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Zmn-0747 薛问天：谈林益先生对幂集定理和康托定理的质疑。评《0746》
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Zmn-0747 薛问天：谈林益先生对幂集定理和康托定理的质疑。评《0746》
【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对林益先生《Zmn-0746》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
谈林益先生对幂集定理和
康托定理的质疑。评《0746》
薛问天
本文重点谈两个问题，一个是林益先生对康托尔幂集定理的质疑(《0746》四)，一个是对康托尔的实数不可数定理的质疑(《0746》九和三)。
一，关于幂集定理的证明。
幂集定理是说，任何集合A，如果它基数是μ，则它的幂集PA(即所有A的子集构成的集合)的基数2μ大于μ。我上次给出了一个证明的描述。林益先生实际上没有对证明提出任何具体的质疑。(我建议对证明每一步，都通过你的思考，把不同意的提出来，没有不同意的，就应承认证明)。
林益先生提出了一个反例，对这个例子，他认为集合A是可数的，但A的幂集A（网上字体中没有花写的A，我们用A来替代）也证明可数，2μ=μ。从而是一个反例。他是这么说的。
他的错在哪里，其实很简单，集合A的幂集A可以分成可数无穷多个类A=A0UA1UA2U...UAnU......UAμ。以及如果A是可数的，则对于任何n，An也可证是可数的。这些论断都没有错。
问题的关键是Aμ， 即基数是可数无穷的子集的类。林益先生并沒有证明Aμ是可数的。所以认为A是可数的就犯了严重的错误。即可证A0UA1UA2U...UAnU......可数，但并没有证明Aμ可数，所以证明不了A=A0UA1UA2U...UAnU......UAμ是可数的。错就犯在这里。这说明林益先生在论证中还不够细緻，不够严谨。
另外文中说的【A1就与 A 对等，A2是 A 的子集， 不存在f(x)使得A2的元素x，使得f(x)∈A，那么A1∪A2是否可列呢？】说得有些莫明其妙，A2是A的部分子集(由2个元素构成的子集)构成的子集的类，它本身不是A的子集。你又根据什么说【不存在f(x)使得A2的元素x，使得f(x)∈A，】。其实可证A2也是可同A一一对应的。由于A1是可数的，A2也可证明是可数的，当然A1UA2也是可数的。我希望林益先生的言论，每句话都要说得有道理，有根据。
二，关于康托尔实数不可数定理的证明
根据林益先生的要求，我把证明写了一遍(共4点)。我希望林益先生的质疑要具体，你究竟是对证明的哪一步产生质疑，你说清楚了，我们就可具体讨论。但是林益先生并未提出具体质疑。而是把证明用他的语言写了一遍(共6点)。然后说【请薛问天老师对照“三”中内容一条一条比较，给出评论。】要知道你是质疑者，应由你来提出质疑。你对我证明描述的4奌，哪点不同意应由你提出。你提不出反对意见，就应承认证明的正确。
关于你的表述，我认为其中的【5、因为b不在所列序列中，所以 R 不可数。 】未说清楚理由。为什么b不在序列中，就得出R不可数。应该说清。因为b是无穷小数，是R中的实数，它不在序列A中，同2中说是R中所有实数构成序列A相矛盾，推翻了R可数的假定，才得出R不可数。这是证明的核心必须说清。这正是我叙述的④所说明的。另外，林益先生所述的【6、表明 a1,a2 ,⋯； b不可数。】是错误的。根本得不出这个结论，可数集合加一个元素还是可数的，不可能不可数。而且在5中已根据反证法，由矛盾证明了R不可数，定理已得证，也根本不需要得出6这个错误的结论。我估计这可能就是林益先生对康托证明的误解。林益先生，请你解释一下，你为什么要在康托尔的证明中列出6，你跟据什么得出6这个错误的结论来？
现在我们来分析林益先生《0746》三的错误。
林益先生在三中说
【三、 薛问天老师没有认真阅读我的论述，认为“错误在于他沒有认识到，康托尔证明中，对角线求出的b仍是十进制小数，所以b不在方阵序列中是存在矛盾。 ” 我的原话是“序列 1/ 71，1/ 72，1/ 73， ⋯，1/7n，⋯ 任意一项转化的纯无穷十进制小数都不在序列 1/31，1/ 32，1/33 ，⋯，1/ 3n，⋯ 转化成十进制小数构成的方阵中。 ” 就是说： 序列 1/ 71，1/ 72，1/ 73，⋯，1/ 7n， ⋯ 任意一项转化的纯无穷十进制小数， 都具备“b仍是十进制小数，所以b不在方阵序列中是存在矛盾。 ”的资格。 请薛问天老师给出错误的理论依据。】
这个错误确实说明林益先生没有搞清在康托证明中，为什么「b仍是十进制小数，所以b不在方阵序列中是存在矛盾。 」为什么会产生矛盾？我们知道，这是因为序列是由全体实数构成的，实数b不在序列中才会产生矛盾。矛盾是序列包含全体实数，但实数b又不在序列之中，这才产生矛盾。
如果我们把1/3n （n=1，2，3，⋯）称为是3幂分数。把序列 1/31， 1/32 ， 1/ 33，⋯，1/3n， ⋯ 转化的纯无穷十进制小数构成的方阵，称为全体3幂分数方阵。我们把1/7n（n=1，2，3，⋯）称为是7幂分数。把序列 1/ 71，1/ 72，1/ 73，⋯，1/7n，⋯ 转化成的纯十进制小数构成的方阵，称为全体7幂分数方阵。
很显然任何7幂分数转化成的无穷小数，都不会在全体3幂分数方阵中出现，反之亦然。这会产生什么矛盾？什么矛盾都沒有。要知道，任何7幂分数不在全体3幂分数方阵中出现，并不是不在全体实数方阵序列中出现。请问林益先生你指的产生的矛盾又是什么呢？所以说，林益先生所说的任何7幂分数转化成的无穷小数，都不会在3幂分数方阵中出现，根本不具备有【存在矛盾的资格】。
林益先生还说【康托尔列出的纯无穷十进制小数序列： a1，a2，a3，a4， ⋯，an， ⋯。按照康托尔对角线证法的观点，只能与序列 1/31，1/32，1/ 33，⋯，1/3n，⋯ 转化成无穷十进制小数序列构成一一对应， 而与序列 1/71，1/72， 1/73， ⋯，1/7n，⋯无关，】
林益先生已承认【2、 假定 R 可数。 R 中所有实数组成一个序列 A={ a1, a2,⋯}，】R 可数是R同所有自然数N一一对应，怎么【只能与】3幂分数【转化成无穷十进制小数序列构成一一对应】。所有的3幂分数和7幂分数转化的十进制无穷小数都是实数，所以都在序列A之中，怎么能说A与7幂分数序列【无关】？
林益先生又说【序列 1/71，1/72，1/73，⋯，1/ 7n，⋯也能转化成无穷十进制小数，显然 1/ 31，1/32，1/33，⋯，1/3n， ⋯； 1/71，1/72，1/ 73， ⋯， 1/7n， ⋯ 转化成无穷十进制小数序列比a1，a2，a3，a4，⋯，an， ⋯ 元素多得多，】
序列A是全体实数，3幂分数和7幂分数转成的只是实数的很少的一部分。哪个多哪个少显然林益先生说错了。
林益先生还说【由于 1/31，1/32，1/33，⋯，1/3n，⋯； 1/71，1/72，1/ 73， ⋯，1/7n，⋯是有理数序列，只能说明a1，a2，a3，a4，⋯，an，⋯ 没有列出纯无穷十进制小数，证明就没有意义。】
林益先生说得更无道理，序列A列出全体实数。怎么能说【没有列出纯无穷十进制小数，】
而林益先生构造的3幂分数和7幂分数不可数的所谓【证明】，更是错得一塌糊涂。
林益先生把全体3幂分数同7幂分数和起来一起证明它不可数。用反证法，假定它们可数，于是全体3幂分数同7幂分数和起来，它们的十进制小数构成一个方阵。然后林益先生说任何7幂分数转化成的无穷小数，都不会在3幂分数方阵中出现，说【显然产生矛盾】。这显然是在乱说，因为7幂分数不会在3幂分数方阵中出现，但是肯定会在由3幂分数同7幂分数和起来的方阵中出现。是出现而不是不出现，怎么产生矛盾呢？
好吧！如果说证明的不是针对3幂分数同7幂分数合起来不可数，而仅仅只证明3幂分数不可数，那当然在反证法的假定下形成的方阵只是3幂分数方阵，这时确实任何一个7幂分数都不会在3幂分数方阵中出现。不出现是肯定的，但是这不引起任何矛盾。7幂分数不在全体3幂分数的方阵中出现，很正常，一点矛盾都沒有，推翻不了反证法开始的可数的假定，从而得不出不可数的结论。所以这个证明是错的。这就是我按照林益先生的要求【如果薛问天老师认为有错， 请找出错误的地方和理由。】
参考文献
返转到
zmn-000文清慧：发扬啄木鸟精神-《数学啄木鸟专栏》开场白及目录
https://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1314123.html
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