如果限定一位小数，把0包括进去，区间内就只有10个小数，如果限定2位小数，那就只有100个小数......随着小数位数n的增加，小数的个数也增加，而n增加的过程是永远不能完成的，所以小数个数的增加过程也是永远不能完成的。    有的人以为所有的小数本来就在那里，比如说0.1，这个数不就在那里吗？     其实，只要n≥1，就存在0.1这个数，所以存在0.1这个数一点都不奇怪。

容易证明，当且仅当n的增加是有界时，所列出的小数才是有限小数。因此，当n的增加没有上界时，用上述方法列出的数里也包括了小数位数n的增加没有上界的无限小数。

     相反，如果认为这种方法只能列出有限小数，实际上就是认为n的增加是有界的，与n的增加无界这一前提矛盾。

     这就给出了一一列出包含无限小数在内的实数的方法。

     当然，用这种列出实数的方法实际上是列不完实数的，这个很正常，只有有限集合的元素才能全部列完。包括自然数集合在内的任何无限集合的元素都是列不完的。

由于无限集合的元素是列不完的，所以当我们试图一一列出其元素时，总可以把这些元素分成两类，一类是已经列出的，一类是还没有列出的。 例如，在上述一一列出实数的方法中，部分有限小数是已经列出的，包括无限小数在内的其他小数是还没有列出的。

另一个一一列出实数的方法是随机方法:在区间内，随机取一个数，将其下标定为1，再随机取另一个数，将其下标定为2......不难发现，采用这种方法，已经列出和还没有列出的数中都既包含有限小数，也包含无限小数。

由于上述方法是随机的，因此不可能只列出实数集中包含的某一子集的元素。

本文序言中提到的所有悖论，都是建立在存在全体自然数即自然数集合是唯一的这一错误假定基础上的。一旦这个错误假定被去掉，这些悖论自然也就不存在了，例如，所谓对角线论证就是假定小数个数与小数位数都是同一个自然数集合才能得出的。本文给出的两种一一列出实数的方法，直接推翻了所谓对角线论证。

  无限小数的位数是无限多的。无限自然数集合的元素也是无限多的。而无限小数的位数只能用自然数来表示。所以可以把无限小数定义为其位数与自然数集合一一对应的小数。     由于自然数集合不是唯一的，所以无限小数的位数也不是唯一的，这就为实数理论的研究开拓了一个十分广阔的天地。        例如，半径不同的同心圆的点却可以一一对应， 这在中世纪开始就一直困扰着数学界的难题现在就可以得到很好的解释:不同同心圆上的无限小数的位数不同而已。例如，假定圆A的半径是圆B的两倍，且两个圆上任一点的小数都用无限的二进制小数表示，则易证圆B上的小数位数比圆A上的小数位数多了一位，才能形成一一对应。         再例如，当求两个有理数的平均值时，得到的还是有理数， 但如果这个过程无限进行下去，有理数的不循环部分也可以是无限多的，因此不循环部分的位数也可以与某一个自然数集合一一对应。 但显然这个自然数集合比与无理数一一对应的那个自然数集合要小得多，这就很好的解释了为什么无理数的数目要远远多于有理数:虽然无限小数的个数由位数决定，但由于循环部分对于增加小数的个数并没有贡献，例如，不循环部分只有一位而循环部分全部为0的无限小数0.000...，0.100...，0.200...只有10个，所以小数的个数主要取决于不循环部分的位数，而有理数的不循环部分的位数远远小于无理数，所以有理数的个数远远少于无理数。        误以为自然数集合是唯一的，不但是一种非常粗糙的认识，根本无法精细地解决类似的实际问题，而且是大量集合论悖论的根本原因，详见(https://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3425940&do=blog&quickforward=1&id=1449012)。         数学需要严格的证明，不能把想当然甚至主观愿望当做真理。比方说命题B，C和D都是想当然，而且都可以证明是错的。        命题2的另一个重大意义是给出了用元素数目来比较集合大小的方法，比所谓的基数理论要精确可靠的多。例如，根据基数理论，N和N′这两个集合都是自然数集合，基数相同，但是它们的大小显然不同。      年轻时我曾经听热力学院士(胡英)说，热力学的思想方法即每一个公式都是有适用范围和条件的，该思想方法可以终身受用。当时我很不以为然，不过就是一个最起码的适用条件吗，有什么可多讨论的？现在看来并不其然。     人天生有把在局部范围得到的规律推广到一般情况的倾向。这种倾向并非一点意义也没有:万一在局部情况下观察到的规律恰恰是普遍规律，这种方法就可以帮助他迅速地把局部规律普遍化。但这种方法的负面作用是常常会把没有普遍意义的局部规律像井蛙观天那样错当成普遍规律了。        以集合论为例，对于有限集合，其中的每一个元素都是确定的，外延当然也是确定的。但如果把这个局部规律推广到无限集合，如前所述，就不但会造成不他洽，而且由此还会造成一系列自相矛盾。        有人叙述了一个将勾股定理推广到一般三角形的笑话，也是同样的错误。         另一个例子是数理逻辑中的全称量词。在数学中，如果某性质对集合中任意一个元素都成立的话，就认为该性质对全体元素都成立。粗粗看来，这似乎天经地义，但仔细推敲，却很容易发现这样想的人头脑还是太简单了。如果某元素具有某一个性质，并不影响其他元素也具有这个性质，倒是可以这么说。否则就不一定成立。例如，只要足够努力，任何一个人都可以考90分以上。这时候某一个人考90分以上，并不影响其他人也考90分以上，所以这时候，只要足够努力，每一个人都可以考90分以上就等于只要足够努力，所有人都可以考90分以上，一点问题都没有。但如果把"只要足够努力，任何一个人都可以考第一名″说成"只要足够努力，所有人都可以考第一名"，显然就错了。这是因为，除非允许所有人都并列第一(这在实际情况中是不可能出现的)，第一名通常只有一个或少数几个)，如果某一个人或少数几个人得到第一名的话，其他人就不能再得第一名。这时候任意就不等于所有。另一个例子是苹果园里任意一个苹果都可以放入篮子，并不等于苹果园里所有苹果都可以放入篮子。篮子的大小是有限的，当篮子装满以后，其他苹果就无法再放到篮子里面了。至于无限集合，把任意推广到所有就更需要充分理由了，例如，数学归纳法只能用无限递推的方法证明某命题对任意自然数成立，这是因为，无限递推的方式可以达到任意一个自然数。显然，如果存在所有自然数这一个概念，我们可以因此说，数学归纳法可以证明某一命题对所有的自然数都成立。然而，如前所述，由于定义自然数的过程永远不能完成，所以永远不可能形成所有自然数，因此，数学归纳法可证明某命题对所有自然数都成立这一说法是不严谨的。         不要小看这种不严谨的危害，正是这种不严谨，才使得人们误以为后继运算可以产生所有的自然数，从而形成外延固定的，已经包含所有自然数的唯一的自然数集合这一导致大量悖论的重大错误。     由于基础理论的错误，集合论所有的后续发展也都建筑在错误的理论基础上，主流数学界在集合论基础方面还停留在100多年前的水平，需要批判和纠正。 

4 小结

        本文叙述了科学的自洽和他洽的必要性。指出集合论中存在大量源于思维不严谨的悖论，使得集合论既不自洽也不他洽。本文告诫数学界要高度注意思想方法的严谨性，提高对自相矛盾和悖论的警觉性和敏感性，不要盲目迷信权威，而是要大力加强批判性思维能力的培养，才有可能使得集合论健康地发展和成熟起来。

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