Zmn-0055反对伊战: 关于林益先生《我的困惑》的讨论

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关于林益先生《我的困惑》的讨论

反对伊战

考虑凾数x^{1/x}（x>1）的最大值，此处x^{1/x}表x的（1/x）次方。对此凾数取自然对数，再求导，得（-lnx+1）/x^2。令此导数为0，得x=e。所以，凾数x^{1/x}（x>1）在x=e=2.71828…时，取最大值。

     Zmn-0052数列(A1)中取a=e^{1/e},将得到的数列称为数列(A1*)，则可用数学归纳法证明数列(A1*)中每一项都小于e，且数列(A1*)单调递增，所以数列(A1*)有极限，且极限小于等于e。由于凾数x^{1/x}（x>1）在x=e时，取最大值，所以Zmn-0052数列(A3) 小于等于数列(A1*)，所以数列(A3)有上界e，又数列(A3) 单调递增，所以数列(A3) 有极限，且极限小于等于e。

可用数学归纳法证明Zmn-0052数列 (A2)中每一项都小于2，又数列(A2) 单调递增，所以数列(A2) 有极限，且极限小于等于2。Zmn-0052数列(A4)与数列(A2)相同，因为2^{1/2}=4^{1/4}。

         一般地，考虑Zmn-0052数列(A1)（a>1）。如果此数列有极限，记为x，则a^x=x，所以a= x^{1/x}。由前面讨论知x^{1/x} 小于等于e^{1/e}，此处e=2.71828…，所以a> e^{1/e}时，方程a^x=x无解，此时，所以数列(A1)无极限，又数列(A1) 单调递增，所以此数列趋于无穷。当a小于等于e^{1/e}时，数列(A1) 小于等于数列(A1*)，所以数列(A1)有上界e，又数列(A1) 单调递增，所以数列(A1) 有极限，且极限小于等于e。

当1<x<e时，ln(x^{1/x})的导数为（-lnx+1）/x^2>0。所以，ln(x^{1/x})单调递增，所以x^{1/x}单调递增，从而对1<a小于等于e^{1/e}，方程a^x=x即方程a= x^{1/x}（要求1<x小于等于e）的解唯一。这个解就是数列(A1)的极限。所以，数列(A1*)的极限为e, 数列(A2) 的极限为为2。

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