Zmn-1243 薛问天: 这些内容，早在序数和基数理论中都研究得相当清楚了。评李鸿仪《1241》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对李鸿仪先生的《Zmn-1241》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

这些内容，早在序数和基数理论中都研究得

相当清楚了。评李鸿仪《1241》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

一，李先生认知欠缺，不懂序数和基数理论。

㸔了李先生的《1241》。一眼就看穿了，知道了一个事实。那就是李先生没学过序数和基数理论。因为李先生说的这些内容，早在序数和基数理论中都研究得相当清楚了。可以明显看出李的破绽在哪里。

李在定义1中所说的将集合【元素一一排列】，就是给集合建立一个序。在数学中对序有详细的研究，不同的序有不同性质。序数理论已研究清楚，任何集合都可建立一个良序。李先生所说的将集合【元素一一排列】，严格地用数学语言来讲，就是给集合建立一个良序。

序数理论对序数和良序集合有准确仔细的定义。序数具有这样的性质，有穷的自然数是有穷序数。任何序数α都定义为小于α的序数构成的集合，即α={x丨x<α }={0,1,2,...;ω,ω+1,...}。这个集合是个良序集合。当然自然数(有穷序数)也有这个性质。可以令任何自然数n={0,1,2,...,n-1}。

而且可证明，任何一个良序集合A，都可同一个确定的序数α，即同所有小于α的序数的集合，建立一个保序的双射。即A同α保序地一一对应。此时还称A具有的序型是序数α。

显然有一个重要的性质，即A中的每个元素都一一对应于α中的每个序数。可用序数对集合元素排序，同序数0对应的元素称为第0个元素，同序数1对应的元素称为第1个元素，......。这就是李先生所说的元素的【位置】排序。例如所有可数集合即序型为ω的集合，都可用有穷序数集ω={0,1,2,3,...}对其进行排序。例如所有序型为2ω的集合，都可用有穷序数集2ω={0,1,2,3,...;ω,ω+1,...}={x|x<2ω}，对其进行排序。

而且还可知，序数本身有序，即对任何序数α和序数β，有如下关系。或者α同β是相同的集合，称为α=β; 或者α是β的真子集，称为α＜β; 或者β是α的真子集，称为β＜a。三者必居其一。

李鸿仪先生并没有对他提出的【元素一一排列】进行严格的数学定义和讨论，但它所说的集合经过排列后，每个元素都有相应的位置等性质来看，在数学上就是相当于为集合建立良序，使其每个元素都对应于相应的序数。这个序数就表示元素的【位置】。他所说的两个集合间的【默认映射】，是位置相同则相互映射，当然就是由这两个集合的良序所唯一确定的保序映射。很精确，如果良序集A的序型是序数α，良序集B的序型是序数β。如果这两个集合A和B所建立的良序集合的序型相同α=β，则两个集合间的【默认映射】是双射。如果序型不相同α≠β，则两个集合间的【默认映射】不是满射不是双射。用序数和序型的观点，来看李先生的【排列】，也就是用严格的数学来分析李先生的概念，来审查李的所述，就会发现其中的破绽。我们下面来具体分析。

李先生的定义1，两个集合A和B的【默认映射】的定义，是在对A和B提供为良序集，知A的序型为α，B的序型牌为β后，使对应的序数相同的元素相互映射。

有两种可能的情况。第一，假定α≤β即α⊆β，而且假定A到α的双射是f:A→α，β到B的双射是g:β→B，则A到B的【默认映射】h:A→B就是f和g的合成。即y=h(x)=g(f(x))。

第二种情况，如果假定β≤α即β⊆α，而且假定B到β的双射是r:B→β，α到A的双射是s:α→A，(注，r和f互反，s和g互反)。则B到A的【默认映射】t:B→A就是r和s的合成。即x=t(y)=s(r(y))。

显然由于f和g是双射，且α⊆β，所以h是单射。由于r和s是双射，且β⊆α，所以t是单射。因而【性质1:默认映射函数符合映射A→B或B→A的单射定义】是成立的。

当然在这样的定义下【性质2：不同的元素排列次序定义了不同的默认映射函数】也是对的。这里的【不同的元素排列次序】指的是对A或B建立不同良序，自然由此良序所决定的相应的【默认映射函数】也不相同。同样【性质3】可以准确地表述为。性质3: 集合A，B间任何存在的双射f:A→B，都可表示成为将A和B的元素一一排列后构成的默认映射是双射。证明很简单，如果A具有序型α，则由于A和B间有双射，从而也可为B建立良序，序型为α。从而此A，B间的默认映射就是这个双射。

这里非常清楚，只有在A和B建立的良序是序型相同时，即当α=β时，【默认映射】才是满射，从而是双射。当α≠β时【默认映射】就不是满射，从而不是双射。

没想到李先生竟然如此不顾事实地说【无论是康托还是主流数学界，在这个问题上都错了:误以为任何无限的默认映射函数都是双射函数。】李先生这种胡说太可悲了，康托尔哪里说过【无限的默认映射函数都是双射函数。】

二，李先生的定理1讲述得不正确。

李先生提出【定理1】是这么说的。【定理1:集合A={a1，a2，a3...}与集合B={b1，b2，b3...}能否建立一一对应关系与集合元素的排列次序即与默认映射函数的选择无关。】

怎么能说【无关】呢？一旦发现存在对集合A和B建立的某种排列次序下，相应的默认映射是双射，就说明了A和B是一一对应的。怎么能说【能否一一对应与集合元素的排列次序即与默认映射函数的选择无关】呢？能否一一对应同你能否选择出是双射的映射，有决定性的关系。如果集合A和B是一一对应的，肯定存在A和B的元素的排列次序，使其默认映射是双射。而且反之亦然。如果发現存在A和B的元素的排列次序，使其默认映射是双射。则集合A和B是一一对应的。如果集合A和B不是一一对应的，则无论选择怎样的元素的排列次序，其默认映射都不可能是双射。而且也反之亦然，如果无论选择怎样的元素的排列次序，其默认映射都不可能是双射，则集合A和B不是一一对应的。

应该说成是【无论两个集合能否一一对应，它们都能存在有不同的元素的排列次序，及不同的默认映射函数】，但是【两个集合能否一一对应，与两个集合是否存在有某种排列次序，使其默认映射函数是双射供你选择，有决定性的重要关系。】

三，正是由于李先生对【集合元素的排列次序】，没有严格地定义清楚，从而出现了很多破绽和问题。

李先生给出了一种方法，叫【多个元素的排列位置的互换】。他认为【通过这种交换元素的方法可以得到任何一种排列方法】。这显然是错误的。

序数理论说明，【性质A: 任何一个集合都可建立良序。每个良序集合都有唯一的序型。】但是【性质B: 任何集合的良序都不是唯一的。可以建立具有某些不同序型的良序。】例如自然数集合N1={0,1,2,3,...}按它的自然排序，它的序型是ω。但N1可以建立这样的先奇后偶的排序: N1={0,2,4,...;1,3,5,...}，它的序型是2ω={0,1,2,3,...;ω+1,ω+2,...}={x丨x<2ω}。

同样，N1还可以建立这样的ω+1序型排序: N1={1,2,3,...;0}，它的序型是ω+1={0,1,2,3,...;ω}。

 但是我们还知道【性质C: 不同序型的排列，是由“元素位置交换”的方法达不到的。】因为不同序型，位置本身就不能保序一一对应，位置不一致，所以无法进行排列位置完全相同情况下的【位置交换】。

例如用“元素位置交换”，只能使N1={0,1,2,...}变为

N1={1,2,3,...,k-1,0,k....}，但变不成N1={1,2,3,...;0}。因为自然数并无最大数这个位置。

因而李先生的认识是错误的，【通过这种交换元素的方法】並不可以【得到任何一种排列方法】。正确的说法是【通过这种交换元素的方法】只能得到相同序型的排列。

四，李先生对一一对应的错误认识。

两个集合A和B的一一对应，定义为存在有A→B或B→A的映射是双射，那么它的否定，说A和B是非一一对应就必须是所有A→B或B→A的映射都不是双射。对此定义，虽李先生在文字上也是承认的，但在实际的理解和应用上，却是错误连篇。

1，李说【数学界普遍有一种观点:如果某个默认映射函数不能使两个集合一一对应，则换一个默认映射函数，就可能使两个集合一一对应。】这里要理解清楚，不是【换一个默认映射函数，就一定可使两个集合一一对应。】而是【换一个默认映射函数，有可能是双射，就使两个集合一一对应。】这样理解说的就是对的。

李先生认为上述观点不对，就是认为【如果某个默认映射函数不能使两个集合一一对应，则换一个默认映射函数，就不可能是双射，使两个集合一一对应。】这就是他所说的【推论1:若两个集合之间存在不同的默认映射函数，那么这些函数要么都是双射函数，要么都不是双射函数。】这是李先生认识的一个严重错误。显然，如果A和B是非一一对应，则所有的默认映射都不是双射函数。但当A和B是一一对应时，则不是所有的默认映射都是双射，而是存存有双射的映射，但仍有映射不是双射。这是事实，怎么李先生竟然不承认这个事实。

李先生对下述事实並不否认。设A=B=N1，显然按自然排序，A和B的默认映射A→B是双射。如B=N1的排列次序是N1={1,2,3,...;0}，则A和B的默认映射A→B不是双射，因为不是满射，B中的0无原象。

这个事实就推翻了【推论1:若两个集合之间存在不同的默认映射函数，那么这些函数要么都是双射函数，要么都不是双射函数。】因为两个集合A和B之间存在不同的默认映射函数，其中一个是双射函数，另一个不是双射函数。

2，由于推论1是错误，和其内容相同的推论2和推论3也都是错误的。

【推论2:若两个集合之间存在不同的默认映射函数，只要其中有一种单射确实是双射，所有的单射就都是双射。】【推论3:若两个集合之间存在不同的默认映射函数，只要其中一种单射确实不是双射，所有的单射就都不是双射。】

我己在《1229》说清楚，这个关于单射的错误，是李先生暴露的又一个由于没有认清无限集合的特性所导致的错误观念。我们知道对于有限集合，如果两个集合之间能够存在一个单射是双射，那么集合间的任何单射必然都是双射。但对于无限集合，这么说就是一个彻头彻尾，完完全全错误的命题 。希望李先生先把别的工作都停下来。先把这个错误的观念纠正过来。

3，关于判断两个集合是否一一对应，李先生说【我们只要研究任何一个默认映射函数，然后观察它是不是双射函数就可以了。】如果是双射，当然可以由此一个默认映射断定这两个集合一一对应。这是正确的。但是如果不是双射，能否断定这两个集合是非一一对应的呢？李先生认为可以断定，认为发现有一个默认映射非双射，就说明此两集合不一一对应，这是李先生在认识上犯的很严重的错误。必须证明所有的默认映射都是非双射时，才能说明此两集合不一一对应。

4，李先生说【显然存在下列问题:如果两个默认映射函数得到的结论互相矛盾怎么办？该听谁的？】这完全是李先生的认识问题。如果两个默认映射函数得到的结论，一个是双射，一个不是双射，这一点矛侑都没有，很正常。完全可以得出结论: 两个集合是一一对应的。

五，定理2是错误的。

李先生文中错误地给出了【定理2:N1={0}UN不能与真子集N={1，2，3...}建立一一对应关系。】他证明的错误，就在于把默认映射不是双射，就认为是说明这两个集合不一一对应。我们来看他给出的证明。

【证明:将N1写成{1，2，3...0}，显然与N={1，2，3...}不能一一对应:1对1，2对2，3对3...后，N1中的0元素在N中没有原像。根据定理1推论3，把0元素置前时，{0，1，2，3...}也不可能与N一一对应，证毕。】

把N1和N写成N1={1，2，3，... ;0}，N={1，2，3...}，只能说明此默认映射非满射。说明不了N1与N【不能一一对应】。

把N1和N写成N1={0，1，2，3，... }，N={1，2，3，...}，说明此默认映射是双射。恰恰证明了N1与N一一对应。

 由于定理2是错误的，李先生所给出的【定理3: 无限集合不能与其任何一个真子集一一对应。】自然也是错误的。无限集合能与其某个真子集一一对应，已成为无限集合区别于有限集合的一个重要特征。

六，李先生在总结中给出了一个例子，说是浓缩了本文的所有内容。此例也犯同样的。

例子说【N={1，2，3...}不能与N2={1}UN*一一对应，式中N*={x+1|x∈N}

虽然N和N2可以建立下述默认映射函数:

N:  1，2，3...

N2:1，2，3...

但可证该映射关系并不是双射:

由N* 的定义可见，N与N*可以一一对应，而N2={1，2，3...}={2，3，4...1}=N*{1}，

N与N*一一对应后，

N:   1，2，3...

N2: 2，3，4...1

N2中的"1"在N中没有原像。由定理1可知，N和N2不能一一对应。】

在此例中，虽然N和N2可以建立下述默认映射函数:

N:  1，2，3...

N2:1，2，3...

而且此默认映射是双射。

而在N2采用另外的排序时，

N:   1，2，3...

N2: 2，3，4...;1

可知此时该映射关系并不是双射。这很正常，推不出【N和N2不能一一对应。】而是严格地由存在默认映射是双射证明了，N和N2这两个集合一一对应。所以，也是错误的，犯有同样的错误。

七，李先生根本没有读懂基数和序数理论。

李先生说【康托的所谓基数理论真伪不辨，从而必然导致大量矛盾。】说明李先生根本没有读懂基数和序数理论。

集合A=N={1,2,3,...}具有相同的序型ω，其默认映射当然是双射。当把A写为A={1,3,5,...;2,4,6,...}，序型变为2ω，A和N的序型不同，其默认映射当然不是双射。这一点矛盾都没有。李先生说【从而导致A与N这两个相同的集合不能一一对应的矛盾】，完全是李的错误认识。一个默认映射不是双射，根本导致不了【不能一一对应】。

李先生说【要正确区分有限自然数集合和无限自然数集合，其实非常简单:前者的元素有上界即有最大自然数，后者则没有。】

说明李先生的认知是相当欠缺的，自然数没有最大自然数并不是说自然数没有【上界】。李先生对无限的认识太狭窄了，以为自然数的无限上面没有比它高的上界，这说明李的知识大欠缺了。比自然数还高的无限数还多的是。首先ω就是比所有自然数(有穷序数)更高的超穷序数，看看这些序数的排列:

0,1,2,...,;ω,ω+1,...;2ω,...;3ω,...;ω^2,...;ω^ω,...

这还只排了部分基数是可数无穷Aleph-0的序数。如果令ω1表示所有基数是可数无穷的序数。则上述序数皆<ω1。从而序数还可继续往下排...:ω1,...;ω2,...:ω3,.....。其中ω1是基数是Aleph-1的最小的序数，ω2是基数是Aleph-2的最小的序数，等等称为是基数序数。

可見无限多个有限自然数的【上界】还多的是，不能拿有无上界来作为有限和无限的区分。

我们知道集合的一一对应，是评判集合基数的标准，无限集合还有很多基数更高级的不一一对应的集合。在基数相等的良序集合中又有很多序型不同的无限集合。不同序型的集合是由保序的一一对应来作为标准区分的。序型相等的默认映射是双射。序型不等的默认映射不是是双射。基数相等才可能有序型相等，默认映射是双射的情况发生。这一切都由序数和基数理论研究得清清楚楚。李说【本文的内容都是全新的】，他能说出这样的话完全是由于他缺乏集合论，特别是关于序数和基数这方面的知识，他所说的这些内容，在序数和基数理论中早已研究得一清二楚，他的胡乱拚说形成破绽，发生很多严重错误。

八，李的《1241》实际是他的《1228》和《1233》的改写。很多内容，包括错误都量重复的。

其中很多错误我都在《1229》和《1237》做过评论。如关于【元素数目】的附录，以及对数学归纳法的错误理解和应用等。就不在此重复了。

最后我再把《1237》中的一段话重复一遍。〖李先生说【本文的概念是清楚的，逻辑是严密的】。我想再说一遍。这说的不对。李先生的错误，大多出在概念和逻辑的混乱上。正是由于逻辑的混乱，文章的推论几乎全是错误的。可悲的是李先生对这些推论都是错误的毫无认识，他在文后发布的那些感叹，如【每一个不甘被愚化的数学家，为了你们的子孙后代不被人嘲笑，站出来吧。】【每一个有能力有志气的数学家，也站出来吧，用你们的智慧和专业知识，为重建集合论及相关学科做出应有的贡献。】【你们的贡献将会被载入史册。】，就显得十分十分地可笑。〗

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