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Zmn-0055反对伊战: 关于林益先生《我的困惑》的讨论

已有 511 次阅读 2019-9-7 10:27 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0055反对伊战: 关于林益先生《我的困惑》的讨论


【编者按。反对伊战先生参与了关于林益先生《我的困惑》的讨论。现发布于后。欢迎网友们关注,并积极参与评论。】

 

关于林益先生《我的困惑》的讨论

反对伊战

 

考虑凾数x^{1/x}x>1)的最大值,此处x^{1/x}x的(1/x)次方。对此凾数取自然对数,再求导,得(-lnx+1/x^2。令此导数为0,得x=e。所以,凾数x^{1/x}x>1)在x=e=2.71828…时,取最大值。

     Zmn-0052数列(A1)中取a=e^{1/e},将得到的数列称为数列(A1*),则可用数学归纳法证明数列(A1*)中每一项都小于e,且数列(A1*)单调递增,所以数列(A1*)有极限,且极限小于等于e。由于凾数x^{1/x}x>1)在x=e时,取最大值,所以Zmn-0052数列(A3) 小于等于数列(A1*),所以数列(A3)有上界e,又数列(A3) 单调递增,所以数列(A3) 有极限,且极限小于等于e

可用数学归纳法证明Zmn-0052数列 (A2)中每一项都小于2,又数列(A2) 单调递增,所以数列(A2) 有极限,且极限小于等于2Zmn-0052数列(A4)与数列(A2)相同,因为2^{1/2}=4^{1/4}

         一般地,考虑Zmn-0052数列(A1)a>1)。如果此数列有极限,记为x,则a^x=x,所以a= x^{1/x}。由前面讨论知x^{1/x} 小于等于e^{1/e},此处e=2.71828…,所以a> e^{1/e}时,方程a^x=x无解,此时,所以数列(A1)无极限,又数列(A1) 单调递增,所以此数列趋于无穷。当a小于等于e^{1/e}时,数列(A1) 小于等于数列(A1*),所以数列(A1)有上界e,又数列(A1) 单调递增,所以数列(A1) 有极限,且极限小于等于e

1<x<e时,ln(x^{1/x})的导数为(-lnx+1/x^2>0。所以,ln(x^{1/x})单调递增,所以x^{1/x}单调递增,从而对1<a小于等于e^{1/e},方程a^x=x即方程a= x^{1/x}(要求1<x小于等于e)的解唯一。这个解就是数列(A1)的极限。所以,数列(A1*)的极限为e, 数列(A2) 的极限为为2

 


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