Zmn-1202 薛问天: 关于高级无穷小，微分，导数，极限，连续函数，以及用错误假定的推理。评师教民《1193-1194》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对师教民先生的《Zmn-1193-1194》二文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

关于高级无穷小，微分，导数，极限，连续函数，

以及用错误假定的推理。评师教民《1193-1194》 

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

1，高阶无穷小。

1)，【β 是 α 的高阶的无穷小】就是【β 是比 α 更高阶的无穷小】。这是一个概念，说不说这个【比】字，都一样，没有差错。

2)，为什么没有比 0 更高级的无穷小．是因为高级无穷小的定义 o(α) 中就不允许有 α=0。这才是真正的原因。怎么能是【有点儿牵强附会】和【几乎是空喊口号】呢？

由【0 是所有的 α(≠0)的高级无穷小】，即【0 是比任何不等于 0 的无穷小 α 高阶的无穷小，】得不出【0 是最高级的无穷小】，从而【不存在比0更高级的无穷小】的结论。

3)，关于这点，我己在《1184》中说清楚了。〖我们所说的Δy.Δx是增量，Δy=A*Δx+β(Δx)。当然允许 Δx=0．是指变量 Δx 可取 0 为值，是指变量 Δx 的定义域可以包含 0。当 Δx=0 时，Δy=A*0+β(0)。由于我们知 Δx=0 时 Δy=0．所以知β(0)这个值为 0．即 β(0)=0．这个函数 β(Δx) 在 Δx=0 时函数值为 0，又因为知在 Δx≠0 时，β(Δx)是 Δx 的高级无穷小，即当 Δx→0 时 β(Δx) /Δx→0．所以知在 Δx≠0 时，β(Δx)=o(Δx)。因而，允许 Δx=0．知在 Δx=0 时，β(0)=0；在 Δx≠0 时，β(Δx)=o(Δx)。这其中一点矛盾和错误都没有。只是不要把β(0)写成o(0)就对了。〗

4)，我己经说了，〖只是不要把β(0)写成o(0)就对了。〗这个函数 β(Δx) 在 Δx=0 时函数值为 0。只有在Δx≠0 时，才有β(Δx)=o(Δx)。因而这里没有任何矛盾。

5)通过上述 1)～4)可以知道，我们讨论的问题，微分是Δx的函数，允许其中Δx=0，根本同不存在o(0)无关，这其中一点矛盾和错误都没有。

2，微分和导数。

概念一定要清晰。微分是函数的微分，导数是函数的导数。极限理论说可微必可导，可导必可微，指的是函数的微分存在时，函数的导数必存在，函数的导数存在时，函数的微分必存在。师先生说【我问的是：对已经存在的微分 dx=Δx=0，相应的导数是多少？】这个问题问的不对。

概念要清醒，要知道函数的微分存在时，函数的导数必存在。函数的导数只与函数的微分相应，函数的导数等于在Δx≠0时的微商dy/dx，这个导数同在Δx=0时的微分值: dy=0,dx=0没有关系。只有同存在的函数的微分相应的导数，没有什么【微分 dx=Δx=0，相应的导数。】问这个问题说明概念不清晰。

3 ，把极限说成是【加上极限符号】、【去掉极限符号】的问题。

1)极限理论刚好对连续函数G(Δx)，可证明，当Δx→0时函数G(Δx)的极限等于Δx=0时的函数值。即lim[Δx→0]G(Δx)=G(0)。即对连续函数G(Δx)，【加上极限符号】等于【去掉极限符号】且令本来≠0 的 Δx=0。

在求y=x^2导数时，刚好求出在Δx≠0时，Δy/Δx=2x+Δx，这个2x+Δx是连续函数，于是这句话【【加上极限符号】等于【去掉极限符号】且令本来≠0 的 Δx=0。】是成立的。但是要注意这只对连续函数成立。对于非连续函数这是不成立的。

不说只对连续函数成立，说这句话对求极很时都成立，显然是绝对的错误。

2，例如G(Δx)=(sinΔx)/Δx时，此函数在Δx=0点不连续。G(0)=0/0是没有意义的值。lim[Δx→0]((sinΔx)/Δx)=1。即lim[Δx→0]G(Δx)=G(0)並不成立。对于这个非连续函数G(Δx)=(sinΔx)/Δx，这句话【【加上极限符号】等于【去掉极限符号】且令本来≠0 的 Δx=0。】是并不成立的。

师先生说【人们一定会去追问极限理论，你们只去掉后边的【极限符号】，不去掉前边的【极限符号】，这还公平吗？用不公平的手段还能得到正确的科学真理吗？】

说明师先生根本没有弄懂，极限和连续函数的关系。

正确理解用错误假定的推理，评《1194》

师先生对我说的这句话『这是作者所说的一个错误的假定，事实上並不是任何函数 y=f(x) 都认作显函数．』得出了错误的结论，他说【这就说明薛问天先生在口头上也已经承认了极限理论存在假定的错误和与事实不相符合的错误．】

说明师先生简直不懂逻辑。人们在论证中，用【如果...】提出一个【错误的假定】然后指出它的错误，得出正确的结论，这是再简单不过的推理方法。而师先却认为用【如果...】提出一个【错误的假定】，这就是【承认了极限理论存在假定的错误和与事实不相符合的错误】，显然是个严重的错误。

要知道世名著在第 183 页中说的原话为：“如果以任何法则[17 段]来表出的函数[该函数为 y=f(x)]都认作显函数，则 x 的函数 y 用方程(1)[方程(1)为 F(x，y)=0]的表出法也并不劣于任何别的表出法．” 其中的【如果以任何法则[17 段]来表出的函数[该函数为 y=f(x)]都认作显函数】，就是一个用【如果...】提出的【错误的假定】。因为如果此假定成立，由于【 x 的函数 y 用方程(1)[方程(1)为 F(x，y)=0]的表出法也并不劣于任何别的表出法】，因而这个隐函数也成为显函数了。这不符合事实。所以说这是一个【错误的假定】，『事实上並不是任何函数 y=f(x) 都认作显函数』只有用解析表达式表示的函数才是显函数。要知道这是世界名著的正确推论，是由极限理论推出的正确结论，怎么能说这是【极限理论存在错误】。说明师先生根本不懂逻辑。

我早在《1068》中就指出过名著菲书中的原话: 〖请仔细读读书中的这段话【读者当能明了，这些术语仅叙述函数y=f(x)的表示方式，而並未涉及它的性质。】而且后面又明确地说【严格地说，函数的隐示式和显示式的对立性仅当显示式被理解为显的解析表示式时始能显得十分明确；不然，若把按任何规则[45]所给定的函数都看作显函数，则借助于方程(1)以确定y是x的函数并不劣于其它任何方法。】已把此问题说得清清楚楚。

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