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Zmn-0919 一阳生: 关于关系不可定义为集合的四点理由。

已有 455 次阅读 2022-11-24 11:27 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0919 一阳生:  关于关系不可定义为集合的四点理由。

【编者按。下面是一阳生先生的文章,是对薛问天先生《Zmn-0574》文章的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神,对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意,也有些有严重错误的文章在这里发布,就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

 

 

关于关系不可定义为集合的四点理由

一阳生

第一,【集合】固然是原始概念,但具体集合的存在如空集等的存在或定义,须依赖于【属于】关系。可以说没有【属于】关系就没有具体集合的存在。所以作为原始概念的【属于】关系如何可能被【集合】定义呢?

进一步,【属于】关系反而可作为其他关系和集合的定义基础。

 

第二,设集合X与Y存在,则X同Y的笛卡尔乘积的各个子集皆已存在。我们须在各子集中找到需要的集合。

对笛卡尔乘积应用子集公理,我们通过某种关系R(x,y)来发现集合{<x,y>: R(x,y)成立}。关系R(x,y)成立即对于每个x ∈X,都有唯一的y ∈Y,使得R(x,y)成立。

根据集合论公理可知关系或性质对于定义或发现或描述一个集合必不可少。一个关系或性质成立必然对应一个集合。(但一个集合可能对应多个关系或性质成立。)请问薛老师这就是把关系或性质混同为集合的理由吗?请问薛老师如果把关系或性质定义为集合,岂不等于是用集合自身定义自身或发现自身或描述自身吗?把两个种类不同的对象说成是同一种类对象,岂不是强行定义?

 

第三,若把关系定义为笛卡尔乘积的子集,现在考察笛卡尔乘积NxNxN的子集。有满足加法关系的子集R1  ={<x,y,z>:x+y=z },有满足乘法关系的子集R2 ={<x,y,z>:x *y=z },也有满足某关系的子集R3 ={<2,2,4> },……。

由于R3是R1和R2的子集,作为关系的R3既是加法关系又是乘法关系。

同时R3还可以是关系2+2+4或关系2*2*4等等,即三个对象x,y,z均作为加数或乘数等等。三元组元素<x,y,z>中并没有要求输入输出或自变量因变量须同时具备。

由此可看出一个笛卡尔乘积的子集,可以是多种关系,不能准确的表达某一具体关系。不能充分的表达某种关系。 

 

第四,根据您在啄木鸟专栏[Zmn-0574]文章中的【R(x,y)的成立当且仅当〈x,y)∈R的成立。】

当我们把加法x+y=z的关系定义为笛卡尔乘积NxNxN中的一个子集R1={<x,y,z>:x+y=z }时。关系1+1=3相对于子集R1是不成立的,但相对于子集R4={<1,1,3>}却是可以成立的。

如此造成的后果是同一关系成立与否依面对不同集合而定。请问薛老师是否对此产生了荒谬之感?

 

最后针对您在[Zmn-0910]中的跟帖评论进行回复。

既然把关系定义为集合,对关系可询问是否成立,自然对集合也可询问是否成立。这是最简单朴素的逻辑了。

而您却扭曲成【R(x,y)的成立当且仅当〈x,y)∈R的成立。】即【R(x,y)等价于〈x,y)∈R】。这与【关系=笛卡尔乘积的子集】的定义,即【R(x,y)=R】是矛盾的。

您这是在强行定义的基础上,再把定义扭曲回来,以达到对关系不问是否存在,对集合不问是否成立的目的。

 

说您违反公理,是因为【属于】关系是集合论公理中的原始概念。而您却企图把属于关系定义为集合,如R={〈X,Y〉:X∈Y }。显然您的企图没有达成,仅仅是用属于关系定义了一个集合而已。但不能说该集合是属于关系。

 

关于歧义,如果把关系定义为集合,那么集合{< 1,2 >}就叫做关系,进一步叫做1属于2的关系。而不是把<1,2>∈ {< 1,2 >}叫做1属于2的关系。

显然{< 1,2 >}与1 ∈2都叫做1属于2的关系,歧义了。

 

关于不充分的问题,我温习了函数相等的定义,设X=Y={0},则y=x,y=2x,y=3x等函数都是同一函数。这些函数都是同一个关系{<0,0>}。此处我举例不当。

 

关于用“物化”和“产物”作比喻的问题。两个集合如1与2,和它们之间的关系如属于关系、小于关系,犹如现实世界中的事物和事物之间的联系。具体事物的本质特征都是用该事物与别的事物的联系或关系定义的。定义的过程可称为物化。定义的结果或产物就是把握住了事物的本质特征,即标志事物存在了。事物存在了并不意味着联系或关系就此消失了,由事物进行取代。

由此看来联系或关系有可能是比事物更加原始的概念,集合论中即是如此。


 

 

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