zmn-0051 「反对伊战」: 对《评 「反对伊战」先生的【几点说明】》的回复，薛问天: 评 「反对伊战」先生几点说明后的回复

【编者按。下面是「反对伊战」先生对《 Zmn-0049》薛问天先生的评论的回复，及薛问天先生对此回复的评论。现发布如下，希望网友们关注并积极参与评论。】

对《评 「反对伊战」先生的【几点说明】》的回复

              反对伊战

我在上一篇文章的（二）中已经说了“我上篇文章中，谈【别的公理】时，意思是ZF公理”。在上一篇文章的（三）中，我具体说明了我是怎么获得一个实数的一阶公理的可数模型的。我说“设M为ZF公理系统的一个可数模型，R为M中的实数集，则那个实数的一阶公理的可数模型就取为R。”即取R为M中的实数集后，R满足实数的全部二阶公理，所以R满足实数的全部一阶公理，而R是M的子集，所以R可数。所以，R是一个实数的一阶公理的可数模型。

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Background部分： When Zermelo proposed his axioms for set theory in 1908, he proved Cantor's theorem from them to demonstrate their strength 即由ZF公理可以证明断言“R为不可数集”的康托定理。所以，我只用了ZF公理，并没有用实数的二阶逻辑公理（也没有用实数的一阶逻辑公理）。

评 「反对伊战」先生几点说明后的回复

薛问天
xuewentian2006@sina.cn

「反对伊战」先生的短文里的论据，共有四句话。分别加以评论。

第一句话:【 设M为ZF公理系统的一个可数模型，】

这句话没有问题。因为ZF公理可以全部表示为一阶逻辑的形式，按照LS定理，存在有可数模型。

第二句话:【R为M中的实数集，】

对这句话有疑问。ZF公理可证「存在有不可数集」，是否就可断定在ZF的模型中存在集合R，【 R为M中的实数集】?需要考查这个证明的原文，看他究竟证明的是怎样的命题，以及是如何证的。

第三句话:【则那个实数的一阶公理的可数模型就取为R。】为了解释这句话「反对伊战」先生又补充说:【 即取R为M中的实数集后，R满足实数的全部二阶公理，所以R满足实数的全部一阶公理，而R是M的子集，所以R可数。所以，R是一个实数的一阶公理的可数模型。】

对这句话的质疑同对前面第二句话的质疑是连在一起的。ZF公理所证明的存在的不可数集合是否是真正的实数集合 ，是否是【满足全部实数二阶公理】的实数集合，需要查看原证明。另外，如果R是【满足全部实数二阶公理】的实数集合，则R就是一个实数二阶理论的模型。但我们知道实数二阶理论的模型的基数是唯一的:连续统，不可数。R怎么能是可数集合呢！

第四句话: 【 由ZF公理可以证明断言“R为不可数集”的康托定理。所以，我只用了ZF公理，并没有用实数的二阶逻辑公理（也没有用实数的一阶逻辑公理）】

我现在还不清楚ZF公理同实数的一阶逻辑公理是什么关系。他们是等同的吗？如果不等同，那么既使假定第二第三句话没有问题，从第四句话也只能推出从「ZF公理的可数模型」内部看 “R为不可数集”，仍然推不出从【实数的一阶逻辑模型】 内部看 “R为不可数集”。似乎「反对伊战」先生想要得出的结论是后者。

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