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zmn-0046 「反对伊战」: 对《评「反对伊战」《关于第（3）部分的讨论》》的回复，薛问天: 评「反对伊战」的回复

已有 2182 次阅读 2019-8-12 10:59 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

zmn-0046 「反对伊战」: 对《评「反对伊战」《关于第（3）部分的讨论》》的回复，薛问天: 评「反对伊战」的回复

【编者按。下面是「反对伊战」先生对《 Zmn-0045》薛问天先生的评论的回复，及薛问天先生对此回复的评论。现发布如下，希望网友们关注并积极参与评论。】

对《评「反对伊战」《关于第（3）部分的讨论》》的回复

反对伊战

薛问天先生在几篇文章中，关于第（3）部分的讨论，错误不断，现举例如下。

（1）薛问天先生在《评「反对伊战」的回复》一文中说：“「R是可数的」和「R是不可数的」都属于二阶逻辑，是在实数的一阶逻辑中不能表达和证明的。因而，从一阶模型内部看「实数集是不可数集」，也是错误的。”薛问天先生的说法是不对的。「R是不可数的」不能在一阶逻辑中表达，但可在二阶逻辑中表达出来。表达出来的命题在一阶模型中为真，所以，从一阶模型内部看「实数集是不可数集」成立。

(2)薛问天先生在《再评「反对伊战」的再回复》中说“在二阶逻辑表达出来的命题在一阶模型中为真，这是一句地地道道的行外话。二阶逻辑的公式就不是一阶逻辑的合式公式，怎么还能在一阶逻辑中证明为真。真是天大的笑话。”这里，薛问天先生混淆了“命题在一个模型中为真”和“命题能够被证明为真”这两个不同概念，自己闹了一个笑话。

(3)在《评「反对伊战」先生对我的 《评小结》的回复》中，薛问天先生质问道“如果在实数一阶公理上再加上实数的【别的公理】(只能是实数的某个二阶逻辑的公理)，它的模型还能称得上是「实数一阶逻辑的模型」吗?”这里，薛问天先生错了，在实数一阶公理上再加上别的公理，它的模型当然是「实数一阶逻辑的模型」。

（4）在评《「反对伊战」《关于第（3）部分的讨论》》中，薛问天先生反问道：“也就是说这个模型己经是「实数的所有一阶逻辑公理+一条别的公理(一条实数的二阶逻辑公理)」的模型。这样的模型还能称为是【实数的一阶逻辑理论的模型】吗?”这里，薛问天先生重复了（3）中的错误。

斯科伦悖论的解决方法当然给【从模型内部看，实数集合是个不可数集】的说法提供了依据。ZF公理系统是一阶逻辑的公理系统，由 LS定理它有可数模型，将此模型记为M。而由ZF公理系统，可以证明一些集合，比如实数集R，为不可数集。于是产生了一个矛盾，作为可数集的ZF公理系统的模型M怎么会有一个不可数子集R？这就是「斯科倫悖论」。

悖论的一个解决方法是“但是正在讨论的这些集合是不可数的，只是在模型内不存在从自然数到这些集合的双射意义上。在模型外有一个双射是完全有可能的。”即模型M内不存在从自然数到R的双射。既然如此，R内当然不存在从自然数到R的双射，因为R是M的子集。所以，【从模型内部看，实数集合是个不可数集】的说法成立。这就好像一个人说某数不是自然数，当然可以拿出“这个数不是有理数”的已有结论来做依据。

薛问天先生说：“果然不出所料，「反对伊战」先生所谓的【别的公理】，【复杂的讨论】以及【专家们苦心研究出来的结果】，并不是他悉心学习和深入思考的所获，而是随意的主观臆想，和道听途说的内容。拿不出证据和文献来，最后只能靠「百度」搜来的「斯科倫悖论」来为他辩解。”「百度」搜来的「斯科倫悖论」就不是“证据”吗？我说的模型内、模型外的说法是我大约20年前学的，手头早已没有文献，好在上面的说法实在太有名，我通过百度都能搜到。

我前面一段已经说明了【从模型内部看，实数集合是个不可数集】的说法成立，并说明了【从模型内部看，实数集合是个不可数集】这种说法是数学家们对「斯科倫悖论」的一个解决方法，所以，说【从模型内部看，实数集合是个不可数集】是【专家们苦心研究出来的结果】没有问题。

现在已清楚，「实数集不可数」可以在ZF系统中获证。所以，当「实数集不可数」在实数一阶理论中得不到证明时，我说【这个可以用别的公理去证明。不过，要涉及复杂的讨论。】这个说法是没问题的。所以，我的【别的公理】，【复杂的讨论】的说法是没问题的。

《评「反对伊战」《关于第（3）部分的讨论》》中第二段话，薛问天先生犯的错误太多，我就直接

引原文，加上自己的评注（【注：】形式）。

「反对伊战」先生讲的是【实数的一阶逻辑模型】，他错误地以为这个模型(集合)等同于实数集【注：我从来没说过这个模型等同于实数集】，从而由LS定理的推论「实数的一阶逻辑理论有可数模型」错误地得出【实数集可以是可数集】【注：我已经很多遍地说了：数理逻辑学家们谈起“实数集可以是可数集”时，“实数集”一词的含义就是“一个满足实数诸（一阶）公理的模型”，薛问天先生怎么还不明白呢？】，即所谓从实数的一阶理论的模型外部看实数集是可数的。【注：应改为 “即从实数的一阶理论的模型外部看这个模型是个可数集”。】这个论断是错误的，因为【实数的一阶逻辑模型】这个模型(集合)并不等同于【实数集】。【注：我从来没有将这个模型等同于【实数集】。】

我在《对《评「反对伊战」的回复》一文的回复》中说

“我在《对《评反对伊战的商榷(四)》一文的回复》中写道：“关于“从模型内和模型外看，可以有不同性质”，这里有一个现成的例子，那就是我《…实数集的势》中的一段话，那里，我在讨论一个满足实数诸（一阶）公理的模型，而这个模型是可数集。我说“康托在19世纪末证明了实数集与自然数集不等势…””

薛问天先生在《评「反对伊战」的回复》一文中完全忽视我“那里，我在讨论一个满足实数诸（一阶）公理的模型”的说明，硬是把后面引文中的实数集理解为二阶公理的模型，而不是一阶公理的模型，当然，然后他指出我例子的“错误”。薛问天先生这样做是很无聊的。”

现在，不知为什么，薛问天先生在《评「反对伊战」《关于第（3）部分的讨论》》中第二段话中又做同样的事了。打个比方，就好比甲、乙对话中的乙，不顾甲说明“行走”是“向北行走”的意思，硬把“行走”理解为“向南行走”的意思，然后，去找甲的话里的“错误”。薛问天先生这样做是很无聊的。”

评「反对伊战」的回复

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一， (1-4)「反对伊战」先生说【这里，薛问天先生错了，在实数一阶公理上再加上别的公理，它的模型当然是「实数一阶逻辑的模型」。】
请「反对伊战」先生注意，我们讨论的关键是LS定理说的「一阶逻辑理论有可数模型」，这里的「一阶逻辑理论」指的是「所有的公理都是由一阶逻辑形式的公理所构成的理论」，只有这样的理论系统LS定理才保证有可数的模型。

由于ZF公理系统全是一阶逻辑的公理，困而ZF公理系统有可数模型。由于「实数的一阶逻辑理论」，包含的全是实数的一阶逻辑公理，因而它有可数模型。

但是LS定理并不能保证「实数的一阶逻辑理论+别的公理(实数的一条二阶逻辑公理)，这样的理论有可数模型。」因为它己经不全是由一阶逻辑形式的公理构成，其中含有了二阶逻辑形式的公理。

请问「反对伊战」先生，你是否认为「实数的一阶逻辑理论+别的公理 (实数的一条二阶逻辑公理)」，这样的理论还适用于使用LS定理，能推论出它一定有可数模型? 这样的推论是否是对LS定理的误读?

二，我在上次己经说过斯科伦悖论〖不能作为「反对伊战」先生为其观点辩解的依据。这有两点不同。第一，模型不同，一个是【实数的一阶逻辑理论的模型】，另一个是【集合论的ZF公理系统的模型】。第二，证明的公理系统不同，一个是【实数的一阶逻辑+实数的一条二阶逻辑公理】，一个是【集合论的ZF公理系统】。〗

不知为何先生在回复中不仅未提这个不同，而且故意模糊这个概念，只提【模型】，而不提是什么理论(公理系统)的【模型】。要知道斯科伦悖论讲的是「集合论的ZF公理系统的模型」，而你讲的是「实数的一阶逻辑理论+实数的一条别的二阶逻辑公理构成的公理系统的模型」。这是不同的公理系统模型下的情况。「斯科伦悖论」并不是你所提出的【别的公理】，和【复杂的讨论】的具体内容。

毕竟我们学习的目的不是为了死记硬背已有的结论，讨论的目的也不是看谁记的结论是对是错。而是要理解，要多问几个为什么，从逻辑联系中体会理论的精髓。

这里有两个问题需要讨论，第一，「存在不可数集合。」和「实数是不可数集合」。是否应是两个不同的命题。在「实数的一阶逻辑理论+实数的一条别的二阶逻辑公理构成的公理系统」中可以证明「实数是不可数集合」，这个道理可以讲通。但是由于公认的一阶逻辑的局限性，作为全是一阶逻辑的ZF公理系统是不可能给出完整的准确的「实数集合」这个概念的，因而在此系统中是不可能证明「实数是不可数集合」这样的涉及「实数集合」的定理的。

第二，我在上次己经质疑，既然公认一阶逻辑有局限性，它不可能表达有限和可数这样的概念，怎么能在「全是一阶逻辑的ZF公理系统」中证明涉及「可数」概念的「存在不可数集合」这样的定理。

这两个未想清楚的问题有待进一步学习和思考。

三，在我说:「反对伊战」先生讲的是【实数的一阶逻辑模型】，他错误地以为这个模型(集合)等同于实数集后。「反对伊战」先生辩解说【注：我从来没说过这个模型等同于实数集】。

这真是奇怪的逻辑。既然你没说过这样的【等同】的话，那么怎么理解你说的这样的话:【 “实数集”一词的含义就是“一个满足实数诸（一阶）公理的模型”，】
难道用语【就是】不就是【等同】?

噢！你也许会辩解说这不是你说的，而是你说的「数理逻辑学家们」说的。不过不要忘了，对于这种【等同】的说法你是认同了的，认为【没有什么问题】，怎么能在此矢口否认。下面是你亲自说的话:

【我文章中“实数集”一词是指一个满足实数诸（一阶）公理的模型。薛问天先生对此是不赞同的，他说：“要知道实数的一阶理论的模型和实数集合是两个不同的概念”。可是，我印象中，数理逻辑学家们谈起“实数集可以是可数集”时，“实数集”一词的含义就是“一个满足实数诸（一阶）公理的模型”，没什么问题，】

四，「反对伊战」先生说【薛问天先生在《评「反对伊战」的回复》一文中完全忽视我“那里，我在讨论一个满足实数诸（一阶）公理的模型”的说明，硬是把后面引文中的实数集理解为二阶公理的模型，而不是一阶公理的模型，当然，然后他指出我例子的“错误”。薛问天先生这样做是很无聊的。”】

在这里「反对伊战」先生把【说明】和【理解】在数学中的作用过分地夸大了。在数学中「实数集」有公认的确定的明确的定义，它究竟等同于「实数的一阶公理模型」还是等同于「实数的二阶公理模型」，这不是你我可以随意【说明】和【理解】的，有公认的结论。由于一阶逻辑的局限性，公认「实数的一阶逻辑公理」不能完整地表达实数的全部属性，所以「实数的一阶逻辑公理理论」的模型(集合)不等同于「实数的集合」。而公认「实数的二阶逻辑公理理论」才能表达实数的全部理论。所从「实数的二阶模型」才等同于「实数的集合」。

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