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zmn-0046 「反对伊战」: 对《评「反对伊战」《关于第(3)部分的讨论》》的回复,薛问天: 评「反对伊战」的回复

已有 522 次阅读 2019-8-12 10:59 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

zmn-0046 「反对伊战」: 对《评「反对伊战」《关于第(3)部分的讨论》》的回复,薛问天: 评「反对伊战」的回复

【编者按。下面是「反对伊战」先生对《 Zmn-0045》薛问天先生的评论的回复,及薛问天先生对此回复的评论。现发布如下,希望网友们关注并积极参与评论。】

 

对《评「反对伊战」《关于第(3)部分的讨论》》的回复

反对伊战

 

薛问天先生在几篇文章中,关于第(3)部分的讨论,错误不断,现举例如下。

1)薛问天先生在《评「反对伊战」的回复》一文中说:R是可数的」和 R是不可数的」都属于二阶逻辑,是在实数的一阶逻辑中不能表达和证明的。因而,从一阶模型内部看 「实数集是不可数集」,也是错误的。薛问天先生的说法是不对的。「R是不可数的」不能在一阶逻辑中表达,但可在二阶逻辑中表达出来。表达出来的命题在一阶模型中为真,所以,从一阶模型内部看 「实数集是不可数集」成立。

(2)薛问天先生在《再评「反对伊战」的再回复》中说在二阶逻辑表达出来的命题在一阶模型中为真, 这是一句地地道道的行外话。二阶逻辑的公式就不是一阶逻辑的合式公式,怎么还能在一阶逻辑中证明为真。真是天大的笑话。这里,薛问天先生混淆了命题在一个模型中为真命题能够被证明为真这两个不同概念,自己闹了一个笑话。

(3)在《评「反对伊战」先生对我的 《评小结》的回复》中,薛问天先生质问道“如果在实数一阶公理上再加上实数的【别的公理】(只能是实数的某个二阶逻辑的公理),它的模型还能称得上是 实数一阶逻辑的模型」吗?”这里,薛问天先生错了,在实数一阶公理上再加上别的公理,它的模型当然是「 实数一阶逻辑的模型」。

4)在评《「反对伊战」《关于第(3)部分的讨论》》中,薛问天先生反问道:“也就是说这个模型己经是「实数的所有一阶逻辑公理+一条别的公理(一条实数的二阶逻辑公理)」的模型。这样的模型还能称为是【实数的一阶逻辑理论的模型】吗?”这里,薛问天先生重复了(3)中的错误。

     

斯科伦悖论的解决方法当然给【 从模型内部看,实数集合是个不可数集】的说法提供了依据。ZF公理系统是一阶逻辑的公理系统,由 LS定理它有可数模型,将此模型记为M。而由ZF公理系统,可以证明一些集合,比如实数集R,为不可数集。于是产生了一个矛盾,作为可数集的ZF公理系统的模型M怎么会有一个不可数子集R?这就是「斯科倫悖论」。

     悖论的一个解决方法是“但是正在讨论的这些集合是不可数的,只是在模型内不存在从自然数到这些集合的双射意义上。在模型外有一个双射是完全有可能的。模型M不存在从自然数到R双射。既然如此,R内当然不存在从自然数到R双射,因为R是M的子集。所以, 从模型内部看,实数集合是个不可数集】的说法成立。这就好像一个人说某数不是自然数,当然可以拿出“这个数不是有理数”的已有结论来做依据。

 

薛问天先生说:“果然不出所料,「反对伊战」先生所谓的 【别的公理】,【复杂的讨论】以及【专家们苦心研究出来的结果】,并不是他悉心学习和深入思考的所获,而是随意的主观臆想,和道听途说的内容。拿不出证据和文献来,最后只能靠「百度」搜来的「斯科倫悖论」来为他辩解。「百度」搜来的「斯科倫悖论」就不是“证据”吗?我说的模型内、模型外的说法是我大约20年前学的,手头早已没有文献,好在上面的说法实在太有名,我通过百度都能搜到。

 我前面一段已经说明了 从模型内部看,实数集合是个不可数集】的说法成立,并说明了 从模型内部看,实数集合是个不可数集】这种说法是数学家们对「斯科倫悖论」的一个解决方法,所以,说【 从模型内部看,实数集合是个不可数集】是【专家们苦心研究出来的结果】没有问题。

现在已清楚,「实数集不可数」可以在ZF系统中获证。所以,当「实数集不可数」在实数一阶理论中得不到证明时,我说【 这个可以用别的公理去证明。不过,要涉及复杂的讨论。】这个说法是没问题的。所以,我的【别的公理】,【复杂的讨论】的说法是没问题的。

 

评「反对伊战」《关于第(3)部分的讨论》》中第二段话,薛问天先生犯的错误太多,我就直接

引原文,加上自己的评注(【注:】形式)。

 

「反对伊战」先生讲的是【实数的一阶逻辑模型】,他错误地以为这个模型(集合)等同于实数集【注:我从来没说过这个模型等同于实数集】,从而由LS定理的推论「实数的一阶逻辑理论有可数模型」错误地得出【实数集可以是可数集】【注:我已经很多遍地说了:数理逻辑学家们谈起“实数集可以是可数集”时,“实数集”一词的含义就是“一个满足实数诸(一阶)公理的模型”,薛问天先生怎么还不明白呢?】,即所谓从实数的一阶理论的模型外部看实数集是可数的。【注:应改为 “即从实数的一阶理论的模型外部看这个模型是个可数集”。】这个论断是错误的,因为 【实数的一阶逻辑模型】这个模型(集合)并不等同于【实数集】。【注:我从来没有将这个模型等同于【实数集】。】

 

我在《对《评「反对伊战」的回复》一文的回复》中说

“我在《对《评反对伊战的商榷()》一文的回复》中写道:关于从模型内和模型外看,可以有不同性质,这里有一个现成的例子,那就是我《实数集的势》中的一段话,那里,我在讨论一个满足实数诸(一阶)公理的模型,而这个模型是可数集。我说康托在19世纪末证明了实数集与自然数集不等势…””

薛问天先生在《评「反对伊战」的回复》一文中完全忽视我那里,我在讨论一个满足实数诸(一阶)公理的模型的说明,硬是把后面引文中的实数集理解为二阶公理的模型,而不是一阶公理的模型,当然,然后他指出我例子的错误。薛问天先生这样做是很无聊的。”

现在,不知为什么,薛问天先生在评「反对伊战」《关于第(3)部分的讨论》》中第二段话中又做同样的事了。打个比方,就好比甲、乙对话中的乙,不顾甲说明“行走”是“向北行走”的意思,硬把“行走”理解为“向南行走”的意思,然后,去找甲的话里的“错误”。薛问天先生这样做是很无聊的。”

 

 

 

评「反对伊战」的回复

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 

一, (1-4)「反对伊战」先生说【 这里,薛问天先生错了,在实数一阶公理上再加上别的公理,它的模型当然是「 实数一阶逻辑的模型」。】
    请「反对伊战」先生注意,我们讨论的关键是LS定理说的「一阶逻辑理论有可数模型」,这里的「一阶逻辑理论」指的是「所有的公理都是由一阶逻辑形式的公理所构成的理论」,只有这样的理论系统LS定理才保证有可数的模型。

由于ZF公理系统全是一阶逻辑的公理,困而ZF公理系统有可数模型。由于「实数的一阶逻辑理论」,包含的全是实数的一阶逻辑公理,因而它有可数模型。

但是LS定理并不能保证「实数的一阶逻辑理论+别的公理(实数的一条二阶逻辑公理),这样的理论有可数模型。」因为它己经不全是由一阶逻辑形式的公理构成,其中含有了二阶逻辑形式的公理。

请问 「反对伊战」先生,你是否认为「 实数的一阶逻辑理论+别的公理 (实数的一条二阶逻辑公理)」,这样的理论还适用于使用LS定理,能推论出它一定有可数模型? 这样的推论是否是对LS定理的误读?

二,我在上次己经说过斯科伦悖论〖 不能作为 「反对伊战」先生为其观点辩解的依据。这有两点不同。第一,模型不同,一个是【实数的一阶逻辑理论的模型】,另一个是【 集合论的ZF公理系统的模型】。第二,证明的公理系统不同,一个是 【实数的一阶逻辑+实数的一条二阶逻辑公理】,一个是 【 集合论的ZF公理系统】。〗

不知为何先生在回复中不仅未提这个不同,而且故意模糊这个概念,只提【模型】,而不提是什么理论(公理系统)的【模型】。要知道斯科伦悖论讲的是「 集合论的ZF公理系统的模型」,而你讲的是「 实数的一阶逻辑理论+实数的一条别的二阶逻辑公理构成的公理系统的模型」。这是不同的公理系统模型下的情况。「斯科伦悖论」并不是你所提出的  【别的公理】,和【复杂的讨论】的具体内容。

毕竟我们学习的目的不是为了死记硬背已有的结论,讨论的目的也不是看谁记的结论是对是错。而是要理解,要多问几个为什么,从逻辑联系中体会理论的精髓。

这里有两个问题需要讨论,第一,「存在不可数集合。」和「实数是不可数集合」。是否应是两个不同的命题。  在「 实数的一阶逻辑理论+实数的一条别的二阶逻辑公理构成的公理系统」中可以证明 「实数是不可数集合」,这个道理可以讲通。但是由于公认的一阶逻辑的局限性,作为全是一阶逻辑的ZF公理系统是不可能给出完整的准确的「实数集合」这个概念的,因而在此系统中是不可能证明「实数是不可数集合」这样的涉及「实数集合」的定理的。

第二,我在上次己经质疑,既然公认一阶逻辑有局限性,它不可能表达有限和可数这样的概念,怎么能在「 全是一阶逻辑的ZF公理系统」中证明涉及「可数」概念的 「存在不可数集合」这样的定理。

这两个未想清楚的问题有待进一步学习和思考。

三, 在我说:「反对伊战」先生讲的是【实数的一阶逻辑模型】,他错误地以为这个模型(集合)等同于实数集后。 「反对伊战」先生辩解说【注:我从来没说过这个模型等同于实数集】。

这真是奇怪的逻辑。既然你没说过这样的【等同】的话,那么怎么理解你说的这样的话:【 “实数集”一词的含义就是“一个满足实数诸(一阶)公理的模型”,】
难道用语【就是】不就是【等同】?

噢!你也许会辩解说这不是你说的,而是你说的「数理逻辑学家们」说的。不过不要忘了,对于这种【等同】的说法你是认同了的,认为【没有什么问题】,怎么能在此矢口否认。下面是你亲自说的话:

【 我文章中“实数集”一词是指一个满足实数诸(一阶)公理的模型。薛问天先生对此是不赞同的,他说:“要知道实数的一阶理论的模型和实数集合是两个不同的概念”。可是,我印象中,数理逻辑学家们谈起“实数集可以是可数集”时,“实数集”一词的含义就是“一个满足实数诸(一阶)公理的模型”,没什么问题,】

四, 「反对伊战」先生说【 薛问天先生在《评「反对伊战」的回复》一文中完全忽视我“那里,我在讨论一个满足实数诸(一阶)公理的模型”的说明,硬是把后面引文中的实数集理解为二阶公理的模型,而不是一阶公理的模型,当然,然后他指出我例子的“错误”。薛问天先生这样做是很无聊的。”】

在这里 「反对伊战」先生把【说明】和【理解】在数学中的作用过分地夸大了。在数学中「实数集」有公认的确定的明确的定义,它究竟等同于「实数的一阶公理模型」还是等同于「实数的二阶公理模型」,这不是你我可以随意【说明】和【理解】的,有公认的结论。由于一阶逻辑的局限性,公认「实数的一阶逻辑公理」不能完整地表达实数的全部属性 ,所以「实数的一阶逻辑公理理论」的模型(集合)不等同于「实数的集合」。而公认「实数的二阶逻辑公理理论」才能表达实数的全部理论。所从「实数的二阶模型」才等同于「实数的集合」。



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