Zmn-0776 沈卫国：有关李红玲教授一文的解释—兼进一步说明与强调（二）

【编者按。下面是沈卫国先生的的文章，是作者《Zmn-0773》的续篇。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

有关李红玲教授“对不需要极限及无穷小概念的微积分新理论的研究”一文的解释

—兼对我微积分创新观点的进一步说明与强调（二）

沈卫国

6、李教授在文章中，以复述的形式介绍了我认为第二代微积分中贝克莱悖论仍旧没有解决的问题。尽管她引用的我的文章，是以前的，我较新的文章中对极限法微积分求导问题的更充分的讨论，似乎她没有看到。至于她对这个问题怎么看，未见更多的讨论与明确的结论（这也难怪，毕竟极限法微积分的一套是一个统治数学界逾二百年的几乎固化的程式，谁要毅然否定也着实不容易。更甚的，是似乎已经形成了非学术的某种“利益共同体”。比如教材的编撰、课本出版使用、老师的讲法、教纲的要求、学者的面子，等等）。但根据全文的意思，她起码在公开场合，并没有明确支持我对极限法微积分求导的否定（引用我的相关论点是否也是一种支持呢）。因此她认为笔者的理论应该只是一个对传统理论的补充、简化等等。其实这也是误解。笔者虽然在前期文章中提出，即使传统极限法微积分没有错误，也并不意味着笔者的诠释或理论错误。但这是“退一步”的说法。笔者已经多方论证了，极限法微积分其实是错的（指其诠释而不是具体求出的结果）。简略地说，就是：

第一，就算分母上存在自变量的一个比式的趋0极限存在，也不应该以这个不可达极限值去取代原先不存在的函数值（为0/0）,函数值是函数值，不可达极限值是不可达极限值，两回事。况且一条曲线上不是一个点如此，点点都如此，换言之，曲线上点点都是没有增量比值函数的函数值的，点点都是有不可达极限值的，“不可达”的本意，即这个极限值不能作为函数值。可是，极限法微积分完全不顾这点，却又定义这个不可达极限值（即原本规定不能作为或再被作为函数值的极限值）就是一个新的函数的函数值。也就是这个新函数在每一点的值，是原先函数的没有函数值的不可达极限值组成的。这与其说是理论论证，还不如说是明明没有函数值，偏说这个没有就是有。或者，干脆就是一个新函数（已经没有了分母上的自变量的）。可是，求导求的极限，不是原先的有分母上的自变量的增量比值函数的不可达的极限吗？怎么又出来个新的无分母的函数了？细究起来，其实怎么都不通。

第二，得到前述不可达极限值是首先要约分消去分母上的自变量，才可进行。但只要是一个比式，约分消去分母上的自变量难道是一个数学规定吗？不消可不可以？当然可以。那么，不消得到什么样极限值？显然还是0/0，与其函数值一模一样。那么，怎么能说并不必须的消分母得到的不可达极限（比如二次函数的2x）就是必然的，而不消分母得到的0/0就一定不是必然的？函数值如果消分母才行的话，牛顿、莱布尼兹不是早就这么做了吗？同理，他们求出的不就是正确的函数值2x，难道他们那里被广泛认为有的贝克莱悖论没有了？既然贝克莱悖论没有了，还要目的仅仅是消除第一代微积分中贝克莱悖论的极限法何干？可见，不通。总之，我们事先假设，一个比式通过约分消去分母，是与不消分母、保留分母是“平权”的、无差别的（事实当然并非如此，我们这里是“退一步”，假设就是如此），也只是可以通过约分消去分母上的自变量而求得非0/0型的、有意义的导数值（比如二次函数时的“2x”）的“充分必要条件”。二者是“当且仅当”的关系。但约分消分母，并不是一个比式的“充分必要条件”。它不是必要的，只是充分的。不是“当且仅当”约分消分母，才可以是比式。比式当然也可以不消分母、不约分，这是充分被允许的。而我们的所谓求导，是针对有分母并且分母上有自变量的一个比式的，约分消分母对一个比式既然不是必要条件，那它自然对求导也不是必要条件。一句话，约分消分母，只是对求出一个非0/0型的导数是“充分必要”的，但是，一个比式本身，对求出非0/0型的导数可不是充分必要的。它必要，但不充分。即单纯一个比式，如果不消分母，是求不出非0/0型的导数的。因此对求导（包括非0/0型与0/0型两种情况的导数也就是趋0极限）而言，消分母并不是必要条件。因此，充其量我们也只能得到“当在可以约分消去分母上的自变量的前提下，我们可以求得一个非0/0型的一个分母上有自变量的增量比值函数的导数（趋0的不可达极限值），比如二次函数下的2x”，但它可不是必然就是我们真正想求的分母上有自变量的增量比值函数的趋0极限也就是导数。这是两回事。总之，求出的是二可之间的一个，能说它求出了唯一吗？更何况消分母与不消分母，还并不是对一个比式“平权”的，二者并不等价。见下面讨论。

第三、这是最终彻底“将死”不可达极限法求导的致命一击：笔者揭示了（以往根本被学界无视），所谓消分母，必须要经过约分或除法，而约分就是把比式中分母分子中的共同具有的因子消去。但消去后分子分母其它因子还在啊。它还是一个比式啊。不能消了相同的因子，分母就没有了吧？1不是一个因子？至于说这个1可以不写也就是也可消去，那是指的数值意义的，但一旦其后的操作要涉及这个分母上的1，怎能就不写或消去呢？分母上有个1，当然是分母等于1或趋于1，而绝对不是分母趋于0或等于0。因此，传统微积分求导中先消去分母上的自变量而完全不顾及此时分母实质上已经等于1或变为1的事实，以为还是趋于0，就是错的。而传统微积分求导，就是求增量比值函数（分母上有自变量）的趋0极限，这是它的定义。但其实只要经过约分消分母这一步骤，分母就是趋1或等于1的，以为是趋0，或再令其趋于0，能对吗？更何况我们说一个没有分母的、非比式的数也好（比如5），一个变量也好，如何能知道它是原先就没有分母，还是原先有分母、是个比式，只不过通过约分消去了原先的分母的？能够区分吗？难道一个比式与非比式本质上是一回事？我们怎么知道，在一个比式消去分母后的求导，求的究竟是原先就没有分母的一个非比式的函数的导数，还是原先有分母的一个比式的函数的导数？如何区分？在微积分中，而我们所要求的，当然是原先是个比式的、分母上有趋0自变量的那个增量比值函数的导数。既然无法区分比式与非比式了，我们如何保证我们通过约分消去分母上的自变量的非比式的趋0极限（导数），就是我们所欲求的分母上有自变量的一个增量比值函数的导数，而不是一开始就没有分母的（自然自变量不再分母上）那个非比式的趋0极限（导数）？既然保证不了，我们能说我们求出的就一定是所真正欲求的、作为比式的增量比值函数的导数吗？而实际上我们如欲区分一个数或变量是否一个比式或非比式，除了用非数学的量纲，就是以在分母上写个“1”来区分。比如，5与5/1，二者数值一样，但前者只是单纯的一个“数”，后者就是一个比式。前者可以表示比如“5个苹果”，后者则可表示“5个苹果为1组”。不一样的！于是，既然我们原先求的就是分母上有自变量的一个比式的趋0极限，我们当然严格地，就要始终保持其比式特性，即在通过约分消去分母上的自变量后，在分母上老老实实地写上一个“1”。以二次函数为例，就是消分母后应该严格地写成比式形式的、分母上有一个“1”的（2x + △x）·1/1，而不能写成非比式的、没有分母的（2x + △x）。否则谁知道对后者求△x的趋0极限（求导），求的究竟是原先就无分母的（2x + △x）的导数，还是有分母、分母上还有自变量的一个比式函数（2x + △x）·△x/△x的导数？既然无法区分，我们就不能冒冒失失地说我们求出来的就一定是分母上有自变量的增量比值函数（2x + △x）·△x/△x的导数。换言之，我们并没有真正求出它的导数。更何况如果分母上必须写上个1，以区分二者，那么，一眼就可以看出，此时增量比值函数（2x + △x）·△x/△x分母上的那个自变量△x，是趋于1或干脆等于1的！绝非什么趋于0！△x趋于0绝对得不到极限1。而分母上的自变量△x趋于、等于1，连带分子上的一个因子△x也趋于、等于1，而另一个因子（2x + △x）中的自变量△x却没有（它最终还是要趋于或等于0的），说明什么？说明只要一约分消分母上的自变量，就等于宣布（无论自己是否意识到）公式（2x + △x）·△x/△x中的三个△x并不是同一个！两个为1，一个为0，能一样？还能是同一个？既然不一样（不是同一个变量了），其符号就不应该再用同一个符号（这些都是约分消分母带来的必然结果，推理结果），改成△g等等都可以，以示与/△x相区别。写成（2x + △x）·△g/△g后我们一眼就可以看出，这是一个关于变量g的线性函数的增量比值函数，而不是原先的那个与割线、切线和曲线的交点相关的那个变量x的非线性的曲线的增量比值函数了（曲线的增量比值函数公式中的三个△x必须是同一个变量）。因此可以就此断言，只要一通过约分消去分母上的自变量△x，无论是谁，是牛顿、莱布尼兹还是柯西等还是我，都意味着最终所求的是一个线性方程的系数或斜率（最终当然是切线的。通过两个交点差△x = 0或→ 0。注意，此时已是可达极限，函数值与极限值是一回事），而不是曲线方程的增量比值函数的趋0不可达极限（函数值与极限值不是一回事）。此外，我前面也分析了，这个不可达极限值其实还不存在！在△x = 0点，分母上有自变量的增量比值函数的函数值与其不可达极限值其实一样，都是0/0。也可以说没有有意义的函数值，同时也没有有意义的极限值。

可以看出，传统上的极限法微积分求导中的贝克莱悖论并没有被消除，只是被一些花里胡哨的术语、步骤所掩盖。而欲消除这个悖论，只有在笔者的诠释、揭示下才可做到。

第四、既然无论牛顿、莱布尼兹的微积分求导还是柯西等的极限法微积分求导，其必要步骤都是预先要通过约分消去分母上的自变量这一步。而前面已经揭示，约分按其定义，意味着什么？不是分母上要剩一个因子1吗？一般情况下，这个1可有可无，任何数乘它除它数值不会变，但此时不行，因为求导就是求分母上的自变量趋0如何的问题。一个运算，涉及分母，怎能先就马马虎虎就不写（所谓的“消去”）这个分母？求关于一个变量的运算，先就在式子中不写、无视这个变量，难道是应该允许的？于是，分母上要“老老实实”地写上这个“1”，不是我独出心裁加上去的，而是约分的定义所要求的（约分完了仍是比式，哪怕分母为1）。既然如此，这个分母为1或趋于1而非趋0等于0的结论，就不仅是我的理论、诠释所独有的了。实际，是我解释传统微积分（牛顿、莱布尼兹、柯西等）之所以能够正确地求出导数、且如何可以避免涉及0/0的贝克莱悖论的矛盾的原因的。所以我这里郑重再重申一下：我的一切结论，都是用于解释传统微积分实质所做的是什么的，包括导数的新定义，其实也是他们实质上必须采用的。因为他们按其步骤求出的只能是这个新导数定义的导数，否则就会有矛盾。只不过他们没有发现或意识到此点而已。因此，不是新导数定义可以与老导数定义并存的问题，而是必须用新导数定义取代老导数定义的问题。因为实质上，牛顿他们求出的就是这个新导数定义下的导数，不过是我发现了这个事实罢了。所以，我的贡献是什么，与传统微积分的关系，真的应该仔细说清楚。换言之，说我修改甚至颠覆了传统微积分的导数定义，也可以。但我不但是目的、而且事实上就是，是使得传统微积分更其合理、简明。具体说（还是以最简单的二次函数为例）就是：既然无论第一还是第二代微积分都要预先通过约分消去分母上的自变量△x，而实质上这是使得分母上的自变量△x成为了“1”，于是，原先他们认为的分母△x趋0或等于0（产生贝克莱悖论的原因），就实质上是趋1或等于1了（这是他们实际做出来的，但没有被他们意识到）。而二次函数时的（2z + △x）·△x/△x中的△x/△x =1/1了（等于1或趋于1了），而（2z + △x）中剩下的那个△x却等于0或趋于0，那么请问，这公式中的三个△x，能是同一个吗？当然不是。既然不是，是不是应该用符号区分开来？即式中△x/△x中的这个△x，应该写成随便什么其他的符号，比如我常用的△x1、△x₁、△g等等，以示与剩下的那个△x相区别。而一旦如此，即得到

（2z + △x）·△g/△g = k（x，△x）·△g/△g ，这不就是一个以g（或说△g也可以，此时就 单纯是一个比值函数而已）为自变量的线性增量比值函数公式吗？此线性比值方程的系数为k（x，△x）= 2x + △x，其中的增量△x仍是曲线与割线、切线的交点的增量。

△x ≠ 0时，为割线与曲线的两个交点的横坐标增量。而△x = 0时，为切线与曲线的一个交点的横坐标增量，当然就是0。而线性方程的系数就是其代表的直线的斜率，这是早已被人证明了的事实，无需我再饶舌，任何一本初级教科书中都有。当然，△g/△g 在△g ≠ 0时，数值就是1/1。但这与线性方程的系数k中的那个△x已经毫无关系了。这里的△g，只单纯地取决于该直线这里具体说就是割线或切线上的任意的两个间距不为0的点，而完全不必约束于该直线与曲线的交点。于是，传统微积分求导求出的，实际上就是一个切线（作为线性方程）的系数或斜率。而笔者提出的所谓新导数定义，不就是它吗？传统微积分求导，实际求出的就是它，而且只能是它，否则就一定会有矛盾（贝克莱悖论）。因此，所谓新导数定义，与传统微积分的关系，是上面这样的，是传统微积分求出的导数的实质，而不是与其平行的一个另类的导数定义。这是一定要搞清楚的。再说一遍：传统微积分无论第一还是第二代，实际所求出的都只能是这个新导数定义下的导数，否则会产生矛盾，也就是事实上是错的。在任意小的线段（哪怕是无穷小），曲不可能化为直，反之亦然。二者都不可能相等。有无穷小的直线，就有无穷小的曲线，不可能在无穷小段曲线与直线相等。而在某个抽象的空间点，是没有线段的。不存在什么在某点的线段的极限之类的概念。而极限法微积分实际上按他们原先的解释，是避免不了这种情况的。比照几何上的线段与点的关系问题，瞬时速度问题也就一目了然了。在某瞬时，没有运动距离，也没有非0时段，因此根本就没有经典意义的速度概念，要有也是0/0，还是没有。也说明了没有。也不存在在某点的运动距离的不可达之类的东西。因此瞬时速度地定义（与导数相关的）陷入了困境。但在我的诠释下，重新定义瞬时速度后，就一目了然了。此处就不详述了。可参见笔者系列文章。

 以上这一套说辞，并不是我独出心裁搞出来的什么新方法，而是实实在在地传统微积分（无论第一还是第二代）就是这么做出来的！尽管他们都没有意识到他们做的，实际是这里揭示的过程，他们求出的，实际是这里揭示的新的导数定义下的导数！只有如此，才能在理论中彻底消除贝克莱悖论的矛盾，况且这个矛盾实在是原本就应该没有的：毕竟，他们都实实在在地求出了正确、精确的导数值的，如此，就实际说明他们的方法实际上是对的，求导的过程、步骤是对的、无问题的，问题出在对已经实际做出来的过程（比如约分）缺乏或忽视了一个彻底的、正确的理解或诠释。

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