Zmn-1237 薛问天: 错误大多出在概念和逻辑的混乱上。评李鸿议先生的《1233》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对李鸿仪先生的《Zmn-1233》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

错误大多出在概念和逻辑的混乱上。

评李鸿议先生的《1233》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

李先生的错误，大多出在概念和逻辑的混乱上。在这里涉及到几个概念，两个集合间的【一一对应】，一一对应定义是【存在双射】。双射定义要求是【既是单射又是满射的映射】，这些概念在数学上都有严格的数学定义。

一，关键是这里又涉及到李先生提出的【元素的排列方式】，要知道，集合的元素根本就没有什么【排列方式】。问题就出在这里。李先生没有讲明白，他说的【排列方式】指的是什么。排列方式同映射之间是个什么关系。我们只能通过他的应用叙述中，来猜测它的含义。

他是这样叙述排列方式的变化的。他说【现交换集合B的任意两个元素的排列位置，比如，将b1和b2互换位置: a1对b2，a2对b1，a3对b3...】【这种交换可以有无限多种，从而产生了无限多种排列方法，而且还可以有多种元素同时交换的情况，】

要知道，集合的元素根本就没有什么【位置】之说。可以从李先生他的应用叙述中看出，他是把不同的【元素的排列方式】的变化，理解为无穷集合映射中元素间的一种一对一的对等变换。把他说的位置的变化就理解是映射中元素一对一的对等在变。尽管他没有这样定义，但他是这样理解和叙述的。

在对【排列方式】这个概念含义的这样的理解下。集合A和B中【元素的排列方式】的改变，对任何A→B的映射，都使其发生了变化。但是，这种映射的变化，对映射是否是单射，满射，双射没有任何影响。从而对A同B是否一一对应没有任何关系。也就是我上次说的〖李说【命题1:集合A={a1，a2，a3...}与集合B={b1，b2，b3...}能否建立一一对应关系与集合元素的排列次序无关。】这本不是问题，还要证明吗？〗

我上次还指出〖李所说的【集合A和B，如果B的元素的某种排列方式不能与A一一对应，则改变B的排列方式有可能使得A，B之间建立起一一对应关系。】这根本不可能，认为可能是李先生概念的混乱。

李先生说【数学界普遍认为能否建立一一对应与元素的映射方法即排列方法有关。】是完全错误的，概念混乱，把【映射方法】用【即】这个字把它同【排列方法】等同起来，在概念上就是相当混乱的。另外说这是【数学界普遍认为】完全不符合事实。

要知道是把不同的【元素的排列方式】理解为元素间的一种一对一的对等变换。在这样对这些概念含义的理解下。集合A和B中【元素的排列方式】的改变，对A→B的映射是否是单射，满射，双射没有任何影响。从而对A同B是否一一对应没有任何关系。

李先生的错误就在于他举的例子上，他说【例如，如果将N1={0}UN与N={1，2，3...}排列成:

g:   0，1，2，3…

      |     |     |

x:    1，2，3

或

1，2，3，...，0

 |    |    |

1，2，3，...

即建立映射函数g=x (x=1，2，3...)则显然两个集合不能一一对应:0元素没有对应项。】

这个写法不准确，应这样写，原映射函数是g=x-1(x=1,2,3,...)，是N到N1的双射。

g:   0，1，2，3…

               |     |     |

x:   1，2，3…

【元素的排列方式】的变化，理解为元素间的一种一对一的对等排列变换。排列方式变化后，映射成为

1,2,3,...,k-1,0,k.  k+1,...

         |  |  |      丨  |  丨    |

1,2,3,...,k-1,k.k+1,k+2,...

即映射函数变为: 当x<k时，g=x; 当x=k时，g=0;当x>k时，g=x-1。

显然映射仍是双射，排列方式的变化，并没有影响映射变为不是双射。从而我们明确说明〖【排列方式】就不可能能影响【集合的一一对应】，哪里是什么【数学界普遍有一种观点】【如此广泛且根深蒂固】。这根本是李先生概念的混乱的胡乱想像。〗

二，推论1是错误的。

李先生提出的【推论1:若两个集合之间存在不同的映射函数，那么这些函数要么都是双射函数，要么都不是双射函数。】

是错误的。因为李先生所说的这个推理【由于不同的排列次序对应于不同的映射函数，因此，由命题1可得推论1】，推理是错误的。

说【不同的排列次序对应于不同的映射函数】，这没有错，但是并不是仅仅由于有不同的排列次序，才有不同的映射函数。既使不改变【排列次序】，仍可以产生不同的映射函数，甚至可以由双射改变成非双射。例如，N1到N1的排列和映射可以是这样

g:   0，1，2，3，...

     丨  丨   |    |

x:   0，1，2，3，...

映射函数是g=x(x=0,1,2,3,...)，是双射。但在不变化排列方式下，形成如下不同的映射:

f:   0，1，2，3，...

         /     /    /    /

x:   0，1，2，3，...

其映射函数是f=x+1(x=0,1,2,3,...)，是个非满射的映射，上排的1没有原象。

因而推论1不成立，N和N之间两个映射中，g是双射，f不是双射。

由于推论1是错误的，所以他提出的【我们只要研究任何一个映射函数，然后观察它是不是双射函数就可以了。】的这种考查两个集合一一对应的方法是错误的。只考查一个映射不是双射，就判定不是一一对应是错误的。必须断定所有的映射都不是双射，或者用反证法由存在双射推出矛盾，才能断定非一一对应。

这里的f说明N1可同N1的真子集N建立双射。李先生证明的是有限集合的情况。对任何自然n，N[n]={1，2，3...n}，N1[n]={0，1，2，3...n}，当然这两个有限集是非一一对应的。但无限集合N和N1却是可一一对应的。李先生提不出任何反对f(x)=x+1是N1→N双射的理由，却无奈地说什么【难道上天特别眷顾无限集合，一到无限就会送一个0到N里面去？】这种毫无意义的语言。数学是很严格的。在f的映射中f(0)=0+1=1∈N，可严格证明f是N1→N的双射。

三，推论2和推论3都是错误的。

由于推论1是错误的，自然李先生提出的【推论2:若两个集合之间存在不同的映射函数，只要其中有一种单射确实是双射，所有的单射就都是双射。】和【推论3:若两个集合之间存在不同的映射函数，只要其中一种单射确实不是双射，所有的单射就都不是双射。】都是错误的。

我己在《1229》说清楚，这是李先生暴露的又一个由于没有认清无限集合的特性所导致的错误观念。

四，命题2是错误的。

李先生提出的【命题2:N1={0}UN不能与真子集N={1，2，3...}建立一一对应关系。】及其证明的错误，我已在《1229》中明确指出。可笑的逻辑是刚刚说完命题1:【集合A与集合B能否建立一一对应关系与集合元素的排列次序无关。】却大唱反调地用此来证明，说把N1和N写成什么样子，就证明了N1和N【不能建成一一对应】。〖李先生就如此明目张胆，明明说排列同一一对应【无关】，却就用N1和N的排列，用它【证明】N1不能与N一一对应。〗

〖集合A和B能否建立一一对应关系与集合的元素排列次序无关。无论N1和N怎么排列，怎么写，映射y=x+1是N1到N的单射和满射就说明了双射一定存在，决定了N1同N的一一对应肯定成立。从以上李先生的论述中，可以看出李先生在概念和逻辑上是相当混乱的。这样的推论当然都是错误的。〗

命题2是错误的，当然李先生所说的【命题3 无限集合不能与其任何一个真子集一一对应】自然也是错误的。

五，我在《1229》中己明确指出，〖无穷集合可能同它的真子集一一对应，这个特性也可以表示为:无穷集合S可能既同某无穷集合A一一对应，又能同A的真子集B一一对应。〗

要知道S能同A的一一对应，就是存在S到A的单射是双射。而S能同A的真子集B一一对应，就是存在S到A的一个单射是到B的满射，从而不是到A的满射，不是S到A的双射。这就说明存在集合S列A的双射，又同时存在集合S列A的不是双射的单射。

这就是无穷集合不同于有限集合的特性。无穷集合S完全可能既存在S到A问双射，又同时存在S到A的不是双射的单射。这是两个不同的映射。这是客观存在的事实，一点矛盾都没有。

李先生说的推论2，【如果两个集合之间能够建立一一对应，那么任何单射必然都是双射，】是错误的认识。

李先生不承认这个事实，把它当作是矛盾，而且硬要从中找出错误。说【各种映射的结论应该是统一的，因此，当出现两个映射的结论矛盾这一不正常现象时，必须找出其中真正可靠的的那个，同时还要找出另一个错误的原因和证据，这才是科学的态度。】

要知道，李先生把存在不是满射的单射就认为得出是【非一一对应】的结论在逻辑上是错误的。在逻辑上要认清，【是一一对应】是【存在单射是双射】，那么【非一一对应】并不是【存在单射不是双射】，而是【所有的单射都不是双射】。仅仅从【存在单射不是双射】得不出【非一一对应】的矛盾结论。

关于一一对应的定义，【存在双射】，以及什么是双射，这些都是非常严格的。而李先生却又粗略地说【以下把这种仅仅在省略号前面能够一一对应，但省略号里面并不能一一对应的康托式一一对应，称为伪一一对应或伪双射，而能够真正一一对应的则称为真双射。例如，相同集合之间的一一对应必定是真双射。】反映了李先生的逻输是相当混乱的。什么【省略号前面能够一一对应，但省略号里面并不能一一对应的康托式一一对应，】完全在这里胡言乱语，缺乏数学最基本的严格概念。用这些语言怎么能讨论数学？

另外，关于N1和N，李先生说【可以用数学归纳法证明其不是双射】。我已指明，这是李先生对数学归纳法认识理解的错误。

六，下面我们仅就李先生的这段论述，来分析一下他论述中的逻辑错误。

李先生说【由于A和N是同一个集合，不管元素次序怎么变化，它们之间必然能形成真双射。但如果N可以同A中的奇数真子集一一对应，则A中的偶数真子集就在N中无对应项，从而导致A与N这两个相同的集合不能一一对应的矛盾。】第一句没有错，A和N是同一个集合，必然存在有一个映射是A到N的双射，例如令它是f。【如果N可以A中的奇数真子集一一对应】意味着存在有一个N到A的真子集B的双射，例如令它是g。由于B是A的真子集，所以g不是N到A的双射。由此只能得出对此映射g，【A中的偶数真子集就在N中无对应项，】所以只能得出结论说，g不是N到A的双射。可李先生却由此得出结论说【从而导致A与N这两个相同的集合不能一一对应的矛盾。】也就是说，李仅仅从【存在单射不是双射】g，就得出【非一一对应】的结论。这是严重的推论错误。要知道仅仅从【存在单射不是双射】g，得不出【非一一对应】的矛盾结论。因为还存在有f这个N→A的双射，所以N和A是一一对应的。一一对应的定义是【存在双射】。

最后，关于附录【元素数目】再说几句。众所周知，无穷集合的【元素数目】并无数学定义。不过业界一般公认康托的【基数】，就相当于集合【元素数目】的数学定义。

李先生试图对【元素数目】给出一个他自己的定义，但均告失败。要么对有些集合没有定义，要么出现矛盾。但李先生认为他己经给出了定义。如附录中所述:

【定义:对元素数目进行计数得到的结果称为元素数目】。把【元素数目】定义为【进行计数得到的结果】。从这里可以看出李先生根本不懂什么是数学定义。数学定义必须用己有定义的概念或原始概念来定义所要定义的概念。而原始概念则必须要有公理来界定它的含义。李先生用【进行计数得到的结果】来定义【元素数目】等于没有定义，因为【进行计数得到的结果】对于无限集合，本身就没有定义，不知道它的含义是什么。怎么能拿来作为定义。

李先生说【本文的概念是清楚的，逻辑是严密的】。我想再说一遍。这说的不对。李先生的错误，大多出在概念和逻辑的混乱上。正是由于逻辑的混乱，文章的推论几乎全是错误的。可悲的是李先生对这些推论都是错误的毫无认识，他在文后发布的那些感叹，如【每一个不甘被愚化的数学家，为了你们的子孙后代不被人嘲笑，站出来吧。】【每一个有能力有志气的数学家，也站出来吧，用你们的智慧和专业知识，为重建集合论及相关学科做出应有的贡献。】【你们的贡献将会被载入史册。】，就显得十分十分地可笑。

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