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Zmn-0672 薛问天：实数是由可数无穷个区间形成的不可数无穷个区间套确定的。评侯小山的错误定理

已有 2255 次阅读 2021-9-15 14:39 |个人分类:数学啄木鸟|系统分类:论文交流

Zmn-0672 薛问天：实数是由可数无穷个区间形成的不可数无穷个区间套确定的。评侯小山的错误定理

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对侯小山先生《0670》的文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。】

实数是由可数无穷个区间形成的不可数无穷个

区间套确定的。评侯小山的错误定理

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

薛问天-s.jpg 双木林先生对侯小山的错误已经一真见血地批评得很清楚了。在《0622》中，双本林先生说

【我在思考侯小山的错误原因是什么？我觉得根本的问题是他对极限的定义没有准确的理解，并导致具体问题发生错误。

当n 趋于无穷时，可知第一个区间[0,(0.1)ⁿ)，当n=1,2,3,......时，形成一个区间套序列。它的极限（或者说属于该区间套序列中所有区间的点）是0这个点，这沒有问题。

但是其它区间怎样形成相应的区间套序列，它们的极限又是什么？侯先生並没有具体的说明和定义，并未说清楚。何况更未讲清楚，怎样形成的区间套序列，在求极限后，所有这些区间套的极限是[0,1)中全部的实数。而且侯先生认为它能同自然数集N “一一对应”这个论断，也並沒有证明，并且不可能得到证明（实际上已证明它是不可数的）。所以说侯先生给出的这个证明是错误的，无效的。】

侯先生没有看懂双木林先生的这个批评，表示不服。我们得知，双木林先生表示对侯先生【仍坚持己见，难以继续交流】。对此我来作一些进一步的解释。

侯先生说整个实数R由可数无穷个同[0,1]等势的区间构成，因而只要证明区间[0,1]可数，就可证明R可数，这个推理是对的。向题出在你证明不了区间[0,1]可数，在证明区间[0,1]可数时出了錯。

下面我们把侯先生的做法书写清楚。

首先侯先生把区间[0,1]分成宽度为0.1的10个区间，

区间[0,1]=[0,0.1]∪[0.1,0.2]∪...∪[0.a1,0.a1+0.1]∪...∪[0.9,1]

进一步，再将每个区间分成10个。区间[0,1]分成宽度为0.01的100 个区间

区间[0,1]=[0,0.01]∪[0.01,0.02]∪...∪[0.a1a2,0.a1a2+0.01]∪... ∪[0.99,1]，

进一步，再将每个区间分成10个。区间[0,1]分成宽度为0.001的1000个区间，

区间[0,1]=[0,0.001]∪[0.001,0.002]∪...∪[0.a1a2a3,0.a1a2a3+0.001)]∪... ∪[0.999,1]

......

一般地经过n次一分为10的划分后，区间[0,1]分成宽度为1/10ⁿ的10ⁿ个区间，

区间[0,1]=[0,1/10ⁿ]∪[1/10ⁿ,2/10ⁿ]∪...∪[0.a1...an,0.a1...an+1/10ⁿ]∪... ∪[0.99...9(n位),1]。

......

显然，对于所有的n，上面所说的这些小区间，所有这些由十进制的相邻的有穷小数为端点构成的区间，总共有可数无穷多个。

侯先生想得太简单了，以为所有的这些可数无穷个区间，当n→∞，这些区间就有可数无穷多个极限，而每个极限只有一个实数，所以实数就只有可数无穷多个。从而证明了实数可数。

侯先生的错误在哪里呢？这就是双木林先生所说【我在思考侯小山的错误原因是什么？我觉得根本的问题是他对极限的定义没有准确的理解，并导致具体问题发生错误。】

双木林先生说的非常准确，侯先生的错误就错在他对这里极限的理解上，在这里区间取极限，指的是区间套序列的极限，必须形成一个区间套序列才能取极限。这是侯先生错误的根本原因。他没有认识到这里取极限，必须考虑形成区间套序列才能取极限。

什么是区间套序列，就是指一个区间的无穷序列A1,A2,A3,...,An,...，满足条件A1⊃A2⊃A3⊃...⊃An⊃......。和An的区间宽度|An|→0，就形成一个区间套。

如果存在有一点属于区间套中所有区间，则称此点是此区间套的极限。可证如果区间全是闭区间(含区间端点的[a,b]) ，则极限一定存在。

例如，我们知道上述划分时的每次划分最左边的区间[0,0.1]，[0,0.01]，[0,0.001]...，[0,1/10ⁿ]，...形成一个区间套，它的极限就是实数0。这个侯先生是说对了的。另外最右边一个区间也形成一个区间套[0.9,1]，[0.99,1]，[0.999,1]，....，[0.9...9(n位),1]，...。它的极限就是1。

关键是中间的区间套如何形成，有多少个，它们的极限是哪些实数。

从我们前面的分析，设an∈{0,1,2,,...,9｝n=1,2,3,...。中间的区间套可以这样表示

用a1表示区间 [0.a1，0.a1+0.1]，

用a1a2表示区间 [0.a1a2，0.a1a2+0.01]，

用a1a2a3表示区间 [0.a1a2a3，0.a1a2a3+0.001]，...，

用a1a2...an表示区间 [0.a1a2...an，0.a1a2...an+1/10ⁿ]，... 。

由于a1,a2,a3,...有可数无穷多个，而每个an有可能取从0到9这10种可能。从而可知所有可能的不同的区间套序列共有不可数无穷多个。也就是说区间是可数无穷的，但它们形成的区间套序列却有不可数无穷多个。

它的极限是0.a1a2a3......，即无穷小数(实数)。从而可知实数集合的势是不可数无穷集。当然我在这里只是说明，说明侯先生认为实数集R可数的证明是错误的。真正证明实数不可数，还要靠康托尔的对角线方法的证明。

侯先生说【所以只需证明区间 [0,(0.1)ⁿ] 的实数是否可数。不需要证明其它区间是否可数, 也不需要考虑它们的极限又是什么？】这是概念错误，你并没有证明区间[0,(0.1)ⁿ] 中的实数可数，你只是证明了这些区间[0,0.1]，[0,0.01]，[0,0.001]...，[0,1/10ⁿ]，...形成一个区间套，它的极限是实数0。你要证明R可数，而且是用求极限来证明，当然还必须要考虑其它区间如何形成区间套，形成多少区间套，区间套可数才能证明它们的极限实数可数。

康托尔证明了[0,1]不可数，同时还证明了它同任何[n,n+1]同势。所以证明了R也不可数。他的证明根本沒有用到极限，当然不考虑极限。因而侯先生的如下质问，【 你怎么不问问康托尔，为什么不证明区间 (0, 1) 以外的其它区间 (n, n + 1) 是否可数？？为什么不考虑它们的极限又是什么？】是毫无意义的。

二，关于有穷小数的一数两码的说明。

从我们上面关于区间的十分法和区间套形成实数的方法，可以很容易解释有穷小数的一数两码的问题。即0.5=0.4999...的问题。上面的十分法划分的区间都是闭区间，从而可以看出所有的有穷点都是重复点，比如笫一次区间划分中0.1，0.2，0.3，...，0.9，这些有穷点都是重复点。例如0.5既在[0.4，0.5]中出现，又在[0.5，0.6] 中出现，因而它既是区间套[0.4，0.5]，[0.49 ，0.5]，[0.499，0.5]，[0.4999，0.5]...的极限，又是区间套序列[0.5，0.6]，[0.50，0.51]，[0.500，0.501]，[0.5000，0.5001]，[0.50000，0.50001]，...的极限。从而0.5既是实数0.4999...，又是实数0.5000...。产生了一数两码。这就是在实数的十进制表示中，所有的有穷小数都是一数两码的实例。

产生一数两码的原因就是因为分区间时用的是闭区间。闭区间的端点，既属于左边的区间，又属于右边的区间，从而产生重复，产生这些有穷数的一数两码。

当然我们可以把区间选成一开一闭，选用这样的划分区间，使[0,1)=[0,0.1)∪[0.1,0.2)∪...∪[0.9,1)。再分也照办。这样生成的区间套a1,a2,...,an,9,9,9,...的极限就不存在，于是就形成不了0.a1a2...an999...这样的无穷小数，就不存在一数两码的问题。但是在无穷小数中就不允许后面有无穷个9的无穷小数了。同样，如果我们选用左开右闭的区间，也可解决一数两码的问题，但是在无穷小数中就不允许后面有无穷个0的无穷小数了。

因而侯先生反对有穷小数的一数两码的规定，反对0.5000...=0.4999...，是毫无意义的。他所举的什么反例，不说明任何问题。

另外侯先生说了下面这段错话需要纠正。他说【当 n 不趋于无限时，不n→∞，n 才是有限自然数；此时的 n 有唯一的最大数；当 n 趋于无限时，n→∞，n 就可以是无限自然数；此时的 n 没有最大数。 】

这种理解和说法不对，n趋于无穷大，n→∞，只是【趋于】，并不是说n【等于】无穷大，所以n仍然是有限数。在任何情况下，自然数中都没有最大数。n是有限数。不可能成为【无限自然数】

三，无穷小小数和无穷大小数的错误。

双木林先生对侯小山先生的无穷小小数和无穷大小数的错误已经批得很彻底了。【他提出的“无限小小数”，“无穷大小数”等，纯属他的主观想像，在实数中根本就不存在这样的数】。就是说数学是【自由】的，可以提出你的想法。但是这种自由必须受【自冶】的约束。

我们就來谈谈侯先生的三个定义。

什么是【无穷乘积】？

所谓给出数学定义，就是要用已知定义的概念去定义未知定义的慨念。你用小数0.1的【无穷乘积】来定义无穷小小数。那么我先问你什么叫【无穷乘积】？

在实数理论中只有有穷次的加法和乘法的定义，并沒有【无穷相加】和【无穷乘积】的定义。在无穷级数的理论中，把无穷级数即【无穷相加】的和定义为部分和的极限。当然也有人把【无穷乘积】定义为部分有穷乘积的极限。请向侯先生你是否同意这样的定义。如果你同意这样的定义，那你的定义1就是错误的，因为0.1无穷乘积中的部分乘积是1/10ⁿ 。它在n→∞时的极限等于0。因而你定义的无穷小小数实际上等于0。可见你不会同意这样的定义。那么请问你的【无穷乘积】的定义又是什么？你总不能用不知定义的概念來进行定义吧！

在沒有给出【无穷乘积】的定义前所给的定义1就是【伪定义】【假定义】。

另外在实数论中小数0.1是等于分数1/10 的，所以你在定义无穷小小数外，又定义无穷小分数，是完全多余的，多此一举！

下面我们來看定义2

你把【无穷大小数】定义为1减【无穷小小数】的差。只有在你证明了【无穷小小数】是实数时，这个【差】才是有意义的。減法同加法才是互逆的，恒等式才能成立。否则，当你没有证明你定义的【无穷小小数】是实数时，定义2也是不能成立。

现在來看定义3。

你用【无穷小小数】的【无穷乘积】來定义【高阶无穷小小数】，同定义1一样，在【无穷乘积】没有确切定义的条件下，定义3 是毫无意义的定义。特别地，如果【无穷乘积】中的乘法满足结合律的话，你定义的高阶无穷小小数，就是无穷小小数。

所以说你的三个定义完全不合乎数学定义的要求，是毫无意义不能成立的。

侯先生说他的定义【既来自我的主观想象，也来自我的如下推导】

前面的有穷式子没有错，但在他的推导中，公开认为当n→∞时，(0.1)ⁿ的极限是他的无穷小小数。这是严重的错误。因为在数学中极限是一个有严格定义的概念。可以严格证明(0.1)ⁿ的极限是0，而不是你的无穷小小数。 n位自然数99...9的极限是∞，而不是无穷位编码数...999。这都说明侯先生对数学中的【极限】概念缺乏最基本的了解。

我刚才说了，数学是【自由】的，可以按照你的主观想像进行定义，但是必须受到【自冶】的约束，不允许产生矛盾。而你的无穷小小数就存在很多矛盾。例如就同极限概念发生矛盾。另外你认为无穷小小数是大于0的最小实数，就同实数的稠密性发生矛盾。例如对任何实数a，小于a的a/2也是实数。请问(无穷小小数/2)，还是实数吗？它是否小于你的无穷小小数。如果它小于你的无穷小小数，数学分析中的无穷小量o(x)就可能小于你的无穷小小数，这同你的无穷小量o(x)大于你的无穷小小数就产生明显的矛盾。

也就是说你在实数中引入无穷小小数会产生一系列的矛盾。因而在实数中不可能存在这种所谓【无穷小小数】。侯小山先生的【主观想像】完全落空了，实现不了。其实这里的道理很简单，侯小山先生不知为计么【会听他们的而不会听我的】，因为你错了。我们尊重你的数学的【自由】，但是你能消除这些不【自冶】的矛盾吗？

四，关于批评康托尔定理是【假定理】，讲不出任何道理的问题。

侯小山先生说

这哪里是什么实数集，这是正整数和所有的有穷小数，加上侯先生并未确切定义的无穷小小数和无穷大小数集合，再加上一些....的集合。正整数和有穷小数集合当然是可数的，但你怎么知道你未具体列出的构成实数的其它这些集合都是可数的。怎么能评你这些正整数和有穷小数集合是可数的集合，就说康托尔定理是【假定理】。这讲的是什么道理。康托尔定理严格地证明了区间[0,1]中的实数不可数。怎么能说康托尔从来就没有给出证明。

关于有穷数后面补无穷个0，形成无穷小数，这一点问题都没有。关于有穷数的一数两码的问题，我在前面已讲过，所有有穷小数的集合是可数的。这同证明实数不可数没有关系，

至于侯先生说为此打赌。【您敢不敢和我打赌：您找到一个不可数的实数，我给您 10000 元；您找不到一个不可数的实数，您给我 10000 元；所以说康托尔的实数集不可数定理是假定理！！】

这简直在开玩笑。康托尔定理证明的是实数集合R是不可数无穷集，你却要拿单独的实数来打赌，由任何一个实数构成的有限集，当然不是不可数的无穷集了。难道由一个实数构成的有限集，不是不可数的无穷集，【找不到一个不可数的实数】，就能得出结论【康托尔的实数集不可数定理是假定理】了。侯先生使用的就是这样的【逻辑】？

参考文献
Zmn-0670 侯小山：实数集不可数定理是世纪谎言，第三次回复双木林教授
Zmn-0662 双木林：实数可数的证明是无效的。对侯小山《0656》回复的短评。
Zmn-0656 侯小山：第二次回复双木林教授
Zmn-0652 双木林：回复侯小山《反驳双木林对我“实数集可数定理”一文的评论》
Zmn-0647 侯小山：反驳双木林对我《实数集可数定理》一文的评论