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Zmn-0795 薛问天：为什么【可列】有定义，而不需要定义【可列完】。评林益先生《0788》
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Zmn-0795 薛问天：为什么【可列】有定义，而不需要定义【可列完】。评林益先生《0788》
【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对林 益先生的《0788》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】
为什么【可列】有定义，而不需要定义【可列完】
评林益先生《0788》
薛问天
一，为什么集合【可列】有定义，而不需要定义【可列完】。
因为集合是【可列】的，是一个数学概念。这个【可列】并不是有些人根据这个概念的名称"可列"这两个字的字面含义，以为是【集合的元素一个一个的列出来】，就产生一个【这个集合的元素能否由人把它列完】(即所谓【可列完】)的问题。显然不是这样的。集合是【可列】的是个数学概念，不能按它的名称，由名称的字面的语义来解释。数学概念【可列】有严格的数学定义。应根据它的定义来理解数学概念的确切含义。了解了它的确切含义就知道为什么不需要定义【可列完】了。
关于数学概念有定义这点，林益先生完全通晓。他知道，【可列】是定义为：「与自然数集能够构成一一对应的集合称为【可列】集」 。严格地说，这里的「能构成一一对应」，就是「在集合同自然数集N之间存在一个双射f」。
可是林益先生却说【可是康托尔并没有具体说明自然数集能够完成， 一一 对应是对任意一个自然数而言的， 任意并没有所有的含义，因为自然数集的元素是按照“+1”的延伸规律不断构造过程中，不能完成，不能说结束， 没有完成的含义，怎么能说【可列完】 呢？】
这里林益先生显然说的不对，在「存在双射」和「不存在双射」之间没有第三种可能，没有「存在双射f」却「存在双射f沒有完成」的情况。集合要么【可数】，那就【存在双射】。要么【不可数】，那就【不存在双射】。根本就没有什么【存在】的完成不完成的问题。所以根本就不需要定义个什么【可列完】是双射【存在完成】，【不可列完】是双射【存在不完成】。这就是我们认为【可列完】根本不需要重新定义的理论根据。林益先生，你说需要定义【可列完】，请问你如何定义双射【存在完成】？如何定义双射【存在不完成】？它们是个什么含义。
关于双射，数学上也说得相当清楚，是满足单射和满射条件的映射。是集合中所有元素间的无重复无遗漏的映射。
林益先生所说的自然数集的构造不能完成的观点，纯属潛无穷观，同集合论以现代实无穷观为基础背道而驰，自然是集合论所不能接受的。
二，林益先生错误地把逻辑上的全称量词，说成是【任意的】，不是【所有的】。我己在《0791》引出教科书原文，证实了他的错误。
一一对应当然是指集合中的全部元素一一对应。说一一对应只适用于有限集显然是不正确的。
至于说【连“完成”的含义都不懂】，其实不是我不懂。而是林益先生认为，"完成"就有最后一个元素。这种观点完全是受到有穷集性质的长期熏陶余留的偏见。因为这是有穷集固有的特性。实际上有不少无穷集，它们构造完成了，但它们并没有最后一个元素。自然数集就是典型一例。自然数集沒有最大自然数，这是众人皆知的事实。但按照现代实无穷观，自然数集是构造完成的确定的集合。
三，林益先生应了解，全称量词∀x的含义，所指的既是论域中任意的元素x，又是全部的元素x。这是一致的。因而一一对应是指全部元素的一一对应。
一般的一一对应同可数(可列)从概念上当然不同。只有同自然数集N一一对应才称为可列。所以一般集合的一一对应同可列无关。林益先生问得非常奇怪【难道薛问天老师认为(0,1)可列完吗？这不与可列矛盾吗？ 】我怎么会认为(0,1)可列完呢？我认为可列就意味着可列完，所以没有必要定义可列完，(0,1)不可列怎么会可列完呢？林益先生你到底想问什么？认真点，把话说清楚。
一一对应 f：x↔y，其中的x和y都是变量，它们可以取集合中的任意值，集合中所有的值都可以取，变量取值并不是同时取，每次只取一个。另外全称命题∀xP(x)，表示的是论域中所有的元素x，都滿足性质P(x)。并不是所有元素构成的集合Ⅹ满足性质P。所有的元素，和所有元素构成的集合，这是两个不同的概念，一定要分清。所以林益先生所说的【薛问天老师数学认知这么差，初中数学中就有f(x)=x3 能够构成一一对应的双射，你总不能理解为： f(R)=R3 吧！？】的问题在于，双射指的是所有的元素构成一一对应，不是指的由所有元素构成的集合怎样。在这里就是林益先生把所有的元素同由所有元素构成的集合混为一谈了。所以我觉得林益先生在思维概念的严密性上，还需要更加细致，更加准确。不能马虎大意。
四，林益先生问【不知薛问天老师是否能给出在数学中用“⋯”的具体注释和说明？】
我已经说清楚了，“⋯”不是语文中的标点符号。而是在数学概念中用来表示各种数学概念的数学符号。由于“⋯”在不同的数学概念中都用到，而且含义也不完全相同，所以并沒有统一的【具体注释和说明】。它的具体含义由它所表示的具体数学概念所决定。例如无穷小数0.999...中的“⋯”表示无穷个9，0.333...中的“⋯”表示无穷个3。π=3.14159...中的“⋯”表示π这个无穷小数后面无穷个位数的值。在无穷序列的表示a1,a2,...,an,..中前面的“⋯”表示有穷个项a3到an-1，而后面的“⋯”则表示an后的无穷个序列的项。这些“⋯”的含义可以在给出这些表示时具体明确注释和说明。当然在认为没有必要时，也可以省略。
关干数学符号的灵活性，林益先生可以慢慢认识。很多相同的数学使用不同的符号系统，见多了自然就理解了。数学可以由作者来定义符号的含义，大多符号没有统一的规定。
关于全称命题中，任意的元素和所有元素含义的一致性我己在《0791》给出了教材的原文。请林益先生认真学习。就不在这里述说了。
五，林益先生说【存在与确定是两种不同的数学概念， 自然数集合的存在， 并不表示自然数集合的确定，也不表示其元素不再延伸， 更不表示构造过程结束完成。 】
林益先生所说的这些，都不是集合论的论断，而是林益先生的主观臆想。在集合论中，如果存在某集合，则由外延公理决定，该集合就是确定的集合，同一个集合有确定不变的元素，其元素不能再延伸和增加。如果元素增加就不是同一个集合了。也就是说，凡是存在的集合，都表示它是构造过程结束完成的集合。由于全体自然数的集合，是由公理断定存在的集合，因而就是确定的集合，是元素不再延伸的集合，是构造过程结束完成的集合。
林益先生说【断定自然数集的构造过程不能完成的标志就是自然数序列表示法末尾表示不能完成、不能结束的省略号“⋯” 。】说这话林益先生不觉得本末倒置了吗？自然数集合完全可以由皮亚诺公理来定义，不用"..."来表示。如果用"..."来表示，也必须是由概念决定符号的含义，而不是由符号决定概念的含义。更何况林益先生认为他所谓的语文的标点符号“⋯”，是【断定自然数集的构造过程不能完成的标志】，又有何根据？你能拿出一个语文教科书，对标点符号省略号"..."作出这样的解释？你绝对做不到。
六，关于序数ω，林益先生问【薛问天老师能给出康托尔定义和定义的理由吗？】
序数的定义，《 Zmn-0703 薛问天：要认真学习和正确理解序数，》已经说过，我们来看序数的正式数学定义。这是公理集合论中序数的定义。
这里说的很清楚，0是序数。若α是序数，则α的后继α+是序数。在用集合定义序数中，序数都是集合。0是空集，α+=α∪{α}。这是序数的笫一生成原则。
定义的⑶规定，若S是序数的集合，则这些序数的并集∪S是序数。当这个集合S是可数集合时，是序数的第二生成原则，当这个集合是不可数集合时，就是序数的笫三生成原则。
这是序数的最基本的定义。在此定义的基础上，可以定义和推出很多序数的性质。一个重要的性质是，任何序数都是小于该序数的全体序数的集合。从而任何序数都可唯一确定一个序型。这个序型就是能同该序数的集合建立保序的一一对应。
由于ω=∪ω，所以说ω是序数，序数ω表示的序型是能同ω={0,1,2,...}建立保序一一对应。
定义的理由，建立序数的目的是为了表达良序集的序型，可以证明这样定义的序数，每种序型都有唯一的一个序数来表示。所谓良序集的序型，就是能建立保序的一一对应的良序集称为具有相同的序型。
林益先生说【 “<” 明明逻辑判断符号，当然也有其逻辑法则，】这句话说得不准确。“<”是数学符号， 表示的是数学的顺序关系，不是逻辑判断符号，研究数学中的序关系要用到逻辑法则，但它本身不是逻辑法则。什么是逻辑法则，简单说逻辑法则是关于逻辑联结词等，如∧,∨,乛,→,∀,∃等的推理规则。希望林益在用词上再细致些，分清数学和逻辑的区别。
七，林益先生所遵从的【无穷概念】，即他所说的【无穷就是有限的不断延伸，不能完成，不能结束。】也正如他自已所说这种【无穷概念】既无定义也没有得到任诃证明，这完全是他自已的主观臆想。是他自己对无穷的主观想像。而由此所得出的关于无穷集合的论断【集合的元素不断增加，不能完成，不能结束，这样才能构成无穷集合。】也完全是他自己的主观臆想。
从无穷观上㸔，这属于一种潛无穷观，同我们持有的现代实无穷观完全背道而驰。事实证明持这种无穷观根本无法研究无穷，而集合论以现代实无穷观为基础，所提出的以序数和基数等为基础的集合论，百多年来得到了深刻的发展，已为广大业界所接受。并己作为整个数学的基础理论。如果现在还坚持潛无穷观，无视集合论的发展，还纠缠在百年前争论的问题，那就只能落后于现代数学的发展百年之久。损失之大可想而知。
参考文献
返转到
zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
https://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1318677.html
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