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Zmn-0832 侯小山：再谈实数可数定理和基数减少法 —回复《Zmn-0826》，及文清慧对此文的评语4。

已有 1191 次阅读 2022-2-13 16:19 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0832 侯小山：再谈实数可数定理和基数减少法 —回复《Zmn-0826》，及文清慧对此文的评语4。

【编者按。这是侯小山先生发来文章及文清慧对此文的评语4。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

文文清慧对候小山的第4次评语。

文请慧.jpg 数学讨论要摆事实讲道理，侯小山先生首先要端正参与讨论的态度。侯先生把康托尔定理说成是【康托尔谎言（实数不可数）】【实数不可数定理是假定理】.要知道康托尔的实数不可数定理，是有严恪证明的。你说它是【假定理】，必须指出证明哪里有错。不讲道理的这么乱说，不是数学讨论，而是无理吵架，泼婦骂街。持这种态度来讨论数学问题。毫无意义。

纵观文中的具体内容，可以看出候小山先生的问题，主要是对实数和基数的基本概念在认识上出现的错误。

1，要认识到实数是由无穷小数构成的。

他知道实数是由小数构成的。但是他竟然不知道小数包括有穷(位)小数和无穷(位)小数。他眼里只有有穷小数而沒有无穷小数。所有有穷小数的集合是可数的，但无穷小数的集合是不可数的，错就错在这里。

侯小山解释的前两句话的问题就是如此。

他说【我解释如下：因为形如 0 < 0.1，0.2，... < 1 的不等式中都有小数序列，以及小数的个数，（小数也是实数）。

所以 0 < x < 1 也肯定有小数序列，以及小数的个数，这就是连续统基数，】

侯先生说【小数是实数】，实际上他是在说所有的实数都是有穷(位)小数。因为他列举的小数都是有穷小数，而且说【小数的个数，这就是连续统基数】。

这显然是错误的，0くxく1中的实数不仅包括有穷小数还包括无穷小数。

因而侯小山接着说的三句话就也是错误的。他说【因此 0 < x < 1 必有第 n 个小数；（n 是自然数，是可数无穷的）。

我的 X = {x_n | 0 < x_n < 1，n = 1,2,... } 的 x_n 就是要表示 0 < x < 1 的任意的第 n 个小数。

因此 X = {x_n | 0 < x_n < 1，n = 1,2,... } 是正确的，小数集 X 本来就可数，非我能够使其可数。】

既使说有穷小数的集合是可数的也要通过证明。关于所有的有穷小数的集合是可数的证明，详见《0825》我的评语。但对无穷小数的集合,侯小山先生给不出证明，即证明不了所有的无穷小数的集合是可数的。因为康托尔定理已证明它是不可数的。

侯小山先生，你根据什么说【0 < x < 1 必有第 n 个小数】

【我的 X = {x_n | 0 < x_n < 1，n = 1,2,... } 的 xn 就是要表示 0 < x < 1 的任意的第 n 个小数。 】

对无穷小数x，你怎么断定必有x_n使x=x_n，它是第n个数。例如你知道√2-1=0.414213......的x_n的n等于几？e-2=0.71828......的x_n的n等于几？π-3=0.14159......的x_n的n等于几？你根本把无穷小数排不成序列，求不出相应的x_n的n等于几？

因此把区间中的全体实数说成是可数的 X = {x_n | 0 < x_n < 1，n = 1,2,... } 就是绝对的错误，而说它【是正确的】，就是严重的错误。而不讲任何道理地说【小数集 X 本来就可数，非我能够使其可数。】则是恰恰相反。无穷小数集合已证明是不可数，而是侯小山先生不讲任何道理地说【其可数】。既使对有穷小教的可数，也要证明。更何况实数集合包括所有无穷小数，你根本没有证明，实际上也证明不了【实数可数】。

2，不能这样用所谓【基数減少法】证明基数可数。

侯小山先生用所谓【基数減少法】来证明实数的基数可数，完全是一种错误的证明方法。是不懂得什么是逻辑推理，什么是数学证明的低级错误。

①，首先要认识到逻辑推理只允许有穷步推理。关于演算也只允许有穷次的演算。对于无穷次的演算则必须有明确的另外的定义。而且这种无穷次演算同所涉及的数系有很大的关系，数系不同，这定义就是不同的。侯先生竟然对此毫无所知，混为一谈。

② ，无穷个实数相加如何定义？

我们知道在实数的理论中只有实数的有穷次相加。无穷次相加必须另外定义。即所谓无穷级数。在数学分析中把无穷序列构成的无穷级数a1+a2+a3+... 定义为部分和序列的极限，从而1+1+1+1+...等于∞(无穷大极限)。

③，无穷个基数相加等于多少？

基数的相加是这样定义的，如集合X的基数是α，另一个互不相同的集合Y的基数是β，则把并集Z=XUY的基数γ称为α+β。但是要注意，基数加上不同的基数结果可能想等。例如אo+1=אo+אo=אo。

而无穷个基数相加可以定义为这无穷个集合的并集的基数。因而这【无穷个集合】，就要同是【可数无穷个】还是【不可数无穷个】这无穷个集合的集合的基数有关。在基数理论中，可证明这样的定理。如果有可数无穷多个，其基数是有限的或可数无穷的互不相同的集合，则所有这可数无穷多个集合并集的基数就是可数的。但不可数无穷多个集合的并集就是不可数的。因此对无穷个基数的相加1+1+1+...，当相加的个数是可数无穷时，等于可数无穷אo，但当相加的个数是不可数无穷时，就等于不可数无穷א。

④，基数減无穷个1，一定等于0吗？

基数可以这样定义减法，如集合X的基数是α，它的某子集Y的基数是β，则集合X-Y的基数γ称为α-β。但是要注意，由于基数加上不同的基数结果可能相等，从而基数减上相同的基数结果可能不等。

可以定义基数減无穷个基数如下，如集合X的基数是α，它的无穷多个互不相同的子集有无穷多个基数，则X去掉这无穷多个子集后所剩集合的基数称为α減去这无穷个基数所得到的基数。可知这样定义的基数的无穷减法，基数減无穷个1，不一定等于0。例如不可数无穷基数減可数无穷个1，永远不等于0。自然数集合N的基数是אo，N的基数減无穷个1，אo-1-1-1-...，可以等于0，也可以不等于0，仍等于אo。例如这无穷个子集选每个偶数构成的集合，所剩是奇数的集合，它的基数仍是אo。

⑤，超穷基数没有阶乘的运算。

我们知道阶乘运算( ! )是对自然数讲的。超穷基数中并无此运算。侯小山先生对超穷基数C所写的C！毫无意义。可见侯先生的数域知识是混乱的。

要证明R可数，必须证明R同N存在双射，存在一一对应。但候先生并无这么做，而是用他的【基数減少法】。

他说【设 |X| = c ，因为 c = 1 + 1 + · · · ，所以 c − 1 − 1 − · · · = 0，这就是基数被一一减少到零，这就是基数减少法的算术；这就相当于把 c 个小数一一的随机取出，直至小数被全部取完；】

从以上的分析可知，侯先生的【基数減少法】完全是错误的。

特别说【最终只有 1 个小数可以作为第 c 次被取出的小数 x_c ；所以集合 X 的 c 个小数共有 c(c − 1)(c − 2) · · · × 2 × 1 = c! 种不同的取数方法，也就是共有 c! 种不同的基数减少法，】更是露洞百出。无穷集合哪有可能有最后一个元素，【第c次被取出的小数 x_c 】？超穷基数c哪有阶乘运算【c!】？混乱到极点。

显然在如此混乱的【推理】下所得出的结论【每一种都可以建立集合 X 的全体小数与自然数集 c,· · · ,2, 1 的一一对应， …… 因此证明了 X 可数，证明了 R 可数。】就只能是完全错误的结论。

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