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Zmn-0754 薛问天：搞数学，概念不能如此混乱。评新华先生的《0750》

已有 1095 次阅读 2021-12-3 08:45 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0754 薛问天：搞数学，概念不能如此混乱。评新华先生的《0750》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对新华先生的《0750》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

搞数学，概念不能如此混乱。

评新华先生《0750》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-s.jpg 读了新华先生的《0750》，唯一的感受就是感到概念太混乱了。搞数学，头脑必须清醒，概念不能如此混乱。下面来具体说说。

一，关于幂集定理的证明。

新华先生说【更何况Aμ类确切就是 A：{a1,a2,⋯,an, ⋯}，只是由一个元素构成的A中的类，只是A中的一个元素而已，怎么能说【但并没有证明Aμ 可数】呢？难道一个元素是不可数吗？薛问天先生连这点都不懂,还有讨论幂集定理的能力吗？】（薛注，我们这里用A表示集合A的幂集，A i表示集合A的子集类。）

真沒有想到，新华先生的概念竟然混乱到如此程度。什么是A的子集的类A i？林益讲的很清楚，【按照A的元素所含A 中元素的个数分类：】即A 0={{}}，A1={{a1},{a2},...}，A2={{a1,a2},{a1,a3},{a2,a3},...}，,...。请问Aμ这个类是什么？按照林益先生的定义，Aμ是基数等于μ的子集构成的类，即Aμ={x丨x⊆ A, |x|=μ }。新华先生竟然认为这样的子集只有一个，这是严重的概念混乱，这样的子集多的很，n取偶数的an构成A的子集，n取奇数的an构成A的子集，n取质数的an构成A的子集，......这些子集的基数都等于μ，因而都在类Aμ中。新华先生怎么糊凃地认为Aμ中只有一个元素。新华先生的概念竟然混乱到如此程度。我不用多说了，新华先生头脑清醒时会自己想清楚的。

新华先生同意林益先生的㸔法，说【林益先生说的[ A 1就与A对等，A 2是A 的子集，不存在f(x)使得A 2的元素 x，使得f(x)∈A ] 就是幂集定理证明中的原意，不妨去查一查，难道薛问天先生还能给出函数[ f(x)，使得A 2的元素x，使得f(x)∈A ] 吗？】

这么明显的错还要去查什么。A 1同A等势，这没有错。但A 2并不是A的子集，是由A的两个元素构成的子集的类，A 2的元素才是A的子集。可以证明A 2是可数的，可以同A一一对应，当然存在双射函数f(x)，使得对任何x∈A 2，有f(x)∈A。这么简单道理还需要查证吗？

二，关于康托尔实数不可数定理的证明。

新华先生写道【林益先生质疑 [ 5、因为b不在所列序列中，所以 R 不可数。 ] 说得很清楚：因为对于可数数列： a1,a2,...,an,...，不能因为b不在序列中，就得出 R不可数，因为根据康托尔可列可加性定理，a1,a2,...,an,... 再加上一个元素b就变得不可列吗？薛问天先生难道连康托尔可列可加性定理也不清楚吗？要知道，证明中只涉及a1,a2,...,an,... 和无穷小数b，并不涉及其它元素，既然薛问天先生认为〖林益先生所述的[ 6、表明a1,a2,...,an,...； b不可数。 ]是错误的。〗这显然也表明薛问天先生也不认可康托尔证法中得出结论，林益先生质疑的就是[6、表明a1,a2,...,an,...； b不可数。 ] 的错误。】

从这一段文字可以㸔出，我的估计完全正确。林益和新毕先生的错误是由于他们对康托证明的错误理解所导致的。林益先生把我的④改写成他写的5和6，完全是由于没有读懂康托尔的证明，而产生的质疑。

关键是康托的证明中跟据什么说【5、因为b不在所列序列中，所以 R 不可数。】关于这点，我在④中讲得很清楚。

④，由于b是无穷小数，是R中的实数，b不在序列A中，同R中所有实数属于A相矛盾。而此矛盾推翻了反证法的R可数的假定。从而证明了R不可数。

这才是康托尔证明的根据。正如新华先生所说，【薛问天先生把康托尔证法写了一遍(共 4 点)是符合康托尔证法原意的。】既然你认为④是5的跟据，为何还要质疑？原来你并不是这么认为的。你们认为5的根据是因为对于可数数列： a1,a2,...,an,⋯，【因为b不在序列中，就得出 R 不可数，】错误地以为这是康托根据康托尔可列可加性定理而得出的。由于康托尔可列可加性定理得不出这个结论，所以产生了质疑。实际上康托尔证明的根据是，因为在假定实数可数的条件下，全部实数都在序列中，这同实数b不在序列中发生了矛盾，推翻了R可数的假定，才证明了R不可数。林益先生和新华先生的质疑是由于对康托尔证明的错误理解所致，我必须告诉林益和新华先生，不能再在该序列a1,a2,...,an,⋯外加一个实数b了，因为按假定该序列已包含了全部实数。按你们的错误理解写出6，完全是错误的。

三，关键还是没有理解康托尔证明的基本思路。

新华先生说【请薛问天先生说清楚「b仍是十进制小数，所以b不在方阵序列中是存在矛盾。」为什么会产生矛盾？如果认为说a1,a2,...,an,... 这个因为序列是由全体实数构成的，实数b不在序列中才会产生矛盾。只能说明康托尔对角线证法证明的对象就是错误的，如果证明的对象错误，怎么能证明出正确的结论呢？矛盾是序列包含全体实数但实数b又不在序列之中，这才产生矛盾。这充分说明康托尔对角线证法存在问题。】

林益和新华先生完全忘了这个证明用的是反证法。证明开始有个假定【R可数】，所有后面推的矛盾都是由这个假定引起的。由矛盾推翻了这个假定，才证明了【R不可数】。你们所说的【这个因为序列是由全体实数构成的，实数b不在序列中才会产生矛盾。只能说明康托尔对角线证法证明的对象就是错误的，】实际上，产生矛盾并不是【证明的对象就是错误的，】而是反证法开始的假定是错误的，应该推翻假定使定理得证。正是因为假定R可数，才推出【序列是由全体实数构成的】。不是林益文中关于证明的叙述也说了这句【2、假定 R 可数。 R 中所有实数组成一个序列 A ...】了吗。怎么能说【证明的对象就是错误的，】证明的对象是实数，有什么错？我们证明的对象就是实数，就是证明实数不可数。

也就是说，要证实数集合R不可数，要用反证法假定R可数。在R可数的假定下推出R中所有实数形成序列。然后找出一个实数b不在序列中，产生矛盾，推翻假定，证明R不可数。

现在你要用此法证明3幂分数不可数，也用反证法，假定3幂分数可数，在此假定下，可推出全体3幂分数组成序列。它的十进制表示形成方阵。但是你并沒有找出一个3幂分数不在此序列中，所以没有产生矛盾。你找到的是7幂分数，他的十进制表示不在3幂方阵中，这一点矛盾都沒有。就是用对角线形成的b，你也保证不了b是3幂分数，它不在序列中并不会产生矛盾。你的证明没有产生矛盾。推翻不了可数的假定，于是你证明不了3幂分数可数。

我真不明白，这么简单的道理，怎么竟然想不通。你究竟是哪点想不通，具体说出来，咱们把它澄清。

参考文献