Zmn-0876 薛问天: 对吴先生比较无穷集合大小的【元素数量】定义的评论.评吳文杰先生《0874》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对吳文杰先生《Zmn-0874》的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

对吴先生比较无穷集合大小的【元素数量】定义的评论

评吳文杰先生《0874》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

 。

抓重点，这次不谈其它问题，如抽象的【无穷】是否是数学慨念，极限分不分【可达极限】和【不可达极限】，以及【潜无穷观】能否用于研究集合论。专门讨论吴先生提出的【无穷集合的大小比较】定义的问题。

一，对吴先生给出的，比较无穷集合大小的【元素数量】定义的评论。

首先要请吴先生给他定义的概念起个名子，就是说要说清楚对集合的什么属性进行大小比较。例如康托尔定义了【基数(势)】，是用来比较集合【基数(势)】的大小。还定义了【序数】，是用来比较良序集合【序数】的大小。包括李先生定义的【元素数目】，是比较集合的【元素数目】的大小。(当然，李先生的定义是失败的，原先的定义I,Ⅱ,,Ⅲ,不完整，后来的定义I,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ有矛盾。)也就是说，他们都在定义集合的某个属性，是在比较集合的某个属性的大小。例如你要比较孩子的大小，要说清是比较他年龄的大小，还是身高的大小，还是体重的大小，要说清楚。你应该对你定义的比较大小的集合属性起个名字。例如我把你定义的属性称为集合的【元素数量】。

先对无穷观说几句。要知道，集合论的业界是对【外延公理】适用于无穷集合是没有争论的。有异义的是那些持潜无穷观的人。要知道持潜无穷观的人，无法接受集合论的任何理论。包括吳先生这些要为集合定义【元素数量】的人，都不能持潜无穷观。如果连集合的最终形成，外延的确定性都不承认，还怎么会有确定的集合的【元素数量】，不确定的【数量】，怎么能比较它们的大小。

另外，吴先生说【实分析中⽤的就是潜⽆穷思想】。这也是一种错误的认识。现代的实分析理论同样是建立在实无穷观的基础上的，是以承认无穷集合，无穷序列的确定性为基础的。正是承认了确定的无穷序列的存在，才能承认它有确定的极限。分析理论是以实数理论为基础的，而现代的实数理论又是建立在现代的集合论的基础之上的，怎么能说【实分析中⽤的就是潜⽆穷思想】。潜无穷观不承认无穷集合的外延公理，自然也不会承认无穷序列的外延确定性，也就是说连相应各项都相互相同的无序序列是同一个无穷序列都不承认。不承认无穷序列的确定性，怎么研究极限。要知道只有持实无穷观才能承认确定的无穷序列这个数学对象的存在，才有确定的有穷和无穷极限，这个确定的数学对象属性的存在。可吳先生竟然说这个无穷极限"无穷大"是【潜⽆穷中的⽆穷⼤】。这显然是错误的认识。

现在我们来具体评论吴先生给出的，关于无穷集合【元素数量】的定义。

吴先生沒有给出严格的数学定义。只是举例来说明。从他的例子可以看出他是这样的定义。他首先把无穷集合看成一个无穷序列，然后把序列的项组成一个个有限集，从而整个集合就成为这些项的有限集组成的无穷序列的并集合。于是吳先生就把这些有限集合的个数形成的无穷级数，即部分和序列，称为是集合的【元素数量】。显然这个由有限集合的个数形成的级数，即部分和序列，是以无穷大为极限的变量。

例如自然数集合

N={0,1,2,3,...}={0,1}U{2,3}......=∪_n=0^∞{2n,2n+1}。

N的【元素数量】=2+2+2+......= 2n(n→∞)。     (1)

吴先生就把这个变量2n(n→∞)，定义为集合N的【元素数量】。

对吳先生这个定义我认为有如下几个问题，是不妥的。

1)，最重要的不妥或错误，是这个定义是不确定的。同一个集合可定义出无穷多个【元素数量】来。

即刚才这个自然数集N的【元素数量】定义为: 2n(n→∞)。

但是也知N={0,1,2,3,...}={0}U{1}∪{2}.....         .(2)

从而自然数集N的【元素数量】是1+1+1+...=n(n→∞)。又知

N={0,1,2,3,...}={0,1,2}U{3,4,5}......         (3)

自然数集N的【元素数量】是3+3+3+...=3n(n→∞)。又知

N={0,1,2,3,...}={0,1,3,4}U{5,6,7,8}......         (4)

自然数集N的【元素数量】是4+4+4+...=4n(n→∞)。......

太多了，这怎么能成为正式的数学定义呢？

2)，这个定义中对集合有过分的要求，要求集合的基数必须是可数无穷的。

定义中要求集合能分解为可数无穷多个有限集的并集。也就是说要求集合的基数必须是可数无穷的。这对集合的要求太过分了。要知道不可数的集合很多，如实数集等。对这些集合，吳先生的【元素数量】没有定义。

3)，定义的【元素数量】只能对集合内部的一些非常简单的子集求出和作比值的比较。

只是对一个集合内部的一些非常简单的子集，如偶数集和奇数集等可以在同一种划分中求出相应的变量，来作【元素数量】比值的比较，而对一些稍复杂的子集，你就求不出相应的变量来，如N中所有素数的集合，吳先生你如何用你的方法求出它的【元素数量】来，同N比较大小？

4)，同一集合排成不同序列，求出的的集合同子集的【元素数量】比值是不同的，

吴先生自己已认识到，他的定义同元素在序列中的位置关系很大，他的定义不是集合同子集【元素数量】的比较，而是序列同其子集【元素数量】的比较。要知道集合并不只能排成一个序列，而是可以排成很多很多不同的序列。

总之，综合以上所述，吳先生所定义的这样的【天素数量】并不是对任何无穷集合都有确定的定义，都可以比较大小。不是吴先生所说的【三，⽆穷集合的⼤⼩定义】。只是对可数无穷集合组成的确定的无穷序列中一些简单子集，给出了【元素数量】的定义。而且如果子集在序列的位置有一定的规律时，才可求出此子集同序列间【元素数量】的比值。注意这是在同一序列内部，子集同序列间【元素数量】的比值。如果对同一集合不同序列分别求出比值，在假定两个序列的【元素数量】相等，或假定相应子集合的【元数数量】相等的条件下，当然也可算出它们之间的相互比值。显然这不是吴先生想要得到的【四，不同⽆穷集合间⼤⼩的⽐较】 。而是同一集合组成的不同序列及其子集在一定假定条件下【元素数量】的比较。

当然总括说起来，这样的【元素数量】的定义，距离一个数学定义的要求还问题很多，相差甚远。

二，接着再对吴先生的文章五，六，七，作些评论。

吴先生在五中说【前⾯对⽆穷集合间⼤⼩⽐较的定义是基于极限，现在把它转化为基于映射。 】他的【元素数量】是定义为那无穷多个有限集个数构成的无穷级数，即部分和序列形成的变量，这个变量以无穷大为极限。吴先生并沒有真正地将此基于极限的定义转成基于映射的定义。只是引入了几个映射，就说【基于不同的映射，两个⽆穷集合间的元素关系是不⼀样的。】不知吴先生引入映射想说明什么问题，而且其中f映射实际不是映射，把1映射到1,3把3映射到5,7，这都是不允许的，映射必须要求单值。

吳先生在六中的三段论段说明，

(1)吴先生定义的【元素数量】，只在集合内部比较子集合时起点作用，在集合相互之间没有任何作用，对于这点吴先生已有所认识，他列出了这些集合的【元素数量】，承认它们【是不可⽐较的。】

(2)说明对于可数集合的序列，可以对序列中一些简单的子集，如偶数集奇数集等，进行【元素数量】的定义。在它们所的处位置有一定规律时，这些【元素数量】可以进行比值的比较。

(3)当集合之间存在⼀⼀映射时，此时则这些集合间应有【元素数量】相等。但是这在【元素数量】的变量定义中并无无此定义。所以吴先生仍认为【元素数量】【在不同的映射关系下是不⼀样的。】

也就是说吴先生的【元素数量】定义，对任意两个集合来讲，断定不了它们是相等还是不相等，是不确定的，这就不能作为一正确概念的数学定义。但是我们知道，【基数】对任意集合来讲，都有确定的定义，两个集合间的映射有很多。如果存在一个映射是双射，则定义【基数】相等，如果不存在双射，即所有的映射都不是双射，则【基数】不等。从而对任何两个集合都定义出它的【基数】相等还是不等。这才是个正确的确定的定义。所以吴先生的指责【现有集合论中定义了势的⽐较，选择只承认⼀⼀映射，⽽忽略其他所有映射。】是不对的。

要知道两个集合间的映射很多，不能由映射来决定【元素数量】，吴先生七中所强调的【当我们在⽐较⽆穷集合间的⼤⼩时，⼀定要明确这个⽐较针对的是哪⼀个关系哪⼀个映射。】正好说明了它的定义不确定，不成立的原因。

三，对吳文中八和九的评论。

要知道，给出无穷集合的【定义】和论断无穷集合的【存在】，这在逻辑上是不同的两件事。吴先生说【这个对象都不存在，怎么定义⽆穷集合。 】对象的【定义】，只是说该对象要满足的条件，但是否有满足此条件的对象，即它的【存在】，尚需专门的论证，完全有可能所定义的对象根本不存在。

ZF公理只是说归纳集的存在，在定义了什么是无穷集，和证明了归纳集是无穷集以后，才推出存在无穷集合。要注意这个逻辑论证的先后顺序。

注意这个第三点【存在双射的两个⽆穷集合等势】，这是【势】即【基数】相等的定义，并不是一个判断。你把它修改为【不同⽆穷集合针对特定的映射关系⽐较⼤⼩】，你是想作什么？是想修改【势】的定义，还是想给出一个新的概念？很不清楚！要知道前面吳先生所给的【元素数量】的定义用的是变量，并没有真正转成【基于映射】的定义。

更何况这同无穷观毫无关系，怎么说这是【基于潜无穷观】？

吳先生在八中最后说【需要对外延公理加限制，即如果两个集合⼤⼩相等，且含有的元素相同，则它们是相等的。】即吴先生给外延公理加了【集合大小相等】这个条件。对于有限集合，【集合大小相等】是明确的，那就是元素个数相等，即集合基数相等。那么请问吴先生，对于无穷集合，什么叫【集合大小相等】？是你定义的【元素数量】相等吗？这显然不能成立，因为你的【元素数量】並不是对任何集合都有定义，而且同一个集合的【元素数量】还不是唯一确定的，怎么比较它们的相等。那请你说清楚你增添的条件【集合大小相等】，对无穷集合指的是什么？

吴先生文九中认为李鸿仪先生的论述仅仅是【不够严谨】，是不对的，不是【不够严谨】而是【有严重错误】，定理1的结论是完全错误的。【不够严谨】需要的是补充。但【严重错误】则需要的是承认和纠正。

我说的无穷观当然不是我说的关于【元素数目】定义的事。

关于无穷观，我说的是〖整个集合论都必须持实⽆穷观，因⽽想【要把潜⽆穷思想⽤于集合论】，是绝对作不到的。〗

关于【元素数目】的定义，我则是严正地措出，他原先提出的定义规定: I,Ⅱ,Ⅲ,并不是对任何无穷集合都有定义，所以〖不是完整的数学定义〗。后来补充的Ⅳ，则同Ⅲ〖有严重的⽭盾， 是错误的。〗。

关于无穷集合能否同它的真子集一一映射的问题，是这样的。⽆限集中必然包含真⼦集中不存在的元素，因而真⼦集与这些剩余元素合并起来能同这无限集建立⼀⼀映射。这是明摆的事实，并不是什么【隐含的映射】。问题出在对无穷集来说，除了有这个一一映射外，真子集自已，单独地不与其它元素合并，也可以同此无限集建立一一昳射。这当然是两个不同的一一映射。李先生错误地认为一一映射不能有两个，而只能有一个。吴先生认为可以有两个映射，但不能【同时成立】。吴说【即当我们突出这个⼀⼀映射时，就是否定了它们间的真包含的关系。 也就是说，⼀⼀映射是⼀层关系，真包含也是⼀层关系，两者不能同时成⽴。】这当然是错误的。对无穷集来说就有这么多映射同时都存在，前一个映射说明真包含关系，后一个映射说明无限采同真子集一一对应，这里并无矛盾，都存在都成立，为什么不能同时成立。要知道这些一一咉射都是严格证明出来的，为什么说它不能同时成立。例如N1到N1的一一映射是y=x，可以用此映射看出N是N1的真子集，而N到N1的一一映射是y=x-1，说明无穷集N1可以同它的真子集N一一映射。这两个映射的客观存在是任何人都否定不了的。无穷集N1可以同它的真子集N一一映射这个事实，并没有否定N是N1的真子集。映射只是映射，并不影响集合的包含关系。要知道映射中的像和原像只是一种对应关系，并不一定是同一的元素。

另外吳先生认为李先⽣是对【存在双射的两个⽆穷集合等势】这条定义有置疑。其实并不是这样，李先生对基数(势)的定义是【存在双射】这点并不置疑，而是对【存在双射】的定义，即对什么是【存在双射】有错误的认识。【存在双射】按数学上的正确定义，就是存在一个映射，此映射满足单射和满射的条件是双射。可李先生则强加了一个集合的【元素数目】相等的条件。要知道什么是集合的【元素数目】相等本身就没有定义，而且【存在双射】的定义中并无此要求。可李先生就是坚决否定N1到N的映射y=x-1是双射的证明，而是毫无道理地说N1同N不存在双射。

李先生说【解读李先⽣的观点也必须⽤潜⽆穷的观点。】这是文不对题，李先生这种在【存在双射】的定义中强加【元素数目】的条件的错误同潜无穷观没有任何关系。如果持潜无穷观，就不承认有确定的无穷集合，怎么会主张无穷集合还有确定的【元素数目】，怎么还会要求【存在双射】要无穷集合的【元素数目】相等。而且还断定N和N1的【元素数目】不相等。这都是持实无穷观，承认有确定的无穷集合才能说出的论断。

吴文最后说【可以理解李先⽣所说的

  {x∣x = 2n, n ∈ N} 和 {x∣x = 偶数} 

不是同⼀个集合，

 {1} ∪ {x∣x = n +1，n ∈ N}和 {x∣x = n ，n ∈ N}

也是不同的集合。】

我不知道吴先生怎么理解这是不同的集合。仅仅因为他们定义的不同吗？

我曾经指出〖集合是不是一样的，不是如李先生所说【要看它是怎么定义的】，而是要㸔它所定义的集合的外延是否相同，要㸔这些定义是否等价。〗

要知道李先生对此已作出囬答，他说【这些说法跟我一点矛盾都没有，......定义不同，但是外延相同，那当然是相同，】(见《0870》的文后评语【16】)。

吳先生，你上面说的偶数集合和自然数集合，它们虽用的是不同定义，但是是等价的定义，外延完全相同。所以都是相同的集合而不是【不同的集合】。

（全文完）

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