博文

Zmn-0827 薛问天：正确认识公理和真理的关系，不要把公理和真理对立起来。评吳文杰先生的《0824》

已有 1748 次阅读 2022-1-24 18:39 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0827 薛问天：正确认识公理和真理的关系，不要把公理和真理对立起来。评吳文杰先生的《0824》
【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对吴文杰先生的《0824》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

正确认识公理和真理的关系，不要把公理和真理对立起来。

评吳文杰先生的《0824》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

1，正确认识公理和真理的关系，不要认为数学公理不是真理，把公理和真理对立起来。

吳文杰先生《0824》的题目是【有穷不能推无穷是真理还是公理？】尽管吳文杰先生没有具体讲清楚【有穷不能推无穷】是个什么意思，但不管是什么意思，怎么问起【是真理还是公理】来了。这明显把数学的公理同真理对立起来，要知道无矛盾的数学理论系统的公理，都可以㸔作是相对公理。也就是说这些公理的真理性是相对的，要滿足相应的条件。这个条件就是公理中所说的概念所对应的(即所解释的)现实世界的对象必须符合公理的要求。满足这个条件，那么这个公理就是现实世界的这些对象的真理。例如，如果对非欧几何公理中点和直线用现实世界中我们习惯的欧氏空间的点和直线来解释，它不是真理。但是如果解释为指的是现实世界中非欧空间的线和直线，它就是这部分现实世界的公理。也就是说，数学公理的相对真理性，取决于对公理中的概念对应是哪些现实世界对象要有的正确解释。只要解释正确，相适应，数学公理就是现实世界的相对真理。同时要正确认识相对真理和绝对真理的关系。绝对真理都是体现在相对真理之中的。因而非欧几何的公理也是真理。

2，数学学科和哲学学科是不同的学科，应采用不同的方法叙述、表达和研究。

抽象的【无穷】和【有穷】是哲学概念，不是数学概念，所以并无数学定义。吳文杰先生也知道这点，他说【数论中选择不直接定义什么是⽆穷，只研究具体的⽆穷对象。因此，在整个数论之中，都没有对⽆穷本⾝的定义，有的只是不同的⽆穷对象的定义，⽐如⽆穷序列、⽆穷⼩、⽆穷级数等等。】这符合事实。数学中没有对抽象的【无穷】概念给出定义，是因为【无穷】这个抽象的概念是哲学概念，不是数学概念。并不是吳先生所解释的【为了不引起争议】。对于那些具体的【无穷对象】，如无穷集合，无穷序列，无穷极限，无穷级数，无穷小数，... 都有严格的数学定义。

因而吳先生所谓的【有穷能不能推无穷】也不是数学问题，所以对此有兴趣的人，也只能讨论它是否正确，是否是真理，而不可能建立什么数学公理。

3，【有穷不能推无穷】的论断在这种意义下是正确的

如果【有穷不能推无穷】指的是在数学推理中，〖由有穷对象具有某性质，不能直接就推出说相应的无穷对象也具有该性质。〗那么这个论断是正确的。因为这种【直接推出】犯了逻辑上无根据推理的错误。这由逻辑推理的规律就可决定。不需要建立数学公理。因而反对这种错误的【直接推出】在逻辑上是正确的。是正确的逻辑真理。

〖由有穷对象具有某性质，不能直接就推出说相应的无穷对象也具有该性质。〗的正确性可以由很多事实来加以说明。因为有很多事实说明，有些有穷对象所具有的性质，相应的无穷对象并不具有。重要的例子如，任何有穷集合都具有「不能同它的真子集等势」这个属性。但是无穷集合就不具有此属性。再例如任何有穷的有序集都有最大数，但有的无穷有序集(如全体自然数集合)就没有最大数，等。

有些有穷对象有的性质，无穷对象也具有，但不能【直接推出】，必须给出严格的具体的证明。例如个数为n的有穷对象，它的幂集的个数等于2ⁿ，大于n。而对于基数为α的无穷集合的幂集的基数等于2^α，大于α。显然这需要根据基数的乘幂运算的定义和康托尔幂集定理的严格证明才能得出。不能简单地【直接推出】。

4，吴先生讲的【有穷能推无穷】，不知讲的是什么意思。

他所举的例子【⽐如，0.999...=1核⼼就是无穷小数0.999...是序列0.9,0.99,0.999,... 中的⼀项，还是序列的极限，其本质就⽆穷项是序列中的项，还是有穷序列⽆法抵达的项。】

这个问题的答案是非常明确的，无穷小数0.999...，当然不是序列0.9,0.99,0.999,... 中的⼀项，而是序列的极限。也就是说，无穷级数的和是部分和序列的极限，它不是部分和序列中的一个。这从概念的确切含义中是相当明确的。

那些认为无穷小数是有穷小数序列中的一员，认为无穷级数的和是它的部分和序列中的一个，想【定义和发展⼀套区别于现有理论的数学理论】，只能是不切实际的白日做梦和痴心妄想。

5，吳文杰先生引入的集合，不是自然数集合。

吴文杰先生引入了一个集合，说它是自然数集合。他说: 【在⾃然数中引⼊⽆穷⼤⾃然数后，完整的⾃然数序列必然是

0,1,2,3,...,∞-1,∞,∞+1,∞+2,...。】

为了讨论方便，我们把吳文杰先生引入的这个集合称为【吳集合W】。我们评论说吴先生把W认为是自然数集合是严重错误的。理由是自然数集合是已有严格定义的有确切含义的集合。它有皮亚诺公理等确切的要求。你的W不是这个已有定义的自然数集合。

你可不可以定义和研究集合W呢，当然可以。W是一个数学集合，这沒有任何问题，关键是你要对W的性质作仔细的研究，看它能反映现实中的那些现象和规律。有没有实际意义。

例如你的W是归纳集合，它仅仅不满足皮亚诺公理的第5公理。前4条公理都满足。又例如，你的W分为两部分，有穷数A和无穷数B。即W=AUB。而且规定A中的数小于B中的数。而且可证A同自然数集N有保序一一对应，B同全体整数集Z有保序一一对应(∞对应于整数0)。

我们可以把吴的W同序数2ω表示的集合作个比较，我们知道 :

2ω={0,1,2,...,ω,ω+1,ω+2,...}。

显然也有2ω=有穷序数U无穷部分序数，其中有穷序数同N有保序一一对应，无穷部分序数也同N有保序的一一对应。

但我们知道序数是有现实意义的，任何序数都可表示良序集的【序型】。即任何良序集都可同某个序数表示的集合建立保序的一一对应。2ω表示的是一类良序集的序型。其中的ω和ω+1等都是序数，都表示不同的序型，有确切的含义和用处。

这里就要请问吳先生，你提出的W有何实际意义，其中的∞-1,∞以及∞+1，有何具体的意义。在计么情况下要用到这些数？这才是关键要讨论的具体问题。

6，吳集合W不是自然数，在W基础上构建的所谓实数，并不是真正的实数，更不是非标准分析中的超实数。

吳文杰先生不讲任何道理的评价他自己的【创作】。他大言不惭地说【基于这种⽅式得到的实数集正是⾮标准分析中的超实数集】。这是非常错误地给自己的臉上贴金的言论。吳文杰先生，你作过具体的分析和研究吗？你根据什么就这样荒诞地说【正是⾮标准分析中的超实数集】。要知道，我们在数学讨论中最反感的就是，没有任何根据胡言乱语。

非标准分析并没有否定以极限论为基础出的标准分析。把实数的无穷序列在一定的条件下定义为超实数，所建立的非标准分析的理论同标准分析的理论是完全等价的。和集合论一样，都是以现代实无穷观为基础的。同吳文杰先生的所谓【相对无穷论】，没有丝毫关系。说它们【正是】一样，纯属贴金的谎言。

7，不要空谈，要具体说清楚。

吳文杰先生在总结中说【历史的经验已经告诉我们，任何⼈为的定义都可能出错，直觉并不可靠。】
从大道理上讲，理论有正确的理论也有错误的理论。这是人人皆知的道理。讲这种空洞的大道理是沒有用的。关键是要讲你认为哪些理论是错误的，要具体地谈，要开诚布公，大胆地讲出你的意见和理由来。不要在这里隐隐约约含沙射影地空洞的讲。你如果对现行的数学理论有意见，完全可以具体指出，我们来讨论。

吳文杰提出的集合W，以及在W的基础上建立其它数系。完全可以对它作进一步的细致研究，正如他所说【只要内部没有⽭盾，定义和推论能够⾃洽就是⼀个正确的理论。 】问题正是他并沒有在作这方面的具体研究，而是拼命地同现有的数学硬拉关系。毫无道理的说集合W是【完整的自然数序列】，说【基于这种⽅式得到的实数集正是⾮标准分析中的超实数集】。要知道【自然数】和【超实数】，这都是现有数学中有严格定义，有确切含义的数学概念。这些毫无根据的硬拉乱乱扯的【同现有定义冲实】谎言，当然是错误的，是要受到严厉的批评。

参考文献