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Zmn-0063 薛问天;评林益先生《“1=0.999…”的困惑》

已有 1369 次阅读 2019-11-7 10:34 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0063 薛问天;评林益先生《“1=0.999…”的困惑》

【编者按。下面是薛问天先生对《zmn-0061》林益先生困惑的回答。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。】

 

 

 

评林益先生《“1=0.999…”的困惑》

薛问天
xuewentian2006@sina.cn

 

薛问天-c.jpg(1)验证1=0.9999……有很多方法。

林益先生提出的方法是,令x=0.9999……,

10×=10*0.9999……=9.9999……=9+x,从而9x=9,x=1。

其实,也可类似地用下述各式来验证(注:本文用 * 表示乘号)

9x=9*0.9999……=8.1+0.81+......=8.9999……=8+x,从而8x=8,x=1。

8x=8*0.9999……=7.2+0.72+......=7.9999……=7+x,从而7x=7,x=1。

7x=7*0.9999……=6.3+0.63+......=6.9999……=6+x,从而6x=6,x=1。

6x=6*0.9999……=5.4+0.54+......=5.9999……=5+x,从而5x=5,x=1。

5x=5*0.9999……=4.5+0.45+......=4.9999……=4+x,从而4x=4,x=1。

4x=4*0.9999……=3.6+0.36+......=3.9999……=3+x,从而3x=3,x=1。

3x=3*0.9999……=2.7+0.27+......=2.9999……=2+x,从而2x=2,x=1。

2x=2*0.9999……=1.8+0.18+......=1.9999……=1+x,从而1x=1,x=1。

当然这里涉及常数同无穷循环小数0.9999……的乘积运算的问题。乘积运算可以从无穷小数的高位到低位逐位相乘。由于这是无穷小数,所以这个乘积运算是一个无穷步演算。但是按照《 Zmn-0030薛问天: 再谈无穷步演算的禁忌》的分析,它属于「对演算结果有明确定义的无穷步演算」,并不在禁忌之列,因而对于这种演算的结果,我们还是承认和认可的。

 

(2)关于林益先提出的【如何从1得到0.9999……呢?】我也想了想,是否可以这样来验证。

1=9*(1/9)=9*0.1111…..=0.9999……

类似地还可以这样来验证。

1=3*(1/3)=3*0.3333……=0.9999……

1=6*(1/6)=6*0.1666……=0.9999……

1=7*(1/7)=7*0.142857142857……=0.9999……

这些都可以验证1=0.9999…… 。


(3)关于林益先生的【方法一】。他为了说明【不能认为1=0.9999......】,建立了集合

A={an=1-10-n|n∈N}={0.9,0.99,0.999,......},B={10-n|n∈N}和C=开区间(0,1)。然后他认为1不属于A,也不属于C。这当然无疑是正确的。但是他认为【显然0.9999......∈A】就是不正确的了。从而 0.9999......∈C,也是不正确的。
    关键是在这里要严格区分有穷小数同无穷小数两者的不同。在A中所有的数都是有穷小数,即A中所有的an都存在一个自然数n∈N,an是n位有穷小数。因而在A中不存在无穷小数。所以无穷小数0.9999......不在A中。自然也就不能推出它在C中。因而结论 【不能认为1=0.9999......】不成立。

(4)方法二,用长除法得到相应的无穷循环小数

1/9=0.1111......

2/9=0.2222......

......

8/9=0.8888......

当然没有问题。在运算过程中,每一步都有余数,尽菅余数愈来愈小,但可保证运算能无穷进行下去 。最后得到的是无穷循环小数。

并且用这些无穷循环小数可以进行 1=0.9999......的验证 。如:
1=(9/1)*(1/9)=9*0.1111......=0.9999......。
1=(9/2)*(2/9)=4.5*0.2222......=0.9999......。
1=(9/3)*(3/9)=3*0.3333......=0.9999......。
1=(9/4)*(4/9)=2.25*0.4444......=0.9999......。
1=(9/5)*(5/9)=1.8*0.5555......=0.9999......。
1=(9/6)*(6/9)=1.5*0.6666......=0.9999......。
1=(9/7)*(7/9)=(9/7)*0.7777......=0.9999......。
1=(9/8)*(8/9)=1.125*0.8888......=0.9999......。

    至于用长除法计算9/9,这只能得出1,不能用所谓【逆天的方法,违背除法法则】来进行除法运算。不过由9/9得不出无穷小数 ,不碍大局,仍可用1=9/9=(9/1)*(1/9)得出1= 9*0.1111......=0.9999......。

(5)结语。林益先生提出的问题实际上是对有理数域的认识问题。有理数域是由整数扩充和定义而成的。有理数定义为两个互质的整数p,q相除的商。如果能除尽,则p/q是一个有穷位小数,如果除不尽,则p/q是一无穷小数。而且可证这个无穷小数是无穷循环小数。因而有理数集可以定义为有穷位小数集和无穷循环小数集的并集。

如果我们把有穷小数位后补无穷多个0,看成是尾数为0的循环的无穷循环小数。如0.234=0.2340000......。这样我们就也可以把有理数简单地定义成无穷循环小数(包括尾数是0的无穷循环小数)。

这样一来,有理数就有两种表示方法: 一种是用整数对<p,q>表示; 一种是用无穷循环小数表示。当然在这两种表示方法间有相互转换的算法。

己知p,q,只要用长除法就可算出与p/q相等的无穷循环小数。因为已证明这是无穷循环小数,所以在有穷步之内即可发现循环之所在,求出相应的无穷循环小数。

己知无穷循环小数,也有完整的算法,求出相应的p,q。这个算法的基本要点是,对于完全循环小数,如果循环体有n位,则相应除式的分子就是循环体,分母为 10n-1 例如上面举的 0.142857142857......,是完全循环小数,循环体是142857,6位。所以

0.142857142857......=142857/(106-1)=142857/999999=1/7
再例如0.9999......是完全循环数,循环体是9,1位。所以
0.9999......=9/(101-1)=9/9=1/1=1。

注。如果该无穷循环小不是完全循环小数,即小数的前m位是不循环的,从m位以后才开始循环。那么就将此数乘以10m。这时该乘积数的小数部分就成为完全循环小数了。按照前述方法将其转换成两数相除。再加上乘积的整数部分,最后再还原乘以10-m,就可以转换成两整数相乘了。

这里还要特别注意,在有理数的无穷循环表示中,每个有穷小数都有两个相应相等的无穷循环表示,一个是尾数为0的循环小数,一个是尾数为9的循环小数,它们表示的同一有穷小数。

如 0.234=0.2340000......=0.2339999......。

同样地有1=1.0000......=0.9999......。

0.1=0.10000......=0.09999......

0.01=0.010000......=0.009999......

......

也就是说林益先生提出的1=0.9999......的问题,实际上也是有理数中对有穷小数的两种相等表示的问题。



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