Zmn-1204 余月半 : 师教民对 极限/微分 各种错误的理解

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师教民对 极限/微分 各种错误的理解

余月半

首先是  lim(x->0)f(x) 与 f(0) 之间的关系理解

对函数、极限有些了解的人都知道, lim(x->0)f(x) 有可能不存在，也有可能存在

同样的f(x)在x=0处 有可能有定义，也有可能没有定义,也即 f(0) 有可能存在，也有可能不存在

lim(x->0)f(x)  的存在性与 f(0) 的存在性没有必然的关系

可能是 师教民 的见识少，接触的函数都是比较初等的函数，比如多项式函数 等这些很初等的函数

比如  f(x)=x^2 ，简单的，会发现   lim(x->0)f(x) =0 , f(0)=0 ,所以他就一厢情愿的以为 lim(x->0)f(x) 跟  f(0) 是一回事

事实上，我们可以轻松的举几个例子

f(x)=1/x , 在这个函数里面  ，x=0处的极限跟 函数值都不存在

f(x)=1/x  （x≠0）

f(x)=0   （x=0）   这是个分段函数   在 x=0处的极限不存在，函数值存在  是0 

f(x)=x(x≠0) 这个函数限制了定义域, 在 x=0处的极限存在 是 0，函数值不存在

f(x)=x^2 （x≠0）

f(x)=10 （x=0）   这也是个分段函数   在 x=0处的极限存在是0，函数值存在  是10 

事实上 ,   lim(x->0)f(x) 与 f(0)  之间没有必然的联系，有些时候相等，是特例，不能一厢情愿的以为  lim(x->0)f(x) = f(0) ；

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再回到 y=x^2 这里 ,Δy=2xΔx+Δx^2 ；Δy/Δx=2x+Δx     （式子A）

lim(Δx->0)Δy/Δx=lim(Δx->0)(2x+Δx) =2x;

表面上看,2x 就像是 2x+Δx 里面直接令 Δx=0 带进去计算一下 ,这是错误的，这是早期的贝莱克尔悖论

是因为在这个关于Δx的式子里面 ，Δx的取值范围不含0 ，不能直接把 Δx=0带进去计算

敲黑板,注意了：

我说的是在这个式子里面 Δx的取值范围不含0

不是说Δx的取值范围不含0，Δx的本身取值范围是R，只不过在这个式子 2x+Δx，他依赖于 Δy/Δx ，Δx作为分母出现，有限制，不能为0

提问: 我在上面所说的 式子 A 里面的 Δx≠0，

那么请问  h(Δx)=2x+Δx 里面 ，Δx 能不能为0?

答案是可以的，因为在这个式子里面，Δx没有额外的限制，这个 h(Δx)=2x+Δx 与上面的 2x+Δx  不是一回事 (定义域不同) 

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第二个问题

f(x)=Ax+o(x) （定义域为 E） ， 以及 x=0   ， f(0)=A*0+o(0)   这个式子的错误点在哪

首先 f(x)=Ax+o(x)  表示的意义是什么 ：

这个表示函数f(x)可以写成两个函数 g(x)，h(x) 的和 ，其中 g(x) 是关于x的一次函数 ,h(x)是(函数 y=x)的高阶无穷小

在这里 Ax=g(x),  o(x)=h(x)

当x=x0 ∈ E  时

1、提问: Ax0=g(x0)  ,这个式子对不对？很显然，这个式子是正确的，过多的我不解释

2、提问: o(x0)=g(x0), 这个式子对不对？错误的 ，错误在哪，这一点我们就要讲讲o(x)里面的x，指的是什么

讲简单一点,若函数 a(x) 是 函数 b(x)  的高阶无穷小 ，则可以把函数  a(x) 记作  o(b(x))

特别的，若  b(x)=x, 则  a(x) 可记为 o(x)  ，比如  x^2 可记为  o(x)

若 b(x)=x^2, 则 a(x) 可记为 o(x^2) ，比如  x^3 可记为  o(x^2)

讲到这里，已经很明显了，这个o() , 这个 o的括号()里面,输入的是一个函数 ,而不是一个数

举个具体的例子

在函数 f(x)=x+x^2+x^3 里面

f(x)=x+o(x); 

在这里   o(x)=x^2+x^3  ,表示的意思是函数 h(x)=x^2+x^3 是(函数y=x) 的高阶无穷小, o(x)里面的x，指的是 (函数y=x),而不是指(数x),不能把一个数x=x0带人到o(x)里面

记 h(x)=x^2+x^3 ；这里的h(x)里面的x，指的是(数x),所以我们可以把数x=x0带人h(x)里面 ;  

我们可以说  h(0)=0,h(1)=2,h(2)=12

而不能说 o(0)=0,o(1)=2,o(2)=12

正确的说法是，o(x) 所指代的 函数 h(x)=x^2+x^3  在 x=0处的函数值 是0 

回到开始  在式子里面 f(x)=Ax+o(x)  ，不能直接把 x=0带进去，得到 f(0)=A*0+o(0) ； 

是因为 o(x)里面的x，与 f(x),Ax 里面的x，表示的不是一个意思

f(x),Ax里面的x，表示的是一个数 x 

而 o(x)里面的x表示的是 （函数 y=x ），

o(x) 在这里表示的是一个函数 h(x)=f(x)-Ax ,这个 h(x) 是 (函数 y=x) 的高阶无穷小

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