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Zmn-0870 thebeater: 试图纠正李鸿仪的错误

已有 306 次阅读 2022-8-2 12:38 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0870 thebeater: 试图纠正李鸿仪的错误

【编者按。下面是thebeater先生的文章,是对李鸿仪先生的错误的评论。现在发布如下,供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申,这里纯属学术讨论,所有发布的各种意见仅代表作者本人,不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神,对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意,也有些有严重错误的文章在这里发布,就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

 

 

试图纠正李鸿仪的错误

thebeater

 

最近看到贵专栏在讨论很具体的数学问题。我也希望能做一只啄木鸟,来纠正一下李鸿仪的两个错误。

首先来看李鸿仪的“定理1“:若A与B之间存在双射, 且A=A1UA2,B=B1UB2,这时,若A1与B1之间存在双射,则A2与B2之间必然存在双射; 同理,若A2与B2之间存在双射,则A1与B1之间必然存在双射。

他的证明写了两个版本(867&869),鉴于后一个太过于口语化,我们来看前一个:双射必须发生在A和B全部元素之间,所以部分元素之间是否有双射都必须考虑。如果A2和B2之间不存在双射,即A2(或B2)中有部分元素在B2(或A2)中没有原像,则由于A1与B1已经双射,所以这部分元素在B1(或A1)中也不可能有原像,即这部分元素在B(或A)中没有原像,由于这部分元素属于A(或B),在B或A)中又没有原像,所以A与B之间不存在双射。证毕

这里李鸿仪犯的最大的错误就是没有明确写出这些双射究竟是什么。我们先来看这样一个结论:若A与B之间存在双射f:A->B, 且A=A1UA2,B=B1UB2。若f限制在A1上是到B1的双射,则f限制在A2是到B2的双射。这个结论是正确的,并且非常显然。事实上,李鸿仪试图证明的其实是这一个结论。但是一般来说,若A与B之间存在双射,A1与B1之间存在双射,这两个双射一样吗?答案显然是否定的。

所以我们把李鸿仪的证明补全一下,把这些映射都明确写出来。这样他的证明会变成这样:设A与B之间存在双射f:A->B。假设A2和B2之间不存在双射,那么(不妨设)B2中有元素x在A2中没有关于f的原像,则由于A1与B1之间存在双射g,所以x在A1中也不可能有关于f的原像,即x在A中没有关于f的原像,由于x属于A,所以f不是双射。证毕

这样一来问题就很明显了,“由于A1与B1之间存在双射g,所以x在A1中也不可能有关于f的原像”这里的因果关系完全不成立。A1和B1上的双射g和f有什么关系?包括他在869中用找对象写的证明也是一样的。关键的错误是,A与B之间的双射如果叫做找对象的话,A1与B1之间存在的那个双射未必同样是找对象。

我举一个具体的例子来说明问题。假设A={a1, a2},B={b1, b2},A1={a1}其余同理。假设f:A->B是f(a1)=b2, f(a2)=b1,此时(虽然A2和B2确实存在双射)B2中有元素x=b2在A2中没有关于f的原像,和前面写的证明一样。并且A1与B1之间确实存在双射g:A1->B1,g(a1)=b1,但是x=b2在A1中确实有关于f的原像。这个例子里面,每一句都和前面的证明一模一样,但是结论却显然不一样,就足以说明李鸿仪的证明是错的。

李鸿仪的第二个错误就是不理解集合的性质。他在869的评论中认为,{x |x=2n,n∈N }={2,4,6,...}和{x∈N|x是偶数}={2,4,6,...}是不同的集合;{1}U{x|ⅹ=n+1,n∈N}和{1,2,3……}也是不同的集合。这表明,他对集合的理解跟这世界上除他之外的所有人都不一样。事实上,集合由他的元素唯一确定。如果用稍微数学的语言来说,那就是两个集合A和B,如果x属于A等价于x属于B,那么A=B。这其实就是集合论公理里的外延公理。如果连这个结论都不对,我倒想问了:如果我有四个对象a,b,c,d,那么究竟有几个集合包含全部这四个对象呢?他们之间有包含关系吗?他们之间有没有交集、并集、差集的概念?如果有的话怎么算?通常来说,所有可能的子集数目是2^4=16个,那么在李鸿仪这里又是几个?{b}-{b}和{a}-{a}是不是同一个集合?空集是不是唯一的?这么简单的有限集的例子都有很多问题,就没必要讨论无限了。

最后我个人建议李鸿仪在专栏的评论里不要人身攻击,就事论事,用数学的话说数学,不要谈无关的东西。假如你真的是对的,那这些额外的话也是画蛇添足;但既然你是错的,这些话只能让你显得执迷不悟。

thebeater


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