Zmn-1203 薛问天: 错误在于对序列极限认识的错误，评余月半《1198》和李鸿仪的跟帖

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对余月半先生的《Zmn-1198》一文和李鸿仪先生的跟帖的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

错误在于对序列极限认识的错误，

评余月半《1198》和李鸿仪的跟帖

薛问天

xuewentian2006@sina.cn。

余月半先生提出的【荒谬证明】，问【荒谬在哪】？我的回答是: 这个【证明】的错误很多。其中最重要的错误在于对序列极限认识的错误。

【证明】认为: 【小数部分长度为n的有理数有2^n个，小数部分长度为n的实数同样是这2^n个,也即Qn=Rn。所以，当n->∞时，这个等式也是成立的，即 : 有Q∞=R∞，也即小数部分长度为无穷的有理数=小数部分长度为无穷的实数。】【也即 有理数=实数 】。

对于序列An的极限，有两种情况。一种是当n→∞时，序列An的极限是a。按定义它是说对任何ε>0，都存在N，当n>N时有|An-a丨<ε。另一种情况是当n→∞时，序列An的极限是无穷大。按定义它是说对任何E>0，都存在N，当n>N时有An大于E。极限是这个实数无穷序列An的属性。並不是说此无穷序列有个第无穷项A∞，A∞=a或A∞=∞。要知道这个无穷序列An，只对所有的自然数n有定义。对∞没有定义，不存在一个项A∞。所以由Qn=Rn，推出Q∞=R∞是错误的。只能说当n→∞时，Qn的极限等于Rn的极限。

另外，由Qn的极限等于Rn的极限推出说，【即小数部分长度为无穷的有理数=小数部分长度为无穷的实数。】【也即 有理数=实数 】，显然是错误的。认为当n→∞时Qn的极限是【小数部分长度为无穷的有理数的个数】是大错特错。因为当n→∞时Qn的极限就是【小数部分长度为n的有理数的个数】这个序列Qn的极限。怎么能是【小数部分长度为无穷的有理数的个数】呢？更何况【小数部分长度为无穷的有理数】是循环的无穷小数。同【小数部分长度为n的有理数】没有任何关系。

由Rn是【小数部分长度为n的实数的个数】推出当n→∞时Rn的极限是【小数部分长度为无穷的实数的个数】更是大错特错。因为当n→∞时Rn的极限就是【小数部分长度为n的实数的个数】这个序列Rn的极限，怎么能说这个极限就是【小数部分长度为无穷的实数的个数】呢？更何况【小数部分长度为n的实数】就是【小数部分长度为n的有理数】。而【小数部分长度为无穷的实数】还要包括循环的无穷小数(是有理数)和所有无理数。

另外，由【小数部分长度为无穷的有理数=小数部分长度为无穷的实数。】推出【 有理数=实数 】，更是荒谬之极。一方面它们不可能相等，就是相等，【小数部分长度为无穷的有理数】只是循环无穷小数，只是有理数的一部分，怎么能是全体【有理数】，怎么能推出【 有理数=实数 】。

可见这个【证明】是绝对错误的。

李鸿仪先生曾在文后的跟帖中对《1198》作了评论。他说【这个证明隐含的假定是当n趋于无穷时，10^n个n位小数仍然是有限小数，而不是无限小数，显然在逻辑上是自相矛盾的:既然n趋向无穷大了，当然是无限小数，怎么还是有限小数呢？】

显然他的评论也是错误的。关键仍然是对序列极限认识的错误。

要知道极限的概念是说【当n→∞时，序列An的极限。】这里的序列An只指的是实数序列，不是集合的序列。因而不存在当n→∞时，集合序列还有极限。而李先生认为当n趋于无穷时，10^n个n位小数构成的集合序列的极限【仍然是有限小数，而不是无限小数，显然在逻辑上是自相矛盾的:既然n趋向无穷大了，当然是无限小数，怎么还是有限小数呢？】也就是说李先生认为，当n趋于无穷时，n位小数构成的集合序列的极限，【是无限小数】的集合。这是明显的错误。要知道在极限理论中並没有定义集合构成的无穷序列的极限。因而说这个极限【当然是无限小数】的集合这是明显的错误。

要知道【n趋近于无穷】这就是极限用语，说【n趋近于无穷】，指的就是【当n→∞时，序列An的极限。】

另外李先生还说【事实上，我已经证明了，当n趋向于无穷大时，无理数的数目比有理数多得多，所以只考虑有理数是错的，而且戴德金分割也只能证明无理数的存在，无法用有理数来分割无理数:只有当有理数比无理数多得多的时候才能这样做，但这与事实不符。】

我㸔了他的所谓【证明】，错误连篇。他根本就没有定义什么是【无穷集合的元素数目】，却大谈什么没有严格定义的【稠密度】，说【无理数的稠密度远远高于有理数】。就断言说他【证明了当n趋向于无穷大时，无理数的数目比有理数多得多，】简直乱弹琴。【n趋向于无穷大】是指序列的极限，同无理数和有理数的【元素数目】有何关系。

要知道是康托定理严格证明了实数不可数，有理数可数，才是无理数的基数大于有理数的基数的严格证明。

另外，李先生说【戴德金分割也只能证明无理数的存在，无法用有理数来分割无理数:只有当有理数比无理数多得多的时候才能这样做，】的论断也是错误的。有理数的分割数的基数完全可以大于有理数本身的基数。这是李先生没有认识到的无穷集合的另一特性。

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