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Zmn-1201 余月半 : 所有的自然数 VS 数到的自然数 ; 错误的理解,得到莫名其妙的结果!!
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所有的自然数 VS 数到的自然数 ; 错误的理解,
得到莫名其妙的结果!!
余月半
首先,讲一下皮亚诺公理;
皮亚诺公理,描述的是一个什么样的世界呢 ?
他讲的是,我有一些对象,这些对象之间有一个二元关系R(a,b),这个二元关系简称为b是a的后继;
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注意,研究皮亚诺公理的时候,不要把里面的 0,自然数 ,跟我们平常所说的 0,自然数混淆 ;
它里面的0,不是特指我们平常所说的0,自然数,也不是特指我们所说的自然数,后继,也不是特指 自然数的 + 1 ;
为了不混淆,0我用r代替,“自然数”我用“研究对象”代替
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一、r是研究对象
这句话的意思是,研究范围内有对象存在,其中某个对象用 符号 r 表示 ,当然,这个 r 具体指哪个对象呢,还没有明确做要求,它可以指其中的任何一个
二、每一个确定的研究对象a,都具有确定的后继a',a'也是研究对象
这句话什么意思?这句话讲的是,对于研究范围内的任意一个对象 a, 都存在,且仅存在一个 对象b ,b是a的后继,也即满足R(a,b) , 这个b记作a';
三、r不是任何研究对象的后继
这句话对公理一里面的r,做了要求,它不允许是其他研究对象的后继
四、两研究对象相等,当仅当他们的后继相等
这句话简单了,就不表述了,
五、归纳法
这句话,简单的表述就是说,从r开始,去一个一个的数后继,那么,每一个对象都会被数到
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举个简单的对象/关系 的例子:
想象一下,有一个班级,里面有若干个学生,这些学生就是我们所研究的对象;
这些学生的座位靠在一起,称为同桌,这同桌就是我们研究的二元关系: 用R(a,b)表示 b是a的同桌
如下所示:
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张三|李四 王五|赵六 孙七|钱八
周上|吴下 郑东|徐西
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我们用这个例子,去对比一下皮亚诺里面的几条公理
一、r是研究对象
很明显了,我们的研究范围内,是存在对象(学生)的,这个r,可以指其中的任何一个
二、每一个确定的研究对象a,都具有确定的后继a',a'也是研究对象
也很明显了,在这里,每一个学生,都有,且仅有一个同桌
三、r不是任何研究对象的后继
这个就没法子了,在这里面,找不到符合条件的学生,所以这个例子,它不满足这条公理
四、两研究对象相等,当仅当他们的后继相等
在这个例子里面是满足的,可以简单的验证一下
五、归纳法
没得说,在这个例子里面,连r都找不出来,自然不满足这个了
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所谓的皮亚诺公理里面的五条公理,实际上是五条规则,它是限制在一个 研究对象V,以及对象之间的二元关系R的规则
我们可以举出很多 对象~关系(V~R)的例子,然而,很明显,V~R 是否满足这五条规则,不一定,有的例子满足这些条件,有的例子不满足这些条件
研究对象范围 : 实数范围
关系:
1、如果a是负整数,那么a的后继定义为a-1;
2、如果a是其他的,那么a的后继定义为a+1;
在这个定义之下,可以验证,这个满足前四条公理;
特别的满足条件的r,具有两个, 0和-1,但是无论取哪个为r,都不满足公理五
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好回到主题,有些人对皮亚诺公理的错误认知
对于研究对象的错误认知;
以我们普通的自然数为例子,那么研究对象就是 所有的自然数 ,a的后继就是a+1;
但是有的人,对于研究对象的概念有偏差,他认为所研究的对象范围是通过后继“得到”的,“新生成的”,
首先,他的研究范围内,什么都没有 ;
公理里面要求有个0,这时候,他就在他的研究范围内,加入一个0; 他的研究范围内就仅有一个 0 ;
公理说,0要有后继,那么他就在这个范围内,增加一个0的后继1;这时候,他的研究范围内就两个 0,1
同样的,1也需要有后继,那么他就在这个范围内,增加一个2,这时候,他的研究范围内就有了三个 0,1,2
......等等......
他的研究对象,是不确定的,依赖于数数,从0开始数数,数到谁,谁就纳入他的研究范围,数到10,那么他的研究范围就是 0~10,那些没有数到的就暂时不纳入研究范围内,等数到了再把它纳入到研究范围内;
也就是说他嘴里的自然数集,并不是指“所有的自然数”,而是指,数到的自然数,他数到5,那么他所指的自然数集,指的就是 {0,1,2,3,4,5},数到10,那么他所指的自然数就是{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};他就会得出自然数集合不唯一的这个结论,实际上指的是他所 数到的自然数集合不唯一;
他表述的自然数集合N,指的是 从0开始,数到某个数 k ;这个集合 {0,1,2...,k},
集合N1,指的是从 1 开始数到某个自然数 k ; 这个集合 {1,2,...k};
我们所说的自然数集合N,指的是包含所有的自然数集合,而不是指从0数数,数到k而数到的集合 {0,1,2...,k}
所说的正整数N1,指的是包含所有的正整数的集合,而不是指从1数数,数到k而数到的集合 {1,2...,k}
他曲解这两个集合的概念,从而得出莫名其妙的结论
至于他所说的 k-->∞,恕我直言,四不像, --> 这个符号,既不是命题里面的p-->q; 也不是极限里面的写法,一个四不像的东西
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正确的说法是这样的
公理里面要求有个0,我这个范围里面就有这个 0 ;
0要有后继,我这个范围里面就有这个0的后继1 ;
1也要有后继,我这个范围里面就有这个后继 2;
.......等等........
所需要的对象,都在我的研究范围之内,
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简单的讲,正确的思维是,我有一些研究对象,这些研究对象满足皮亚诺公理里面的五条规则;
但是 有的人错误理解这五条规则,认为是缺啥补啥,
他什么都没有,起码没有0是吧,好,那我就再加一个 0;
当然了,这样还是不满足条件,好,那就再加一个1;
当然了,这样还是不满足条件,好,那就再加一个2;
。。。。。。。
他像通过这种缺啥补啥的方式是适应五条规则,
当然,按照这种缺一个补一个的方式,无论补到哪个数字,他都不满足这五条规则
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