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Zmn-0721 薛问天：评《0694》APB先生文章的错误
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Zmn-0721 薛问天：评《0694》APB先生文章的错误
【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对APB先生《Zmn-0694》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】
评《0694》APB先生文章的错误
薛问天
APB先生文章提出的意见，可以说几乎全是错误的。错误的数学根源，主要有以下几点。
⑴，沒有认识到自然数没有最大自然数，因而没有认识到无穷小数没有最末位。
⑵，不了解无穷编码数的基本知识。无穷编码数是不可数的，它分为无穷个族，族之间是不可能用+1运算到达的。无穷编码数没有最高位。
⑶，对序列的极限概念，缺乏最基本的认识。实数序列的极限有严格的定义。区间序列的极限必须考虑区间套序列。
⑷，缺乏基数运算的基本认识。要认识到，不可数个互不相交的有限或可数集合的并集是不可数的。
⑸，沒有认识到，实数中只有有穷小数有一数两码，有穷小数是可数的，它不会影响实数不可数的证明。
现在按APB先生提出的意见顺序，分别评论如下。
1，关于【无穷小小数】等定义的错误。
APB先生的基本错误就是所定义的【无穷小小数】根本不存在，实数中沒有这样的数，这纯粹是APB先生的主观臆想。自然数中没有最大自然数，先生应当承认这个最基本的业界公认的事实。因为无穷小数的位数是同自然数一一对应的。因而无穷小数是没有最末位的。无穷小小数0.0°1的最末位为1(a°表示a上有一个点，即a的无限循环)。显然这就是严重错误。因为无穷小数没有最末位，所以不可能最末位为1。
从APB先生的定义来看，无穷小小数定义为0.1的无穷乘积。而0.1的无穷乘积，按定义是部分乘积序列的极限，极限等于0，因而这个无穷小小数应等于0。但是先生把部分乘积序列的极限等于0的情况，说成是无穷乘积为【发散】。因而按照先生的定义，无穷小小数等于【发散】，根本就不是实数。
从而无穷大数定义为1-【发散】，也是毫无意义。因而先生对无穷小小数和无穷大小数的定义是错误的，毫无意义。
APB先生说他的【主观想象】来自有穷情况。当然对n位有穷小数，1=0.0...01(n位)+0.9...9(n位)。但是对无穷小数的情况是1=0.000...+0.999...。其中0.000...=0，0.999...=1。而不是APB先生想象的无穷小小数和无穷大小数。
2，关于自然数集由有穷位编码数扩展到无穷位编码数的问题，
我们知道，有穷小数0.a1a2a3...an同经左右翻转(即镜面反射)后的自然数an...a3a2a1可以严格的一一对应。也就是说自然数集同有穷小数的集合可以一一对应。那么用同样的对应方法，同无穷小数集合一一对应的集合，该是什么样的集合呢？这在数学中早有研究。这叫无穷位编码数，
无穷位编码数是自然数这种有穷位编码数的扩张。它有很多有趣的性质。首先它的基数和实数的基数相同，是连续统，而不是可数无穷。另外，无穷位编码数可以分为无穷多个族，每个族的基数是可数的，而所有族是不可数的。在所定义的+1和-1 运算下，族内的数是相互可达的，但不同族间的数是+1和-1运算不可达的。对于所定义的序，有些数之间可比较大小，而有些数之间不可比较大小。不过各位全为0的无穷位编码数是最小的数，而各位全为9 的无穷位编码数是最大的数(对十进制而言)。
对无穷位数最早的研究，称为p-adic数（p-adic numbers，也有人翻译作p-进数）1897年首先由德国数学家库尔特.亨塞尔（Kurt Hensel，1861-1941）提出。他是德国马尔堡大学（University of Marburg）教授，因提出p-adic 数而成名，对数论的进展有重要贡献。
关于【无穷位编码数】的基本内容，我国郝克刚教授有几篇介绍文章，刚好在科学网上可以看到(点击量很大)，大家可以参阅，我就不具体说了。
APB先生的错误在于对这种无穷编码数的基本知识缺乏了解。这种无穷编码数是不可数的。而先生却认为它是可数的，从而认为由它同实数的一一对应，【也可以证明实数集可数。】这显然是错误的。
无穷编码数有不可数无穷多个族。那些以无穷个0开头，无穷个1开头，...无穷个9开头的无穷位编码数，只是这些族中很少的一部分。从映射来讲，它只是那些单位循环小数的映射，无穷小数还有多位循环小数，还有大量的非循环小数，它们映射的无穷位编码数比APB先生所想的要复杂得多。凡开头的无穷位数相同的无穷位编码数称为同族。只有同族的数可以用+1或+1到达，而不同族的数是用+1和-1到达不了的。另外，同无穷小数沒有末位同样道理，无穷位编码数没有最高位。所以APB先生所列的有最高位的数，如
10°，11°，...，19°；20°，21°，...，29°；...。
以及什么无限偶数21°+1，无限奇数91°，都是犯了无穷位编码数有最高位的错误。
3，APB先生所说的极限理论的缺点，是他对极限的错误理解。
对当n→∞时，序列αn的极限这个概念要有正确的认识。例如当n→∞时，序列1/n→0。这在极限理论中有严格的根据定义的论证。这里沒有n→2，n→3时的极限概念。只有n=2吋1/n=1/2，n=3时1/n=1/3。这是赋值，不是求极限。所以只有n→∞时的极限，没有必要也不能改成n→N时的极限。
APB先生说【实数序列 {an}={1,1/2,1/3,...,1/n,...} 就是以0为极限的；但是实数序列 {an}中的每一个实数 an 的绝对值都是大于0的常数，
|1/n丨＞0，n=1,2,3,...。 (9)
是需要说明的；否则会造成不必要的误解，以为实数序列 {an} 中会有一个实数 an 等于0。 缺少(9)式就是已有极限理论的第一个缺点。】
在极限理论中当n→∞时序列an→0，并不要求每个项【an 的绝对值都是大于0】，这很正常。完全有可能【{an} 中会有一个实数 an 等于0】。甚至不止一个，就是全部αn=0，序列{αn}={0,0,0,...}的极限等于0，一点错误都没有。这都很正常，不存在任何缺点。所谓的极限不可达，是指n不等于∞，并不是指an中没有等于极限值的项。
至于有些具体的序列如αn=1/n，具有特征【an 的绝对值都是大于0】，这是这个具体序列的属性，这同极限概念沒有关系。不具有此属性的序列仍然可以极限为0。
至于APB先生所说的极限理论的第二个错误和更多的错误，完全是出于对极限理论的错误理解。实数序列的极限是在实数范围内严格定义的概念。只有n→∞时序列极限的概念，没有n→N的序列极限概念。
∞不是数，从而也没有∞的演算，什么无穷大加法a+∞=+∞，(+∞)+(+∞)=+∞，无穷大乘法(+∞)(+∞)=+∞。这都不是数的演算。
另外先生把无穷位编码数作为∞，任意写出∞=3°.0，∞=5°.0，以及所作的【演算】，都是毫无意义的。在数学中没有这样的演算。这些纯属APB先生的主观臆想，这不是数学论证，而是毫无数学定义的如同梦中谚语。
4，实数集可数定理和归零证明法的错误。
APB先生证明的错误就在于他说的这两句话。他说：
【所以只需证明区间 (0,10−n)的全体小数是否可数。 n→∞时，10-n→0，所以最终只需证明零区间(0,0)是否可数？】
这第一句话是对的。因为全体实数有可数无穷多个同区间(0,1)等势的区间和可数无穷多个端点。当证明了(0,1)中的实数可数，自然全体实数集合可数。当n是有限自然数时，(0,1)是由有限个同(0,10-n)等势的小区间和有限个端点构成。如果你能证明(0,10-n)中的实数可数，自然就证明了全体实数可数。
关键是第二句，当n是无穷，需取极限时的情形。APB先生根本不了解无穷区间序列取极限是怎么回亊。无穷区间取极限，必须是无穷区间形成区间套序列，才能取极限。这个极限点是属于套中所有区间的点。因而必须说一下APB先生的错误，这里不能用开区间，必须用半开半闭的或全闭的区间。开区间套的极限是空集没有点能属于开区间套中所有的区间。(0,10-n)形成的开区间套的极限是空集。它的极限并不是0这个点。因为0不属于此区间套中的任何区间(开区间不包含它的端点)。这里应当用[0,10-n)，或[0,10-n]。
那么改用[0,10-n)，或[0,10-n]，后是否就能证明[01]可数了呢？同样不能。我在《0672》已讲清楚，虽然[0,10-n]形成的区间套的极限是一个点，但是能形成的区间套序列却有不可数无穷多个，所以用区间套求极限的方法得到的实数是不可数无穷多个，并不能因为证明了区间套的极限是1个点就说证明了实数可数。因为在取极限的过程中，形成了不可数无穷多个区间套序列，从而极限产生了不可数无穷多个实数，不能证明实数可数。也就是说你没有证明在取极限中形成的区间套有可数个，从而你没有证明它的极限实数集合可数。这就说明APB先生的实数集可数定理和归零证明法是错误的。
5，实数集不可数定理推翻不了。
APB先生说【无限多种实数集都是可数的。 因此说实数集不可数定理是假定理。】
这里先生把概念搞混了。大家所说的实数集不可数定理，其中实数集指的是全体实数集R不可数。不是指由部分实数组成的实数集不可数。他所举的可数的实数集都是R的子集。任何不可数无穷集合都有无穷多个可数的子集合。但这推翻不了整个集合是不可数的集合这个亊实。
APB先生的对康托尔定理的质疑，出于对有穷小数的一数两码0.5=0.50°=0.49°的质疑。
他说【所以康托尔的对角线法肯定会漏掉无限多个大于 0 的无穷小小数0.0°1。 因此说康托尔的对角线法根本就不能成立！！根本就不能证明实数集不可数定理！！ 所以说康托尔的对角线法是假证明！！】
我们知道一数两码只是有穷小数，而有穷小数虽有无限多个，但只是可数无穷多个。因而实数有一数两码并不影响实数不可数的证明。有些教师就直接证明实数減掉有穷小数的集合不可数，然后证明实数是不可数集合加上可数集合还是不可数集合。
至于APB先生在一数两码上又加上他的那些并不存在的无穷小小数，那纯粹是他的主观臆想，实数中肯本不存在这些数，所以这些质疑是毫无意义的。不能作为数学论证的依据。
6，APB先生对双木林先生的驳斥，根本站不住脚，毫无道理。
⑴，在有些教材中把有穷集也定义为可数集，但这只是可数有穷集的定义，并不是说有穷集可以同自然数集N建立一一对应，能同N建立一一对应的是可数无穷集。由0这一个元素组成的集合{0}可数，是因为它是有穷集，并不是因为【建立了任意多个0与自然数的一一对应】。说{0}可数，并不是说{0}能同N建立一一对应，能同N建立一一对应的是可数无穷集。{0}不是可数无穷集合。当然{1}，{2}等也因为是有穷集，说它可数，但它们却不是可数无穷集。
⑵，关于极限在数学分析中有非常严格的定义。当n→∞附，序列an=1/10n→0。这个序列是0.1，0.01，0.001，...。序列中都是有穷位小数，哪里有0.0°1，0.0° 01，...，0.°°1这种乱七八糟的，定义为【发散】的，有末位的无穷小数。
这里当然有矛盾，你既然说0.0°1∈{an}，为什么又写lim0.0°1=0.0°1。既是序列的项又是序列的极限，这还不矛盾吗？
你把无穷小小数0.0°1定义为0.1的无穷乘积，而无穷乘积是部分乘积序列的极限。也就是说它是序列的极限，怎么又说0.0°1是序列中的项，这么大的矛盾还说【其实没有矛盾，我没有错！！】这能说得过去吗？
⑶，APB先生说【双木林大唱反调，胡扯什么其它区间、区间套序列、…… 】，说明他还不了解它的归零证法的错误就在于他没认识到，这里使用的极限是区间序列的极限，必须用区问套序列来求极限。区间套序列的极限是一个点没有问题，但是区间套序列却有不可数无穷多个。所以仅证明0是极限，是一个点，并不能证明区间的实数可数。因为这样的点有不可数无穷多个。错在这里当然要讨论「其它序列，区间套序列」，怎么能说这是【大唱反调，胡扯】呢？
所以说，APB先生对双木林先生的驳斥，根本站不住脚，毫无道理。
7，APB先生最后提出了要驳斥薛问天，而这些【驳斥】恰好说明了他的错误所在。
他的原文如下
，
下面我来具体回答。
回答例10。所有的人都知道，自然数和有穷小数是实数，也知道所有的无穷小数是实数。而且知道无穷小数没有末位。APB先生不懂无穷小数没有末位，这个最简单的亊实，凭自己的主观臆想，提出来什么【无穷小小数】。竟然有最末位，如0.0°1，0.0°2，...等。他自已都将其定义为【发散】，怎么能是实数，实数中没有这些毫无意义的垃圾。
回答例11。可以把无穷乘积定义为部分乘积的极限。但这样定义后APB先生把【无穷小小数】定义为0.1的无穷乘积，因为n→∞时10-n→0，此时的无穷小小数就应等于0，可APB先生却把此时极限为0的无穷乘积说成是【发散】。这样一来，【无穷小小数】就定义成【发散】了。怎么能是实数呢？
回答例12。这个命题我㸔得清清楚楚，是个错误的论断。尽管由下面这些数
0.1，0.2，...，0.9，
0.01，0.02，...，0.99，
0.001，0.002，...，0.999，
......
形成的集合是可数无穷的。但是它只包括了所有的有穷小数。也就是说它只证明了区间(0,1)中的所有有穷小数的集合是可数的。但并未证明(0,1)中所有实数的集合可数，因为此集合中只有有穷小数，而没有无穷小数。
回答例13。这就是APB先生认识上的错误，自然数是有穷编码数，同它一一对应的是有穷位小数。就是说有穷小数的集合是可数的。但同无穷小数一一对应的是无穷位编码数，而无穷位编码数的集合是不可数的，所以所有实数的集合是不可数的。这不可能证明实数可数。
回答例14，我前面已经说了，APB先生的归零证法是错误的，取极限时，，虽然每个区间套的极限是一个点，但所有的区间套序列的个数是不可数的，从而不可数个点的集合当然是不可数的，
回答例15，怎么能说【不可数的实数集是不存在的】，不可数的实数集多的是。全体实数集就是不可数的，任何区间(a,b)中的实数集，无理数集都是不可数的无穷集合。连这么筒单的常理都不知道还要赌一下，你想想看，谁是【毛驴穿大褂，冒充大圣人。】
参考文献
[1] 郝克刚: 论无穷编码的实数镜像数 沟壑满布，《统一无穷理论》难以逾越
链接地址：http://blog.sciencenet.cn/blog-506146-625639.html
[2] 郝克刚: 无穷位编码的镜像数和p-adic整数
链接地址：http://blog.sciencenet.cn/blog-506146-669710.html
[3]郝克刚: p-adic整数和p-adic数
链接地址：http://blog.sciencenet.cn/blog-506146-679027.html
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